一元函數(shù)不定積分湊微分法求解技巧的幾點思考

范云曄

【摘要】一元函數(shù)不定積分計算是微積分計算中的重要內容之一，也是高職的學生學習高等數(shù)學的重點和難點之一.本文根據(jù)幾道求不定積分的題目，針對湊微分法（第一類換元法）使用的特性，總結歸納湊微分法求不定積分的分類與技巧，提出分析此類題目的一種方法.

【關鍵詞】一元函數(shù)不定積分；湊微分法；被積函數(shù)；函數(shù)乘積

在高職高等數(shù)學的課程中，一元函數(shù)不定積分計算是微積分計算中的重要內容之一，也是高職學生學習高等數(shù)學的重點和難點之一.在高職的課本中主要介紹了不定積分計算的直接積分法、第一類換元法（湊微分法）、第二類換元法和分部積分法四種計算方法，其中重點介紹利用湊微分法（第一類換元法）求解一元函數(shù)不定積分.

如何選擇合適的方法來解不定積分，主要取決于被積函數(shù)的形式.一般來說，被積函數(shù)“通過化簡、拆項、三角恒等變形和因式分解后約分等”[1]初等變換后，可以視為若干個積分基本公式中所出現(xiàn)的被積函數(shù)相加減的形式時，該道不定積分就可以利用直接積分法計算了.如若不能，則就要采用換元法和分部積分法進行不定積分計算了.

湊微分法計算不定積分其實就是借用復合函數(shù)的微分法反過來進行求解，其求解步驟可歸納為公式

在此過程將被積函數(shù)g（x）視為兩個函數(shù)的乘積形式，其中較為復雜的一個函數(shù)視為f[φ（x）]，另一個較簡單的函數(shù)視為k·φ′（x）（k為非零常數(shù)）.在整個計算過程中，解題的重點就在對被積函數(shù)的轉換和復雜函數(shù)的分解的分析，“其關鍵是根據(jù)具體的被積函數(shù)，進行適當?shù)臏愇⒎趾?，能依托于某一個基本積分公式.”[2]

針對被積函數(shù)的形式和特點，歸納相應轉換和分解的規(guī)律，可以得出以下幾種湊微分法求解不定積分的方法和技巧：

一、被積函數(shù)中含有復合函數(shù)

當被積函數(shù)中含有復合函數(shù)，且可以利用湊微分法計算不定積分時，只需依據(jù)復合函數(shù)分解的原則對相關的復合函數(shù)進行分解，微分du即可湊成，則該不定積分就能計算出來.

（一）被積函數(shù)中只含有一個復合函數(shù)

對于被積函數(shù)只含一個復合函數(shù)的形式的不定積分，首先將被積函數(shù)視為常數(shù)1與復合函數(shù)相乘積的形式；接著，對復合函數(shù)進行分解得出u，觀察發(fā)現(xiàn)du等于常數(shù)與dx的乘積；最后，根據(jù)湊微分法的五個解題步驟計算出不定積分.

（二）被積函數(shù)可視為復合函數(shù)與另一函數(shù)乘積形式

利用湊微分法解決此類型的不定積分，其首要步驟同樣是對被積函數(shù)中的復合函數(shù)進行分解.

當被積函數(shù)分解完成后，可以發(fā)現(xiàn)：φ′（x）與另一函數(shù)相比就相差一個非零常系數(shù)k.同時f（u）又是積分基本公式中的一種被積函數(shù)形式，所以通過解題步驟就可以將這個不定積分輕松地計算出來.

（三）被積函數(shù)可視為復合函數(shù)與另一函數(shù)相除形式

當被積函數(shù)為一復合函數(shù)與另一函數(shù)相除形式的時候，想要利用湊微分解這樣的不定積分，首先要將被積函數(shù)轉化為一函數(shù)的倒數(shù)形式與另一函數(shù)的乘積形式.再對新的復合函數(shù)進行分解，觀察φ′（x）與另一函數(shù)相比是否相差一個非零常系數(shù)k.若否，就要考慮其他方法；若是，就是用（二）的方法解決該不定積分.