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    導(dǎo)數(shù)理論在最優(yōu)化經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用研究

    2017-01-17 18:27:30方國(guó)敏謝蔚
    關(guān)鍵詞:最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型導(dǎo)數(shù)

    方國(guó)敏 謝蔚

    【摘要】本文從導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)的概念出發(fā),引入邊際分析的相關(guān)概念,對(duì)最低成本、最大利潤(rùn)和最優(yōu)批量等最優(yōu)化經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、研究和探討.

    【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù);偏導(dǎo)數(shù);邊際分析;最優(yōu)化;數(shù)學(xué)模型

    應(yīng)用定量分析方法解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題已成為經(jīng)濟(jì)學(xué)理論體系中的重要組成部分,很多經(jīng)濟(jì)學(xué)理論如納什均衡和期權(quán)定價(jià)公式等都是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述的.數(shù)學(xué)使經(jīng)濟(jì)學(xué)理論步入了定量化、精密化和準(zhǔn)確化的發(fā)展軌道,使經(jīng)濟(jì)學(xué)變成一門(mén)越來(lái)越嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科.

    一、導(dǎo)數(shù)和邊際分析

    (一)導(dǎo)數(shù)的概念

    設(shè)一元函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處取得改變量Δx時(shí),相應(yīng)的函數(shù)改變量為Δy=f(x0+Δx)-f(x0),如果極限limx→0

    (二)偏導(dǎo)數(shù)的概念

    設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)y固定在y0不變,而x在點(diǎn)x0處取得改變量Δx時(shí),相應(yīng)的函數(shù)改變量Δxz=f(x0+Δx,y0)-f(x

    (三)邊際分析

    在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中,若設(shè)某經(jīng)濟(jì)指標(biāo)y與影響指標(biāo)值的因素x1,x2,……,xn之間成立函數(shù)關(guān)系y=f(x1,x2,…,xn),我們把函數(shù)y=f(x1,x2,…,xn)的一階偏導(dǎo)函數(shù)f′xi(x1,x2,…,xn)(i=1,2,…,n)稱為函數(shù)y=f(x1,x2,…,xn)的邊際函數(shù),記作My,偏導(dǎo)函數(shù)My=f′xi(x1,x2,…,xn)在點(diǎn)P0處的函數(shù)值稱為函數(shù)y=f(x1,x2,…,xn)在點(diǎn)P0處的邊際值,而使f′xi(x1,x2,…,xn)=0的邊際點(diǎn)的函數(shù)值可能就是極大值或極小值,這種邊際點(diǎn)在經(jīng)濟(jì)分析和決策中往往是最佳點(diǎn),找到最合理的邊際點(diǎn),就能做出最有利的經(jīng)濟(jì)政策.微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)把研究這種變化規(guī)律的方法叫作邊際分析法.

    1.邊際成本

    在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,常常需要研究產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的成本.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品q單位時(shí)的總成本函數(shù)C=C(q)可導(dǎo),則稱MC=C′(q)為邊際成本函數(shù),簡(jiǎn)稱邊際成本,C′(q0)為產(chǎn)量為q0單位時(shí)的邊際成本.

    邊際成本是總成本函數(shù)C(q)關(guān)于產(chǎn)量q的導(dǎo)數(shù),其經(jīng)濟(jì)含義是:當(dāng)產(chǎn)量為q時(shí),再多生產(chǎn)一個(gè)單位(即Δq=1)的產(chǎn)品所增加的成本量C(q+1)-C(q),近似地記為:C(q+1)-C(q)=Δ邊際成本是極限意義下的平均,是當(dāng)增量Δq→0時(shí),總成本C(q)的瞬時(shí)變化率,只與產(chǎn)量q有關(guān).

    2.邊際收入

    設(shè)銷售某種產(chǎn)品q單位時(shí)的總收入函數(shù)R=R(q)MR=R′(q)可導(dǎo),則稱為邊際收入函數(shù),簡(jiǎn)稱邊際收入,R′(q0)是銷售量為q0單位時(shí)的邊際收入.

    其經(jīng)濟(jì)含義是:當(dāng)銷售量為q時(shí),再多銷售一個(gè)單位(即Δq=1)的商品總收入的改變量R(q+1)-R(q),近似地記為:

    3.邊際利潤(rùn)

    與邊際成本和邊際收入類似,邊際利潤(rùn)函數(shù)為總利潤(rùn)函數(shù)L(q)關(guān)于銷售量q的導(dǎo)數(shù).設(shè)某產(chǎn)品的銷售量為q時(shí)的利潤(rùn)函數(shù)L=L(q)可導(dǎo),則稱ML=L′(q)為邊際利潤(rùn)函數(shù),簡(jiǎn)稱邊際利潤(rùn),L′(q

    即ML=L′(q)=limΔq→0ΔLΔq=limΔq→0L(q+Δq)-L(q)Δq.

    其經(jīng)濟(jì)含義是:當(dāng)銷售量為q時(shí),再銷售一個(gè)單位(即Δq=1)產(chǎn)品所增加(或減少)的利潤(rùn)L(q+1)-L(q),近似地記為:

    L(q+1)-L(q)=ΔL(q)≈dL(q)=L′(q)Δq=L′(q).

    邊際利潤(rùn)L′(q)<0意味著當(dāng)產(chǎn)量(銷量)為q時(shí),再生產(chǎn)(銷售)一個(gè)單位的產(chǎn)品(即Δq=1)總利潤(rùn)將減少,這時(shí)產(chǎn)品生產(chǎn)(銷售)得越多利潤(rùn)會(huì)越小.

    如果在某一經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中,總成本函數(shù)、總收入函數(shù)或總利潤(rùn)函數(shù)是多元函數(shù),則分別稱他們的偏導(dǎo)數(shù)為邊際成本、邊際收入或邊際利潤(rùn).

    二、最優(yōu)化的數(shù)學(xué)表達(dá)

    在經(jīng)濟(jì)生活中,每個(gè)經(jīng)濟(jì)人在符合市場(chǎng)條件的前提下,都力求尋找對(duì)自己最有利的方案,如:最低成本、最大利潤(rùn)、最優(yōu)效益、企業(yè)的最佳規(guī)模以及企業(yè)內(nèi)部生產(chǎn)資料同勞動(dòng)數(shù)量之間最合理的比例等等.這些問(wèn)題從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看都是同一類問(wèn)題,即求函數(shù)最大值和最小值的問(wèn)題.

    (一)一元函數(shù)的最值問(wèn)題

    若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處有極值,且在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)存在,則函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)必為零,即f′(x0)=0.凡是滿足方程f′(x0)=0的點(diǎn)稱為函數(shù)y=f(x)的駐點(diǎn).設(shè)函數(shù)y=f(x)在其駐點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)f″(x0),若f″(x0)<0,則f(x0)是函數(shù)f(x)的極大值;若f″(x0)>0,則f(x0)是函數(shù)f(x)的極小值.

    一般而言,如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間I上連續(xù),則函數(shù)y=f(x)在I上必定能取得它的最大值和最小值.在實(shí)際問(wèn)題中,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I內(nèi)最大值(或最小值)一定存在,而f(x)在I內(nèi)只有唯一駐點(diǎn),那么該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上的最大值(或最小值).

    (二)多元函數(shù)的最值問(wèn)題

    與經(jīng)濟(jì)問(wèn)題有關(guān)的函數(shù)很少是單一變量函數(shù).例如,廠商的生產(chǎn)量取決于投入生產(chǎn)過(guò)程的勞動(dòng)、資本以及土地的數(shù)量等等.下面我們以二元函數(shù)為例.

    若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處有極值,且在點(diǎn)P0(x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)存在,則函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)必為零,即f′x(x0,y0)=0,且f′y(x0,y0)=0.凡是滿足方程組f′x(x0,y0)=0,f′y(x0,y0)=0的點(diǎn)P0(x0,y0)稱為函數(shù)z=f(x,y)的駐點(diǎn).

    設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在其駐點(diǎn)P0(x0,y0)處具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),令f″xx(x0,y0)=A,f″xy(x0,y0)=B,f″yy(x0,y0)=C,Δ=B2-AC,則當(dāng)Δ<0時(shí),函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處有極值,并且若A>0,f(x0,y0)是函數(shù)z=f(x,y)的極小值;若A<0,f(x0,y0)是函數(shù)z=f(x,y)的極大值.

    一般而言,如果函數(shù)z=f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),則函數(shù)z=f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.在實(shí)際問(wèn)題中,如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)一定能取得最大值(或最小值),而f(x,y)在D內(nèi)只有唯一駐點(diǎn),那么該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D上的最大值(或最小值).

    三、最優(yōu)化經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型分析

    經(jīng)濟(jì)效益最優(yōu)化問(wèn)題是經(jīng)濟(jì)管理的核心,也是企業(yè)的最終目標(biāo).對(duì)于決策者來(lái)說(shuō),要求從“客觀的理性”出發(fā),尋求在一定條件下目標(biāo)函數(shù)唯一的“最優(yōu)解”.

    (一)最低成本問(wèn)題模型

    微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)理論認(rèn)為,邊際成本和平均成本都是隨產(chǎn)量的增加而由遞減轉(zhuǎn)為遞增,只是平均成本轉(zhuǎn)為遞增比邊際成本要遲一些.當(dāng)平均成本與邊際成本相等時(shí),平均成本最低.如圖1所示,F(xiàn)點(diǎn)是平均成本曲線AC由遞減轉(zhuǎn)為遞增的轉(zhuǎn)折點(diǎn),在F點(diǎn)處,MC=AC.在邊際成本曲線上升到F點(diǎn)之前,邊際成本小于平均成本,平均成本曲線AC是下降的,當(dāng)MC越過(guò)F點(diǎn)后再上升,邊際成本就大于平均成本,平均成本曲線AC也就轉(zhuǎn)為上升了,因此,MC與AC必定在AC的最低點(diǎn)F處相交.平均成本的最低點(diǎn)F就是通常所說(shuō)的“經(jīng)濟(jì)能量點(diǎn)”或“經(jīng)濟(jì)有效點(diǎn)”.企業(yè)應(yīng)該把生產(chǎn)規(guī)模調(diào)整到平均成本的最低點(diǎn),才能使生產(chǎn)資源得到最有效的利用.

    圖 1

    設(shè)產(chǎn)量為q,總成本函數(shù)為C(q),平均成本函數(shù)為AC(q),邊際成本函數(shù)為MC(q),則AC(q)=C(q)q,MC=C′(q)=dC(q)dq.

    以q為自變量,對(duì)平均成本函數(shù)AC(q)求導(dǎo),則有

    AC′(q)=dACdq=d(C(q)q)dq=C′(q)q-C(q)q2=1q(C′(q)-C(q)q)=1q[MC(q)-AC(q)].

    因此,當(dāng)MC(q)AC(q)時(shí),曲線AC的切線斜率為正,曲線AC呈上升趨勢(shì);當(dāng)MC(q)=AC(q)時(shí),曲線AC的切線斜率為0,曲線到達(dá)極小值點(diǎn)F,函數(shù)AC(q)的二階導(dǎo)數(shù)大于0.又因?yàn)樗俏ㄒ坏鸟v點(diǎn),所以平均成本函數(shù)AC(q)在MC(q)=AC(q)處取得最小值.

    因此,最低成本的數(shù)學(xué)模型為:

    MC(q)=AC(q),dACdq=0(函數(shù)AC(q)的二階導(dǎo)數(shù)大于0).

    例1 已知某廠生產(chǎn)q件產(chǎn)品的總成本為C(q)=2500+200q+14q2(元),問(wèn)該廠生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí),平均成本最?。?/p>

    解 (1)設(shè)平均成本函數(shù)為AC(q),邊際成本函數(shù)為MC(q),則

    AC(q)=C(q)q=2500q+200+q4,

    MC(q)=C′(q)=200+q2.

    由AC(q)=MC(q)得2500q+200+q4=200+q2,

    解得q1=100,q2=-100(舍去).

    此時(shí)d(AC)dq=2500q+200+q4′=14-2500q2=14-14=0.

    所以,q1=100時(shí),平均成本函數(shù)AC(q)取得唯一的極小值,也就是最小值.因此,要使平均成本最小,應(yīng)生產(chǎn)100件產(chǎn)品.

    (二)最大利潤(rùn)問(wèn)題模型

    微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)理論認(rèn)為,當(dāng)商品產(chǎn)量無(wú)限增大時(shí),價(jià)格極低,得不到最大利潤(rùn);當(dāng)商品價(jià)格無(wú)限增大時(shí),銷售量極少,也得不到最大利潤(rùn).只有當(dāng)產(chǎn)量增至邊際成本等于邊際收入,即邊際利潤(rùn)為0時(shí),企業(yè)才能獲得最大利潤(rùn).如圖2所示,只有當(dāng)總收入和總成本兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相等,即兩條切線平行時(shí),總收入和總成本兩條曲線上切點(diǎn)間的距離最大,此時(shí),總成本與總收入的差值最大,也即企業(yè)獲得最大利潤(rùn).此外,為了使利潤(rùn)函數(shù)的極大值存在,利潤(rùn)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)還必須小于零.

    圖 2

    設(shè)產(chǎn)量為q,總成本函數(shù)為C(q),總收入函數(shù)為R(q),總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(q),邊際利潤(rùn)函數(shù)為ML(q),則L(q)=R(q)-C(q),ML(q)=L′(q).

    令ML(q)=L′(q)=R′(q)-C′(q)=0,則可得到R′(q)=C′(q).這就是獲得最大利潤(rùn)的必要條件.

    邊際利潤(rùn)函數(shù)ML(q)=L′(q)=0,總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(q)取得極值,為了使函數(shù)L(q)取得極大值,必須L″(q)=ML′(q)=[R′(q)-C′(q)]′=R″(q)-C″(q)<0,

    即R″(q)

    因此,利潤(rùn)最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為:

    R′(q)=C′(q)(即L′(q)=0),R″(q)

    若利潤(rùn)函數(shù)為二元函數(shù)z=L(q1,q2),則利潤(rùn)最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為:L′q1(q1,q2)=0,L′q2(q1,q2)=0, (1)

    且[L″q1q2(q1,q2)]2-L″q1q1(q1,q2)·L″q2q2(q1,q2)<0,L″q1q1(q1,q2)<0.(2)

    在實(shí)際問(wèn)題中,若由(1)式解出利潤(rùn)函數(shù)z=L(q1,q2)的極值點(diǎn)只有一個(gè),則可驗(yàn)證此點(diǎn)滿足充分條件(2),就是利潤(rùn)最大的點(diǎn).

    例2 設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)某種商品q單位的費(fèi)用為C(q)=5q+200(元),獲得的收益為R(q)=10q-0.01q2(元),問(wèn)生產(chǎn)這種商品多R(q)=10q-0.01q2少單位時(shí)利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?

    解 由產(chǎn)品的費(fèi)用函數(shù)C(q)=5q+200,收益函數(shù),可得利潤(rùn)函數(shù)L(q)=R(q)-C(q)=-0.01q2+5q-200.

    因?yàn)長(zhǎng)′(q)=-0.02q+5,令L′(q)=0得q=250.

    此時(shí)L″(q)=-0.02<0,所以q=250時(shí)利潤(rùn)最大,L(250)=425元.

    所以生產(chǎn)250個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為425元.

    (三)最優(yōu)批量問(wèn)題模型

    在一定原材料年需求量的前提下,如果每次定貨量增加,訂貨次數(shù)就減少,這樣,雖然采購(gòu)成本減少,但倉(cāng)儲(chǔ)保管成本卻會(huì)增加;反之,如每次定貨量減少,訂貨次數(shù)就會(huì)增加,因而采購(gòu)成本增加,倉(cāng)儲(chǔ)保管成本減少.最優(yōu)訂貨批量問(wèn)題就是通過(guò)確定最佳的訂貨數(shù)量來(lái)平衡采購(gòu)成本和倉(cāng)儲(chǔ)保管成本,從而保持存貨的最優(yōu)水平,減少儲(chǔ)備資金的占用量,使總成本最低.

    設(shè)TC為總庫(kù)存成本,PC為采購(gòu)進(jìn)貨成本(包括購(gòu)置價(jià)格),HC為倉(cāng)儲(chǔ)保管成本,D為材料的年需求量,h為材料的單價(jià),q為每次訂貨的數(shù)量,k為每次訂貨的成本,m為單位貨物的倉(cāng)儲(chǔ)保管成本,n為年訂貨次數(shù),F(xiàn)1為采購(gòu)成本中的固定成本,F(xiàn)2為保管成本中的固定成本,那么

    TC=PC+HC=F1+Dh+Dqk+F2+q2m=(hD+F1+F2)+kDq+mq2.

    其中,hD+F1+F2為固定成本,設(shè)TC(q)為每次訂貨量為q時(shí)的變動(dòng)成本,則TC(q)=kDq+mq2,以q為自變量求TC(q)的一階導(dǎo)數(shù)TC′(q)=-kDq2+m2.

    令TC′(q)=-kDq2+m2=0,解得q2=2kDm,即q=2kDm.

    又因?yàn)門(mén)C(q)的二階導(dǎo)數(shù)TC″(q)=2kDq3>0.

    所以,當(dāng)q=2kDm時(shí),TC(q)取得最小值,即如果按照這個(gè)定貨量訂貨,可以使采購(gòu)成本和保管成本中的變動(dòng)成本的總和最低.

    因此,最優(yōu)批量問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為:

    最優(yōu)定貨量q=2kDm,

    最優(yōu)批量成本TC*(q)=kD2kDm+m22kDm=2kDm.

    最后需要說(shuō)明的是,經(jīng)濟(jì)學(xué)是一個(gè)復(fù)雜的科學(xué)體系,經(jīng)濟(jì)研究中必須綜合應(yīng)用各種方法,才能使經(jīng)濟(jì)理論科學(xué)有效,數(shù)學(xué)只是經(jīng)濟(jì)研究的方法之一.在經(jīng)濟(jì)研究中應(yīng)用數(shù)學(xué)方法時(shí),要力求數(shù)學(xué)條件的設(shè)定與真實(shí)的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)最大限度地接近,不可設(shè)定脫離現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)模型.另一方面,隨著經(jīng)濟(jì)學(xué)和數(shù)學(xué)的共同發(fā)展,在經(jīng)濟(jì)研究中將會(huì)更進(jìn)一步地運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理論知識(shí)和思想方法,建立更多、更科學(xué)實(shí)用的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)作為輔助工具將會(huì)在經(jīng)濟(jì)研究中得到更成功、更廣泛地運(yùn)用.

    【參考文獻(xiàn)】

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    [4]崔宜蘭.導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的最優(yōu)化問(wèn)題的應(yīng)用[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào),1997(2).

    [5]楊麗賢,曹新成,關(guān)麗紅.談高等數(shù)學(xué)理論在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用[J].長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào),2006(12).

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