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    2017-01-17 19:50:58王金鳳李喆
    東方教育 2016年8期
    關(guān)鍵詞:輔助線中點梯形

    王金鳳++李喆

    摘要:梯形的證明與計算是中學數(shù)學學科的重要部分,也是數(shù)學學習中的一個難點。一般情況下,通過構(gòu)造輔助線來達到解題目的。當梯形中含有中點時,如何通過這個中點構(gòu)造輔助線,使問題更簡單是中學生解答這類題型的關(guān)鍵。本文探討這了類梯形輔助線的做法,將其轉(zhuǎn)化為簡單的三角形和平行四邊形,從而達到解題目的。

    關(guān)鍵詞:梯形;中點;輔助線

    梯形是一種特殊的四邊形,它是平行四邊形和三角形的結(jié)合體。因為它有一組對邊平行,使得它在輔助線的作法方面有了較多的選擇余地。在求解與梯形相關(guān)的問題時,可以通過添加輔助線的方法,構(gòu)造三角形,平行四邊形,再應用三角形和平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)和特征解決問題。因此,解決梯形的相關(guān)問題時既要考慮它與平行四邊形之間明顯的不同,又要學會利用平行四邊形去解決梯形中的相關(guān)問題。本文著重討論含有中點的梯形中輔助線的做法。

    1.在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點時,根據(jù)梯形上下底的平行關(guān)系,作梯形的中位線,并由梯形中位線與上下底之間的長度關(guān)系,達到解題目的。

    如圖,在梯形ABCD中,AB//DC,O是BC的中點,∠AOD=90°,求證:AB+CD=AD.

    證:取AD的中點E,連接OE,則易知OE是梯形ABCD的中位線,

    從而

    OE= 1/2(AB+CD) ①

    在△AOD中,∠AOD=90°,AE=DE

    所以

    OE= 1/2 AD ②

    由①、②得AB+CD=AD。

    2、在梯形中出現(xiàn)兩條對角線的中點,連接梯形一頂點與一條對角線中點,并延長與底邊相交,使問題轉(zhuǎn)化為三角形中位線,從而達到解題目的。

    如圖,在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分別是BD、AC的中點,求證:(1)EF//AD

    (2)EF= 1/2(BC-AD)

    證:連接DF,并延長交BC于點G,易證△AFD≌△CFG

    則AD=CG,DF=GF

    由于DE=BE,所以EF是△BDG的中位線

    從而EF//BG,且EF= 1/2 BG

    ∵AD//BG,BG=BC-CG=BC-AD

    ∴EF//AD,EF= 1/2(BC-AD)

    3、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點時,過這點延長線段,構(gòu)造出兩個全等的三角形,利用全等達到解題的目的。

    在梯形ABCD中,AD//BC,∠BAD=〖90〗^0,E是DC上的中點,連接AE和BE,求∠AEB=2∠CBE。

    解:分別延長AE與BC,并交于F點

    ∵∠BAD=〖90〗^0且AD//BC

    ∴∠FBA=〖180〗^0-∠BAD=〖90〗^0

    又∵AD//BC

    ∴∠DAE=∠F

    ∠AED=∠FEC

    DE=EC

    ∴△ADE≌△FCE

    ∴ AE=FE

    在△ABF中∠FBA=〖90〗^0 且AE=FE

    ∴ BE=FE

    ∴ 在△FEB中 ∠EBF=∠FEB

    ∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBE

    4.在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點時,可延長底邊和一條過中點的線段,兩者交于一點,從而構(gòu)造全等三角形,找到線段之間的大小關(guān)系,達到解題目的。

    已知:如圖,在梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥BC,E是CD中點,試問:線段AE和BE之間有怎樣的大小關(guān)系?

    解:AE=BE,理由如下:

    延長AE,與BC延長線交于點F.

    ∵DE=CE,

    ∠AED=∠CEF,∠DAE=∠F

    ∴△ADE≌△FCE

    ∴AE=EF

    ∵AB⊥BC

    ∴BE=AE.

    5.在梯形中出現(xiàn)一腰中點的時候,過這點構(gòu)造另外一腰的平行線,利用三角形全等和平行四邊形的性質(zhì),達到解題目的。

    已知:梯形ABCD中,AD//BC,E為DC中點,EF⊥AB于F點,AB=3cm,EF=5cm,求梯形ABCD的面積.

    解:如圖,過E點作MN//AB,分別交AD的延長線于M點,交BC于N點.

    ∵DE=EC,AD//BC

    ∴△DEM≌△CNE

    四邊形ABNM是平行四邊形

    ∵EF⊥AB,

    ∴S梯形ABCD=S□ABNM=AB×EF=15cm2.

    6.在梯形中出現(xiàn)兩底邊的中點時,過上底中點做兩腰的平行線,構(gòu)造特殊三角形,根據(jù)特殊三角形的性質(zhì),達到解題目的。

    如圖,在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分別是AD、BC的中點,若∠B+∠C=〖90〗^°.AD=7,BC=15,求EF.

    分析:因為∠B+∠C=〖90〗^°,通過平移AB、DC:構(gòu)造直角三角形MEN,使EF恰好是△MEN的中線。

    解:過E作EM//AB,EN//DC,分別交BC于M、N,

    ∵∠B+∠C=〖90〗^°

    ∴∠EMN+∠ENM=〖90〗^°

    ∴△MEN是直角三角形 ∵AD=7,BC=15

    ∴MN=8

    ∵E、F分別是AD、BC的中點

    ∴F為MN的中點

    ∴EE=1/2 MN=4

    總之,解題方法一定要合理選擇,靈活應用。在具體的教學過程中,教師一定要引導學生對上述方法靈活應用,不能用固定模式要求學生機械記憶,做到“教無定法,貴在得法”。數(shù)學是思維的體操,對數(shù)學的學習應重理解,在理解的基礎(chǔ)上掌握合理的解題方法。學生也應該加強對自身思維能力和理解能力的鍛煉,做到具體問題具體分析,不盲目死記硬背。只有這樣,學生的數(shù)學學習能力和學習成績才能有效提升。

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