數(shù)列問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想

林嘉慧

【摘要】數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.能否有意識地正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解答數(shù)學(xué)問題，是衡量數(shù)學(xué)素質(zhì)和數(shù)學(xué)能力的重要標(biāo)志.數(shù)列中蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想，在考查數(shù)列知識過程中數(shù)學(xué)思想方法一定會滲透其中，考查思想方法必然要與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識結(jié)合，在數(shù)列教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的挖掘與滲透具有十分重要的意義.

【關(guān)鍵詞】數(shù)列問題；函數(shù)

數(shù)列作為離散函數(shù)的典型代表之一，不僅在高中數(shù)學(xué)中具有重要位置，而且，在現(xiàn)實(shí)生活中有著非常廣泛的作用.因此，深刻體會其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，理解用函數(shù)思想解決數(shù)列問題的本質(zhì)，往往能誘發(fā)知識的遷移，使學(xué)生舉一反三、融會貫通地解決多種數(shù)列問題.下面我通過一節(jié)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課談?wù)勛约旱慕虒W(xué)體會.

課前導(dǎo)語：在我們的課堂中有一個(gè)簡單的詞叫滲透，在高考中有一個(gè)時(shí)尚的詞叫可測，這節(jié)課我們一起來挖掘這個(gè)既可測又可滲透的數(shù)列問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

【活動一】挖掘數(shù)列問題中的函數(shù)思想.

1.提出問題1： 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=25，S9=S17，問數(shù)列的多少項(xiàng)和最大？

2.請同學(xué)們回憶，數(shù)列有什么特性？

3.你想到了什么解決方法？它的理論依據(jù)是什么？（讓兩名學(xué)生分別對問題1加以分析）

4.了解學(xué)生的理解深度.引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)思想尋找解題方法.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生通過自主研究，明確數(shù)列是一個(gè)定義在N*或它的子集{1，2，3，…，n}上的特殊函數(shù)，在解決數(shù)列問題時(shí)，能善于利用函數(shù)的知識、函數(shù)的觀點(diǎn)、函數(shù)的思想方法來解題，即用共性來解決特殊問題.

【活動二】挖掘數(shù)列問題中的數(shù)形結(jié)合思想.

1.提出問題2： 已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sp=Sq（p≠q），則Sp+q=.

2. 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的表示形式有什么特征？

3.表示等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的點(diǎn)在什么樣的圖像上？

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生感受借助數(shù)列所對應(yīng)函數(shù)的圖像解答某些問題，會十分地直觀、快捷.如：解答等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題，我們可結(jié)合二次函數(shù)的圖像.

活動三：挖掘數(shù)列問題中的方程思想.

1.提出問題3： 設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6+15=0.（1）若S5=5，求S6及a1.（2）求d的取值范圍.

2. S6及a1滿足什么樣的關(guān)系，如何求解？

3. d的取值范圍如何入手，想到解題方案了嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步認(rèn)識等差（比）數(shù)列一般涉及五個(gè)基本量：a1，d（或q），n，an，Sn. “知三求二”是等差（比）數(shù)列中的基本問題，可運(yùn)用方程思想，通過解方程（組）求解.

【活動四】挖掘數(shù)列問題中的整體思想.

1.提出問題4： 已知一個(gè)等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為21，末四項(xiàng)和為67，前n項(xiàng)的和為286，求項(xiàng)數(shù).

2.等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式有什么性質(zhì)？

3.解題過程中需要知道a1與an的值嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察、分析、發(fā)現(xiàn)，從整體著眼，通過問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或其他整體處理后，可達(dá)到簡捷地解題的目的，讓學(xué)生體會整體思想是從問題的整體結(jié)構(gòu)出發(fā)，實(shí)施整體變形、整體運(yùn)算的思想.整體思想的靈活運(yùn)用，通常是將問題從多元向一元簡化，使問題的解決方式變得明朗、簡捷.

【活動五】挖掘數(shù)列問題中的分類討論思想.

1.提出問題5： 求和Sn=a+1b+a2+1b2+a3+1b3+……+an+1bn.

2.請學(xué)生甲上臺解題板書.（暴露其思維過程）

3.請學(xué)生乙評價(jià)甲的解題過程，指出其存在問題.

4.引導(dǎo)學(xué)生歸納解題步驟.

【設(shè)計(jì)意圖】教師可以通過學(xué)生的討論進(jìn)行糾錯(cuò)，糾察學(xué)生在解題時(shí)產(chǎn)生的知識點(diǎn)錯(cuò)誤，從而暴露其中存在的誤區(qū)和理解深度.體會到分類討論思想的作用.同時(shí)注意利用學(xué)生錯(cuò)誤這一重要的資源，不斷地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后的反思，使學(xué)生完成自我意識、自我評價(jià)、自我調(diào)整的過程，讓學(xué)生更容易找到易錯(cuò)點(diǎn)和易混點(diǎn)，從而更清晰、準(zhǔn)確地掌握知識.

【活動六】挖掘數(shù)列問題中的轉(zhuǎn)化與化歸思想.

1.提出問題6： 已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+1，且a1=1.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. （2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

2.數(shù)列{an}是特別數(shù)列嗎？

3.數(shù)列{an}既非等差又非等比，我們可以進(jìn)行怎樣的轉(zhuǎn)化，才可以求其通項(xiàng)？

【設(shè)計(jì)意圖】我們在處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常將待解決的問題通過轉(zhuǎn)化，化歸成一類我們比較熟悉的問題來解決.

【活動七】挖掘數(shù)列問題中的歸納、猜想與證明思想.

1.提出問題7： 問題6中還有別的解決方法嗎？

2.對于一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，當(dāng)你無從下手時(shí)，可以怎么處理？

3.引導(dǎo)學(xué)生通過對個(gè)別、特殊情況的分析、觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出一般的結(jié)論或性質(zhì)，再尋求證明方法.

【設(shè)計(jì)意圖】歸納、猜想、證明是解決數(shù)列中探索性問題的一種重要方法，它是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的好素材.本訓(xùn)練讓學(xué)生在已有探索經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，借助多媒體的形象直觀，共同完成問題的抽象過程.體現(xiàn)研究問題常用的“由特殊到一般”的思維方式.

【結(jié)束語】在解決數(shù)列問題中，數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用比比皆是，但離開了扎實(shí)的知識基礎(chǔ)，熟練的基本技能，數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用也就成了空中樓閣.需要同學(xué)們養(yǎng)成良好的應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解題的思維習(xí)慣.