隨機變量絕對值的期望不等式

吳 娟, 胡曉山, 廖俊俊

(華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,武漢430074)

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隨機變量絕對值的期望不等式

吳 娟, 胡曉山, 廖俊俊

(華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,武漢430074)

在任意兩個隨機變量獨立同分布的條件下，得到有關(guān)絕對值的數(shù)學(xué)期望不等式，并利用測度論給予完整證明.

數(shù)學(xué)期望； 獨立同分布； 半正定； 絕對值

1 引 言

成立.同時給出了等號成立的充分條件，假設(shè)隨機變量的期望均存在.為了處理隨機變量絕對值的期望計算問題，本文利用矩陣論和測度論理論給予正面的解答.

2 主要結(jié)論

引理設(shè)?xi,yi∈,i=1,2,…,n,有

(1)

證

其中sgn(x)是符號函數(shù).

(2)

(2)式可看成一個二次型，所對應(yīng)的實對稱矩陣為

定理設(shè)任意兩個隨機變量X和Y獨立同分布，則

(3)

且等號成立的充分條件是X和Y均關(guān)于0是對稱分布，假設(shè)(3)式中隨機變量的期望均存在.

證先考慮X和Y是獨立同分布的離散型隨機變量，概率分布列為

由引理

故(3)式成立.

下面證明對任意隨機變量X和Y，在獨立同分布的條件下(3)式依然成立.

隨機變量X是給定概率場上的有限可測函數(shù)[1]，取此概率場上的函數(shù)序列{Xn,n=1,2,…},

(4)

(5)

對(5)式取極限，由Lebesgue控制收斂定理，對任意隨機變量X和Y，若滿足獨立同分布的條件，則

3 應(yīng)用舉例

在概率論課程教學(xué)[2,3]中，利用具體的概率分布舉例說明期望不等式的作用.

例1設(shè)隨機變量X和Y獨立同分布，等可能地取區(qū)間[1,N]內(nèi)的整數(shù)值，其中N是大于1的整數(shù)，則

證

證

由例1的結(jié)論得

或直接積分得

證

令x=ρcosθ,y=ρsinθ,

同理

若直接利用本文期望不等式定理，無需上例中的繁瑣計算即可得結(jié)果.

[1] Kallenberg O.Foundations of Modern Probability[M].2nd ed., New York: Springer, 2002.

[2] 徐靜.概率論教學(xué)中思維品質(zhì)的培養(yǎng)[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2011,27(5):200-202.

[3] 邊家文,付麗華,彭惠明,陸建華,邢婧,方秉武.概率統(tǒng)計課程中研究性學(xué)習(xí)方法探討[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2012,28(2):11-15.

Expectation Inequality of Absolute Value of Random Variables

WUJuan，HUXiao-shan，LIAOJun-jun

(School of Mathematics and Statistics, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China)

This paper presents an expectation inequality of absolute value of any two random variables if they are independent and identically distributed.The approach is proved completely by the measure theory.

mathematical expectation; independent and identically distributed; positive semi-definite; absolute value

2016-06-27； [修改日期] 2016-07-22

國家自然科學(xué)基金(11171122)；華中科技大學(xué)自主創(chuàng)新研究基金(2014QN083)；華中科技大學(xué)教師教學(xué)能力培訓(xùn)項目(1501)

吳娟(1974-),女，博士，講師，從事數(shù)理統(tǒng)計研究.Email:wujuan@hust.edu.cn

廖俊俊(1973-)，男，博士，講師，從事隨機分析研究.Email：liaojunjun@hust.edu.cn

O211.5

C

1672-1454(2016)06-0079-04