偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)三者之間的關(guān)系

徐志敏　劉勇

【摘要】本文通過定理及反例的形式給出偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)三者之間的關(guān)系，從而使學(xué)習(xí)者更加認清三者之間的聯(lián)系.

【關(guān)鍵詞】偏導(dǎo)數(shù)；全微分；方向?qū)?shù)

對于偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)三者之間的內(nèi)在聯(lián)系一直是學(xué)生難以理解和容易混淆的內(nèi)容，本文以二元函數(shù)為例，通過定理及反例的形式給出偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)三者之間的關(guān)系，以便加深學(xué)生對上述內(nèi)容的理解.

一、偏導(dǎo)數(shù)存在與全微分存在之間的關(guān)系

定理一 如果函數(shù)z=f（x，y）在點（x，y）可微分，則該函數(shù)在點（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)zx，zy

存在. 反之不成立.

例1 函數(shù)

f（x，y）=xyx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0，

在點（0，0）處有fx（0，0）=0，fy（0，0）=0，但是

lim ρ→0（Δx=Δy）Δz-fx（0，0）Δx+fy（0，0）Δyρ=lim ρ→0（Δx=Δy）Δx·Δx（Δx）2+（Δx）2=12，并不是比ρ高階的無窮小，因此，該函數(shù)在點（0，0）處的全微分不存在.

定理二 如果函數(shù)z=f（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)zx，zy在點（x，y）連續(xù)，則函數(shù)在該點可微分.

二、偏導(dǎo)數(shù)存在與任意方向的方向?qū)?shù)存在之間的關(guān)系

首先，函數(shù)z=f（x，y）在點（x，y）兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，只能說明該函數(shù)在點（x，y）沿

el=1，0（或el=-1，0）及el=0，1（或el=0，-1）的方向?qū)?shù)存在，并不能保證函數(shù)在點（x，y）沿任意方向的方向?qū)?shù)存在.

例2 設(shè)函數(shù)

f（x，y）=xyx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0，

函數(shù)f（x，y）在（0，0）處有fx（0，0）=0，fy（0，0）=0.

設(shè)l是以（0，0）為始點、el=cosπ4，cosπ4的一條射線，則

limρ→0+fρcosπ4，ρcosπ4-f（0，0）ρ=limρ→0+ρ2cosπ4cosπ4ρ3=12limρ→0+1ρ，

此極限顯然不存在，所以fl（0，0）不存在.

其次，函數(shù)z=f（x，y）在點（x，y）沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在并不能保證該函數(shù)在

點（x，y）偏導(dǎo)數(shù)存在.

例3 設(shè)f（x，y）=x2+y2，則f（x，y）在點（0，0）沿任意射線l（el=（cosα，cosβ））的方向?qū)?shù)為：

fl（0，0）=limρ→0+f（ρcosα，ρcosβ）-f（0，0）ρ=limρ→0+ρcosα2+ρcosβ2ρ=1，

但是，fx（0，0），fy（0，0）顯然不存在.

所以函數(shù)z=f（x，y）在點（x，y）處沿任意方向的方向?qū)?shù)存在既不是它在點（x，y）處偏導(dǎo)數(shù)存在的充分條件也不是必要條件.

三、任意方向的方向?qū)?shù)存在與全微分存在之間的關(guān)系

定理三 如果函數(shù)z=f（x，y）在點（x，y）全微分存在，則該函數(shù)在點（x，y）沿任意方向的方向?qū)?shù)存在.反之不成立.

例4 設(shè)函數(shù)f（x，y）=xyx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0，

則f（x，y）在點（0，0）沿任意方向l（el=（cosα，cosβ））的方向?qū)?shù)為：

fl（0，0）=limρ→0+f（ρcosα，ρcosβ）-f（0，0）ρ=limρ→0+ρ2cosαcosβρ2=cosαcosβ，

但由例1可知，該函數(shù)在點（0，0）處的全微分不存在.

上述定理的證明，可參考同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編的《高等數(shù)學(xué)》，在此不再贅述.

【參考文獻】

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]劉玉璉，傅沛仁，林玎，劉寧.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京：高等教育出版社，2010.