構(gòu)造法，數(shù)學(xué)解題的一把利刃

吳琪

摘 要：課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)課堂要摒棄機(jī)械訓(xùn)練、方法陳舊的課堂模式，代之以思想開放、樂于探究的開放型課堂。要達(dá)到這一目標(biāo)，我們就必須講究解題方法，提高學(xué)生思維的活躍性。構(gòu)造法是一種常見的數(shù)學(xué)模型，對學(xué)生的思維靈活要求較高，教師可以借此方法充分調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，使其更主動(dòng)地投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，盡情暢享數(shù)學(xué)知識(shí)的神奇與瑰麗。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 構(gòu)造法 教學(xué)策略

著名數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)解題的成功需要進(jìn)行正確的思路選擇，要從可以接近它的方向去攻擊堡壘?！睌?shù)學(xué)問題的解決不一定要采用常規(guī)思路，即僅根據(jù)已知條件并結(jié)合所學(xué)知識(shí)按部就班地探索答案。有些問題我們用常規(guī)思維模式是很難獲得到正確答案的，因此，這就需要學(xué)生改變原有的思維方式，以新的角度來考慮問題，尋求破解問題的關(guān)鍵點(diǎn)。構(gòu)造法就是這樣的手段之一，它是一種極其重要的數(shù)學(xué)解題思想，應(yīng)用十分廣泛。我結(jié)合多年的高中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對如何在課堂授課以及習(xí)題訓(xùn)練中滲透構(gòu)造法的使用條件及注意事項(xiàng)進(jìn)行研究與探索，下面通過具體實(shí)例淺談幾點(diǎn)看法。

一、圖形構(gòu)造，判斷個(gè)數(shù)

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，幾何部分是重點(diǎn)知識(shí)之一，其考查方式也多種多樣，大部分學(xué)生對此都感到十分迷茫。在很多題型中，幾何條件與證明結(jié)論之間的關(guān)系也較為隱蔽，學(xué)生僅通過題意一時(shí)間是很難發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵點(diǎn)的。因此，學(xué)生應(yīng)注意挖掘題目條件中隱含的幾何含義，并以此為依據(jù)構(gòu)造出適當(dāng)?shù)膸缀螆D形，使問題變得更加直觀，取得事半功倍的解答效果。

幾何部分知識(shí)的學(xué)習(xí)是枯燥無味的，尤其對于空間想象力不強(qiáng)的學(xué)生，當(dāng)他們遇到分析圖形個(gè)數(shù)問題時(shí)，總會(huì)暈頭轉(zhuǎn)向，不能準(zhǔn)確抓住解題的關(guān)鍵，只會(huì)浪費(fèi)時(shí)間，不利于考試發(fā)揮。教師要教會(huì)學(xué)生使用便捷的方法，加快解題速度。例如，很多學(xué)生都會(huì)遇到這樣的題目：如圖1所示的三棱錐P-ABC，在棱錐的三個(gè)側(cè)面以及一個(gè)底面中，直角三角形的個(gè)數(shù)最多可能存在（ ）個(gè)。

這道題目雖然給出了一個(gè)三棱錐，但仍需我們展開想象，構(gòu)造出一個(gè)符合題目要求的三棱錐。題干要求我們找出可能存在的直角三角形的個(gè)數(shù)，很明顯，我們會(huì)聯(lián)想到PA⊥底面△ABC，如果底面△ABC也是一個(gè)直角三角形，假設(shè)∠ABC是直角，那么我們很容易就能得出答案為4。

這道題運(yùn)用了構(gòu)造法求解題，使用構(gòu)造法之前一定要對題干認(rèn)真分析，根據(jù)已知條件構(gòu)造出合適的圖形，這才是解題的關(guān)鍵。在高考中有不少填空題或選擇題都可以利用構(gòu)造法快速解決，有些時(shí)候還需要構(gòu)造出一些與題干相悖的圖形，進(jìn)而推翻選項(xiàng)達(dá)到快速解題的目的。教師要注意在平常訓(xùn)練中培養(yǎng)學(xué)生的解題技巧，多向?qū)W生滲透構(gòu)造法在幾何圖形中的妙用。

二、函數(shù)構(gòu)造，求證不等

高中函數(shù)的學(xué)習(xí)并不像初中函數(shù)那么簡單，往往會(huì)出現(xiàn)一些較為復(fù)雜的證明題，以考查學(xué)生的理論推理能力。在求解某些函數(shù)問題時(shí)，使用直接方法往往并不能解決問題，因此，我們要利用所學(xué)知識(shí)和已知條件構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù)，為解題提供幫助，使問題在新的觀念下得以轉(zhuǎn)化，接下來再利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解決原問題，這是一種行之有效的解題策略。

眾所周知，函數(shù)學(xué)習(xí)貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，隨著知識(shí)水平的提升，對學(xué)生的函數(shù)理解能力以及應(yīng)用水平的要求都有所提高。證明類題目一直是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，很多學(xué)生都無法輕松突破，教師要及時(shí)幫助學(xué)生打破知識(shí)的桎梏，完成證明題目解決的逆襲。例如，我在習(xí)題訓(xùn)練中會(huì)給學(xué)生設(shè)置這樣的題目：證明不等式 < （x≠0）。這道題如直接證明，則難度很大，我們要進(jìn)行轉(zhuǎn)換，題目等效于 -

<0。這樣，我們就可以構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)f（x）= - （x≠0）。為了便于證明，我們可以求出f（-x），即f（-x）= + ，對此稍加化簡就可以得出f（x）=f（-x）的結(jié)論，即f（x）在x≠0時(shí)是一個(gè)偶函數(shù)。又因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，2x>1，即1-2x<0，所以f（x）= - <0，再根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x<0時(shí)，也有f（x）<0。所以，當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）<0，即原不等式 < 得證。這道題目雖然屬于不等式的知識(shí)范疇，但只利用不等式的相關(guān)知識(shí)并不能快速解題，我們需將題目轉(zhuǎn)化后得到一個(gè)新的函數(shù)，在對函數(shù)進(jìn)行分析并結(jié)合函數(shù)性質(zhì)特點(diǎn)后，就能較輕松地解決問題了。

在構(gòu)造函數(shù)過程中，最應(yīng)該注意的就是要有意識(shí)、有目的地構(gòu)造，切不可胡亂構(gòu)造，否則對解題是毫無益處的，這樣只會(huì)浪費(fèi)時(shí)間，毫無成效。構(gòu)造函數(shù)要注意目的性，構(gòu)造完成后要明確如何利用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行解題，以加快解題速度，提升解題效率。

三、向量構(gòu)造，數(shù)形轉(zhuǎn)化

平面向量是學(xué)生進(jìn)入高中后接觸到的新知識(shí)，它也是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在每年高考中都會(huì)有所體現(xiàn)。為了幫助學(xué)生取得佳績，教師要幫助學(xué)生理解向量的真正含義。其實(shí)，向量的應(yīng)用有很多，尤其在解決立體幾何相關(guān)問題中，很多題目如直接利用傳統(tǒng)方法是無法解決的，而利用向量法解題則會(huì)非常簡單，這都體現(xiàn)了向量的重要性。

就向量本身的知識(shí)而言，它可以實(shí)現(xiàn)由數(shù)向形的轉(zhuǎn)化，我們可以根據(jù)題意構(gòu)造出對解題有利的平面向量模型，使問題得以簡化，學(xué)生分析起來也會(huì)簡單得多。證明題在高考中出現(xiàn)的頻率越來越高，我以一道證明題為例，簡要介紹向量構(gòu)造法使用的妙處。求證：|a+b|-|a-b|≤2|b|。這道證明題形式雖然簡單，但難度卻很大，很多學(xué)生根本就不知道該如何下手。其實(shí)，這道題是需要構(gòu)造向量的， =（a-b，0）， =（2b，0），則 + =（a+b，0），所以| |= =|a-b|，

| |= =2b，再根據(jù)| + |= =|a+b|。我們再結(jié)合向量的基礎(chǔ)知識(shí)，| + |≤| |+| |，得出|a+b|≤|a-b|+|2b|，這樣原式得證。

這道題同上一例題一樣，都是一道不等式證明題，但解決方法卻不一樣。前一題采用了構(gòu)造函數(shù)的方法，而這一道題則采用了構(gòu)造向量的方式，雖然構(gòu)造內(nèi)容不同，但終究都是構(gòu)造法，在構(gòu)造過程中的注意事項(xiàng)是相同的，都需要結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)來思考該向哪一個(gè)方向構(gòu)造，兩者構(gòu)造后所起到的作用也是相同的，都能使題目簡化，易于解決。通過這種方法解決不等式證明題，有利于開發(fā)學(xué)生的思維模式。

四、模型構(gòu)造，解析定理

高中數(shù)學(xué)中涉及很多數(shù)學(xué)模型，它們都是通過理論推導(dǎo)而得出的正確結(jié)論。其中很多模型的證明都能應(yīng)用到構(gòu)造法，正是由于構(gòu)造法的存在才使得模型得以應(yīng)用，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了較大便利。

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，大家最熟悉的模型就是判別式模型，在很多題目解答中都會(huì)運(yùn)用到，這種方法不僅簡單快捷，而且學(xué)生也易于接受，是一種大眾化模型。例如，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中會(huì)遇到這樣的證明題目：已知，a1、a2、b1、b2是非零實(shí)數(shù)，求證不等式：（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（a12+b12）（證明柯西不等式）。該不等式可以轉(zhuǎn)化為（a1b1+a2b2）2-（a12+a22）（a12+b12）≤0。仔細(xì)觀察式子，我們就可以發(fā)現(xiàn)，左邊類似于判別式Δ=b2-4ac，基于這一發(fā)現(xiàn)，我們可以構(gòu)造關(guān)于a的二次不等式（a1a+b1）2+（a2a+b2）2≥0恒成立，即（a12+a22）a2+2（a1b1+a2b2）a+b12+b22≥0恒成立，所以Δ≤0，即可以證明原不等式?？挛鞑坏仁绞俏覀儧]有學(xué)過的知識(shí)，但卻可以利用已學(xué)知識(shí)來進(jìn)行證明。在解決證明類題目時(shí)，我們不能一眼就看出解題方法，解題方法是在變換中一點(diǎn)一點(diǎn)被挖掘出來的。一開始我們并不能聯(lián)想到用判別式法來解題，但對不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化后，方法就自然而然地迸發(fā)出來了，這是一種解題經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)然，構(gòu)造法也在其中起到了關(guān)鍵性的作用，只有學(xué)生正確地構(gòu)造出有利于解題的二次不等式，才會(huì)輕松地解題。

總之，利用構(gòu)造法解題會(huì)起到意想不到的效果，會(huì)將原本復(fù)雜的題目變得簡單，使疑難問題迎刃而解。利用構(gòu)造法解題，需要學(xué)生開動(dòng)大腦、開放思維，多角度多渠道地展開聯(lián)想，只有想到相關(guān)知識(shí)，才能構(gòu)造出合適的形式，為解題提供幫助，從而獲得快捷有效的解題策略。構(gòu)造法解題可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，讓學(xué)生從中感受到數(shù)學(xué)之美，體驗(yàn)到解題之趣。

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