探究考研數(shù)學中Taylor公式的極限計算技巧

1、引言

Taylor公式是微積分中的重要理論，也是求解微積分問題的重要工具. 可是我們在微積分教學中往往只粗略介紹Taylor公式和麥克勞林公式，對其在解題中的應用講解很少. 實際上，Taylor公式在求極限、求積分、求高階導數(shù)的值、判定級數(shù)斂散性、證明不等式或恒等式、解微分方程等方面都有應用價值.

對于極限計算的技巧，我們常用的方法是等價無窮小的替換和洛必達法則. 但是等價無窮小的替換在加減法替換時有諸多限制，而洛必達法則也經常因多次求導的導數(shù)過于復雜，而無法繼續(xù)降階. 此時，我們可以選用Taylor公式來計算極限，同時也很大程度上降低了運算的復雜度.

2、預備知識

3、利用Taylor公式計算極限

在利用Taylor公式計算極限時，首先應確定Taylor展開的階數(shù). 如果分母（或分子）是 階，那么只需將分子（或分母）展開成 階麥克勞林公式.如果分子、分母都需要展開，那么將它們展開到同階無窮小的階數(shù). 其次，我們也經常使用泰勒公式與等價無窮小替換相結合的方式，來盡可能的簡化極限，直至多項式之比的極限，便可容易的計算出結果.

4、結束語

在利用Taylor公式求極限時，我們在熟記常見的Taylor公式展開的基礎上，要針對具體問題進行靈活運用. 具體問題具體分析，不要形成定勢思維，要積極拓展自己的思維方式，融入如Taylor公式般靈活多變的解題方式.

巧妙利用Taylor公式進行極限計算，可以簡便快捷的解決復雜的極限問題. 在考研教學以及日常微積分教學中，滲透Taylor公式的應用思想不僅可以提高教師的教學水平，而且可以擴寬學生解題思路，提升學生獨立解決問題的能力，這對學習和教學都有很大裨益.

（作者單位：四川大學錦江學院）