從隨機(jī)事件的分析到帶災(zāi)難的投資策略

農(nóng)宇軒

（中南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410012）

從隨機(jī)事件的分析到帶災(zāi)難的投資策略

農(nóng)宇軒

（中南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410012）

該文以賭場(chǎng)中流行的骰寶游戲?yàn)槔?，設(shè)定在勝負(fù)比率乘上賠率所滿足的條件下進(jìn)行無(wú)限局游戲時(shí)，研究?jī)煞N不同的投注策略所得到的盈虧情況，結(jié)果表明賭戶最終都會(huì)虧。進(jìn)而提出一個(gè)相比賭博結(jié)果確定性較高的投資問(wèn)題，即在固定的多輪投資中，在已知將要發(fā)生的災(zāi)難的次數(shù)時(shí)，在控制風(fēng)險(xiǎn)最小的情況下，怎樣投資才能獲得最大的收益。分析了在投入與回報(bào)相等的情況下，每一輪投資的具體策略以及最終的收入情況。

直覺(jué)錯(cuò)誤；概率論；帶災(zāi)難的投資

引言

在沒(méi)有系統(tǒng)地分析的情況下，人們傾向于用直覺(jué)分析問(wèn)題，但是通過(guò)概率論分析，我們可以得出直覺(jué)并不可靠的結(jié)論。參與賭博的一個(gè)重要原因是因?yàn)橛X(jué)得贏面比較大。然而事實(shí)并非如此，通過(guò)概率論的分析，得到了在賭局中，虧損的概率更大的結(jié)論，同時(shí)證明了當(dāng)進(jìn)行賭博的次數(shù)比較多時(shí)，不論有多少錢，最終都會(huì)輸光的結(jié)論，可靠的證明了賭博的危害性。

虧損的必然是由于賠率的設(shè)置與結(jié)果的隨機(jī)性造成的，本文還考慮了確定性更大的投資的問(wèn)題，并且分析了存在一些特殊條件（稱之為災(zāi)難）下的投注策略。

1 隨機(jī)事件分析

1.1 直覺(jué)錯(cuò)誤

未來(lái)還沒(méi)有發(fā)生的事情，我們并不能明確地確定將會(huì)發(fā)生的是什么，人們會(huì)本能的去估計(jì)某件事情發(fā)生的可能性的大小，而這種估計(jì)往往都是通過(guò)直覺(jué)來(lái)進(jìn)行的，有時(shí)候直覺(jué)可能是對(duì)的，但也不總是對(duì)的，這時(shí)候就需要通過(guò)數(shù)學(xué)的方法來(lái)進(jìn)行合理的估計(jì)。

人們的直覺(jué)不總是那么的可靠，需要通過(guò)數(shù)學(xué)的方式來(lái)進(jìn)行進(jìn)一步的驗(yàn)證來(lái)確定它的可靠性，下面我們將給出一些具體的直覺(jué)錯(cuò)誤的例子。

1.1.1 生日問(wèn)題

足球場(chǎng)上有2個(gè)球隊(duì)，每隊(duì)11個(gè)人，1個(gè)裁判，總共23人中，至少有2人同一天生日的概率是多少？人們對(duì)這一概率的估計(jì)都嚴(yán)重偏低了。

用 X[i,j]表示第i個(gè)人和第j個(gè)人不是同一天生日的概率，不難得到：

令事件A表示n個(gè)人都不是同一天生日，有：

1.1.2 三門問(wèn)題

三門問(wèn)題起源于一檔美國(guó)的電視游戲節(jié)目，規(guī)則如下：

參賽的選手可在三扇門中選一扇，且參賽選手知道兩扇門后是山羊，一扇門后汽車，選中車就可將車帶走。主持人知道這三扇門后到底是車還是羊，為了給游戲增加一點(diǎn)趣味性，當(dāng)參賽者選好了一扇門以后，主持人會(huì)打開(kāi)一扇背后是羊的門，并且會(huì)詢問(wèn)參賽者是否要改變他現(xiàn)在的選擇去選另一扇沒(méi)有打開(kāi)的門。

從直覺(jué)上來(lái)分析，很多人認(rèn)為換和不換是一樣的，用摸球模型來(lái)表示時(shí)，一個(gè)盒子里有三個(gè)球，兩白一紅，先摸出一個(gè)白球，那么剩下的兩個(gè)球不管怎么摸，摸到紅球的概率都是

而從數(shù)學(xué)上分析，“換門”這一策略能獲得汽車的概率確實(shí)更高，下面我們將列出所有可能的情況：

1）所選門后是羊一，主持人打開(kāi)羊二的門，換門后獲得汽車

2）所選門后是羊二，主持人打開(kāi)羊一的門，換門后獲得汽車

3）所選門后是車，主持人打開(kāi)一扇背后是羊的門，不換門后獲得汽車。

1.2 賭博模型分析

骰寶是賭場(chǎng)內(nèi)比較火的一種玩法。每次投擲三個(gè)骰子，下注的規(guī)則與賠率如下：

一、“大”，總點(diǎn)數(shù)為11至17(遇圍骰莊家通吃)，賠率1∶1；

二、“小”，總點(diǎn)數(shù)為4至10(遇圍骰莊家通吃)，賠率1∶1；

三、“圍骰”，開(kāi)出三顆點(diǎn)數(shù)的骰子，賠率1∶24；

四、“點(diǎn)數(shù)”，點(diǎn)數(shù)總和，賠率如下：

A．點(diǎn)數(shù)為4或者17點(diǎn)，1∶50

B．點(diǎn)數(shù)為5或者16點(diǎn)，1∶18

C．點(diǎn)數(shù)為6或者15點(diǎn)，1∶14

D．點(diǎn)數(shù)為7或者14點(diǎn)，1∶12

E．點(diǎn)數(shù)為8或者13點(diǎn)，1∶8

F．點(diǎn)數(shù)為9，10或者11，12點(diǎn)，1∶6

首先考慮“大”和“小”的獲勝的概率，設(shè)三個(gè)骰子擲出的數(shù)字分別為321,, AAA

其中 Ai=={{1,,22,3,,34,,54,,6},5,6,}i=1,2,3,顯然 (P(大)= (P(小),且 (P(大)+ (P（?。? (P（圍骰）=1，我們只需要計(jì)算“圍骰”的情況，即可知道“大”和“小”的情況，而“圍骰”共有六種情況，每種情況的概率為：

則：

從而“圍骰”的獲勝的情況乘上賠率比上失敗的情況為：

由 (P(大)= (P(小)以及 (P(大)+ (P（?。? (P（圍骰）=1，不難知道：

同樣，計(jì)算“大”和“小”的勝利失敗比乘上賠率：

下面考慮點(diǎn)數(shù)的投注方式的概率，首先考慮{4,5,6,7,8,}這五種情況的可能性，并且{17,16,15,14,13,}的可能性與之是對(duì)應(yīng)相等的。利用擋板模型：用兩個(gè)擋板將i個(gè)球分成三組，其中 84 ≤≤i ，每組的球的個(gè)數(shù)必然小于六個(gè)，對(duì)于每一種情況可能的構(gòu)成方案總共有種。

當(dāng)i=14或i=17，可能的概率為：

賠率乘上勝和負(fù)的比率為：

當(dāng)i=5或i=16，可能的概率為：賠率乘上勝和負(fù)的比率為：

當(dāng)i=6或i=15，可能的概率為：

賠率乘上勝和負(fù)的比率為：

當(dāng)i=7或i=14，可能的概率為：

賠率乘上勝和負(fù)的比率為：

當(dāng)i=8或i=13，可能的概率為：

賠率乘上勝和負(fù)的比率為：

對(duì)于點(diǎn)數(shù)為9與點(diǎn)數(shù)為12的情況，為了利用擋板模型，必須去除掉每組球多于六個(gè)的情況，當(dāng)每一組的球的個(gè)數(shù)在少于六個(gè)時(shí)，每一種情況都與投擲骰子的情況一一對(duì)應(yīng)。所有對(duì)于投擲三個(gè)骰子，點(diǎn)數(shù)之和為九的情況共有

則：

賠率乘上勝和負(fù)的比率為：

而點(diǎn)數(shù)之和是10和11的可能的組合是一一對(duì)應(yīng)的，十個(gè)球分成三組，每組至少有一個(gè)球的擋板模型的可能的情況共有也就是36種情況，至少有一組有超過(guò)六個(gè)的球的情況共有9種，三個(gè)骰子總和為十的可能的情況總共有27種，則：

賠率乘上勝和負(fù)的比率為：

對(duì)于所有可能的情況，均有比率乘上賠率都是小于一這一結(jié)果，由于賭場(chǎng)是長(zhǎng)時(shí)間存在的，可以假設(shè)賭場(chǎng)進(jìn)行的賭局的次數(shù)足夠的多。由大數(shù)定律，某一事件發(fā)生的次數(shù)變多時(shí)的時(shí)候，事件發(fā)生的頻率會(huì)接近于事件發(fā)生的概率。考慮次數(shù)足夠多的情況，可以用概率來(lái)代替頻率。假設(shè)在所有的游戲中，賭徒獲勝N次，失敗M次，賠率是Q，游戲下注金額為A。在所有游戲中，賭徒所獲得金錢是QNA，損失的金錢是MA，而獲得的錢與損失的金錢的比例則是又由伯努力大數(shù)定律，進(jìn)行的次數(shù)足夠多時(shí)，可以用獲勝的概率與失敗的概率的比1P來(lái)代替有：

那么獲得的金錢與損失的金錢的比例則近似于Q1P，其中的Q1P賠是賠率乘上勝和 負(fù)×的6:比21率6，-滿25足=由大數(shù)定律來(lái)呈現(xiàn)，有：

也就是說(shuō)當(dāng)進(jìn)行賭博的次數(shù)足夠多的時(shí)候，獲得的金錢都是少于失去的金錢的，在長(zhǎng)期賭博骰寶的情況下，損失總是大于收益的，也就是總體呈現(xiàn)虧損的情況。

2 帶災(zāi)難的投資策略

上一章我們分析了在長(zhǎng)期的賭博行為中，最終的虧損以及破產(chǎn)的必然，其中一部分原因是由于賭場(chǎng)關(guān)于每種下注情況下的賠率的設(shè)置得比較低，另一部分原因是由于隨機(jī)事件本身的特性，所以不確定性非常大。由此知道，人們不應(yīng)該參與賭博，而應(yīng)該考慮確定性更大的投資來(lái)降低風(fēng)險(xiǎn)。接下來(lái)我們將考慮一種確定性更大的情況的投資（其中確定性體現(xiàn)在對(duì)一些特定信息的掌握），以及討論在控制風(fēng)險(xiǎn)的情況下，具體的最優(yōu)策略。

假設(shè)在某個(gè)方面，需要進(jìn)行總共z次的投資，而會(huì)有s次的災(zāi)難發(fā)生，并且只有z-s次的投資將是成功的，當(dāng)災(zāi)難發(fā)生的時(shí)候，將失去所有投入的資金，當(dāng)投資成功的時(shí)候，將獲得等同于投入的資金的利益。為了控制風(fēng)險(xiǎn)，將使用投入的資金是本金的某個(gè)倍數(shù)的方式進(jìn)行投資，當(dāng)初始的本金為c時(shí)，為了最大化z次投資后的資金，投注的比率是多少，最后的資金是多少？

在這個(gè)問(wèn)題中，和普通的賭博存在著以下幾點(diǎn)的不同，如果一個(gè)賭博的勝率是那么在z局游戲中，獲勝幾次都是可能的，而在這一問(wèn)題中，一定會(huì)并且只會(huì)投資成功z-s次，不同于賭博游戲的每次的獨(dú)立性，這個(gè)問(wèn)題中的投資成功或者遇到災(zāi)難，都是將會(huì)受到之前的投資的結(jié)果的影響，例如，當(dāng)進(jìn)行了z-1次投資后，最后一次的投資的結(jié)果是成功還是遇上災(zāi)難，是可以百分之百確定的，所以可以通過(guò)之前所發(fā)生過(guò)的情況來(lái)改變當(dāng)前投資的策略。

同時(shí)，在整個(gè)過(guò)程中并不確定災(zāi)難會(huì)在那次投資中發(fā)生，也不知道每次投資時(shí)出現(xiàn)災(zāi)難的概率，所以為了控制風(fēng)險(xiǎn)，我們將需找出一種投資策略，使得每一種可能的災(zāi)難的情況所對(duì)應(yīng)的最終資金的下界最大化。對(duì)于一個(gè)固定的投資策略，對(duì)于不同順序的災(zāi)難情況，獲得的最終資金是不同的，必定有一種災(zāi)難情況使得最終的資金最小，把這種災(zāi)難情況稱為最壞情況，并把這種情況下的最終資金稱為最壞情況資金，現(xiàn)在需要找出一種策略，使得它的最壞情況資金大于其他所有的策略。

首先考慮s=0的情況，也就是沒(méi)有災(zāi)難發(fā)生的情況，首先考慮只進(jìn)行一次投資的情況，顯然，在這種條件下，這次投資應(yīng)該投入所有的本金，所獲得的資金是2c。更進(jìn)一步的，對(duì)于 1≥z 的投資，在z次投資后，最終的資金為 2zc對(duì)于s=1的情況，在z次投資中的任何一次都可能出現(xiàn)，并且只有一次災(zāi)難，此時(shí)最佳的策略是在第一輪投入的資金，并且最終的資金為下面將給出證明。

首先考慮z=1的情況，對(duì)于只進(jìn)行一次投資，并且災(zāi)難一定會(huì)發(fā)生的情況，最好的策略就是不投入任何的資金，這時(shí)最終的資金為z=1時(shí)結(jié)論成立。

假設(shè)z=k時(shí)都成立，當(dāng)z=k+1時(shí)，假設(shè)第一次投資將投入本金的x倍，那么將會(huì)出現(xiàn)兩種情況：1）災(zāi)難沒(méi)發(fā)生在第一次投資，這時(shí)的資金變成c+x，并且在接下來(lái)k次投資中，將會(huì)有一次災(zāi)難發(fā)生，由假設(shè)，最終的資金將是災(zāi)難發(fā)生在第一次投資，這時(shí)的資金變成c-x，并且在接下來(lái)的投資中，將不會(huì)再有災(zāi)難發(fā)生，那么最終的資金為 )(2 xck- 。

為了找到使得最壞情況資金最大的策略，也就是使得最終資金的下界的最大，那么兩種情況的最終資金應(yīng)該相等，也就是：

解之得：

并且最終的資金：

結(jié)論得證。

接下來(lái)考慮s=2的情況，當(dāng)進(jìn)行 2≥z 次投資，并且將會(huì)出現(xiàn)s=2次災(zāi)難的時(shí)候，在首次投資時(shí)，應(yīng)該投入最終的資金是下面將給出證明。

對(duì)于z=2，兩次投資都將出現(xiàn)災(zāi)難，最好的方式就是不投入任何資金，最終資金結(jié)論成立。

假設(shè)當(dāng)z=k時(shí)結(jié)論成立，當(dāng)z=k+1時(shí)，假設(shè)第一次投資將投入本金的x倍，那么將會(huì)出現(xiàn)兩種情況：1）災(zāi)難沒(méi)發(fā)生在第一次投資，這時(shí)的資金變成c+x，并且在接下來(lái)k次投資中，將會(huì)有兩次災(zāi)難發(fā)生，由假設(shè)，最終的資金將是災(zāi)難發(fā)生在第一次投資，這時(shí)的資金變成c-x，并且在接下來(lái)的投資中，將會(huì)再有一次災(zāi)難發(fā)生，那么最終的資金為

同理，為了找到使得最壞情況資金最大的策略，也就是使得最終資金的下界的最大，那么兩種情況的最終資金應(yīng)該相等，也就是：

解之得：

最終資金：

結(jié)論得證。

對(duì)于更加普遍的災(zāi)難次數(shù)s，可以通過(guò)已知的幾種情況推導(dǎo)，為了更加直觀地解決這個(gè)問(wèn)題，首先定義TZS為在z此投資中，有s次災(zāi)難發(fā)生時(shí)，第一局投入的資金與本金最佳比例。EZS表示在這種投資策略下，最終的資金與初始資金的比例。

由前面所證明的，我們有：

對(duì)于任意的s，我們假設(shè)第一次投資將投入TZSc的資金，這時(shí)有兩種可能的結(jié)果：1）第一次投資沒(méi)有發(fā)生災(zāi)難，這時(shí)的資金為(1+TZS)c，而接下來(lái)的z-1次投資中，將會(huì)發(fā)生s次災(zāi)難，最終的資金為E(Z-1)s(1+TZS)c；2）災(zāi)難發(fā)生在第一次投資，這時(shí)的資金為(1-TZS)c，并且在接下來(lái)的z-1次投資中，將會(huì)發(fā)生s-1次災(zāi)難，最終的資金為E(Z-1)(S-1)(1-TS)c。

同理，為了找到使得最壞情況資金最大的策略，也就是使得最終資金的下界的最大，那么兩種情況的最終資金應(yīng)該相等，也就是：

也就是說(shuō)：

化簡(jiǎn)并將TZS放在等式的一邊，有：

帶入上一個(gè)等式，可以得到：

至此，我們得出了EZS的遞推表達(dá)式。

將遞推式兩邊同時(shí)取倒：

兩邊同時(shí)乘上 2z-1次方：

下面通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法證明：

由前面的證明，可得，當(dāng)S-0,1,2時(shí)，對(duì)于所有的 sz≥ 均成立，我們不妨設(shè)s=j時(shí)，對(duì)所有的 sz≥ 成，則當(dāng)s=j+1時(shí)，若z=j+1，意味著災(zāi)難發(fā)生在每一次投資，所以每一次都不應(yīng)該投資，那么E(j+1)(j+1)=1，則B(j+1)(j+1)=2j+1，此時(shí)命題成立，再假設(shè) lz=時(shí)成立，其中 1+＞jl ，由遞推公式：

由此，當(dāng)s=j+1時(shí)，對(duì)于所有 sz≥ ，命題都成立，所以對(duì)于任意的 0≥≥sz ，命題都成立。

因此可以得出：

同理還可以求得：

因此，在會(huì)有s次災(zāi)難的z次投資中，最優(yōu)的最終資金是EZSc，并且最優(yōu)的投策是，每一次投資的金額Tnmg，其中n表示的是還剩下投資次數(shù)，m表示還發(fā)生的災(zāi)難的次數(shù)，g表示這次投資開(kāi)始之前所擁有的資金數(shù)。

如果不按照這個(gè)策略進(jìn)行投資，當(dāng)投資的金額多于Tnmg時(shí)發(fā)生災(zāi)難，或者投資的金額少于Tnmg沒(méi)發(fā)生災(zāi)難，都將導(dǎo)致最終的資金少于EZSc。

例如，在十二個(gè)月中，政府需要對(duì)房子建設(shè)進(jìn)行十二次投資，通過(guò)預(yù)測(cè)發(fā)現(xiàn)將會(huì)有三個(gè)月有暴雨，在有暴雨的月份，進(jìn)行的投資都會(huì)虧損，那么這種情況下，為了控制風(fēng)險(xiǎn)，就可以應(yīng)用我們的模型來(lái)解決每個(gè)月投入都少資金的問(wèn)題。

3 結(jié)論

通過(guò)概率的分析，了解到普遍存在的直覺(jué)的錯(cuò)誤，人們對(duì)某些隨機(jī)事件的結(jié)果有一些錯(cuò)誤的估計(jì)，原因是由于對(duì)樣本空間的選擇錯(cuò)誤造成的。直覺(jué)與實(shí)際情況不符合是大部分人參與賭博的原因，同時(shí)計(jì)算了在獲勝概率不等時(shí)，并且以在賭場(chǎng)比較流行的骰寶為例，得出了勝負(fù)比率乘上賠率小于1這一結(jié)論。進(jìn)行足夠多次的賭博，最終的結(jié)果必然是破產(chǎn)的。由此看出，賭局的設(shè)置導(dǎo)致了長(zhǎng)期賭博虧損的必然。進(jìn)一步，提出了在多次投資中，將會(huì)遇到固定次數(shù)的災(zāi)難的情況中，如何進(jìn)行每一輪的投資，才能在控制風(fēng)險(xiǎn)的情況下，使得最終的資金最大的投資策略。

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An Analysis of Investment Strategy: from Random Events to Disaster

Nong Yu-xuan
(School of mathematics and statistics, Central South University, ChangSha China, 410075)

This paper is exemplified by a popular dice game in casinos. Supposing the conditions are met with the ratio of winning and losing being multiplied by odds, the study investigates the conditions of profits and loss given by two different betting strategies, the results show that the gamblers will eventually lose. And the author proposes a further investment question which is more certain than the gambling results. That is , during the fixed and multi-turned investments, how the profits can be gained to the largest extent when the risks are under control and the numbers of disaster to take place are already known. This paper also analyzes the specific strategies during every turn of investment and the final situation of profit obtaining when investment equals the profits in return.

intuitive error; probability theory; investment with disaster

O1-647

A

1674-3083（2016）06-0069-07

2016-11-24

農(nóng)宇軒（1994—），男，廣西平南人，本科，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。