感悟方法探索規(guī)律

王鵠

人教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)《探索圖形》是在認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體和正方體后，安排的一節(jié)綜合與實(shí)踐活動(dòng)。目的是讓學(xué)生運(yùn)用學(xué)過的正方體的特征等知識(shí)，探索由小正方體拼成的大正方體表面涂色再分開后，每個(gè)小正方體表面涂色的可能性及每種可能的數(shù)量和位置特征，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和推理能力，體會(huì)分類計(jì)數(shù)、數(shù)形結(jié)合、歸納、推理、模型等數(shù)學(xué)思想。

一、化繁為簡(jiǎn)，明確探究方向

教師出示四階魔方，讓學(xué)生認(rèn)真觀察，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述魔方。學(xué)生有的指出它是正方體，有的指出它有6個(gè)面、8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱，還有的發(fā)現(xiàn)它是由64個(gè)小正方體拼成的。教師繼續(xù)設(shè)問，64個(gè)小正方體拼成的大正方體，它的6個(gè)面都涂上了顏色，請(qǐng)想象一下，64個(gè)小正方體會(huì)有幾個(gè)面被涂上顏色？如果根據(jù)涂色的情況給這64個(gè)小正方體分類，你想怎樣分？學(xué)生指出按照涂色的面數(shù)可以分為三面涂色、兩面涂色、一面涂色和沒有涂色。每一類小正方體分別有多少個(gè)呢？學(xué)生一時(shí)還算不出來。

教師先引導(dǎo)學(xué)生思考：最少用幾個(gè)小正方體可以拼成一個(gè)稍大的正方體？學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn)至少需要8個(gè)小正方體才能拼成一個(gè)大正方體。教師用課件出示①號(hào)圖形，用8個(gè)棱長(zhǎng)1cm的小正方體拼成棱長(zhǎng)為2cm的大正方體后，把它的表面涂上顏色，請(qǐng)想象一下，這些小正方體會(huì)有幾個(gè)面被涂上顏色？學(xué)生指出3個(gè)面后，教師引導(dǎo)學(xué)生把要研究的問題及觀察的數(shù)據(jù)記錄下來并以表格的形式呈現(xiàn)（表格如下）。

接著繼續(xù)追問，如果將這個(gè)大正方體拼得再大一點(diǎn)，需要多少個(gè)小正方體？學(xué)生發(fā)現(xiàn)需要27個(gè)小正方體，也就是用棱長(zhǎng)1cm的小正方體拼成棱長(zhǎng)為3cm的的大正方體。運(yùn)用類推的思考方式，接下來是要繼續(xù)探究棱長(zhǎng)為4cm、5cm、6cm的大正方體中各小正方體表面的涂色規(guī)律。

二、分類計(jì)數(shù)，收集探究材料

教師用棱長(zhǎng)1cm的小正方體拼成棱長(zhǎng)為3cm的大正方體，把它們的表面分別涂上顏色后問學(xué)生：其中三面、兩面、一面涂色的小正方體各有多少個(gè)？還有一個(gè)正方體是哪一種？學(xué)生討論交流后發(fā)現(xiàn)，還有一種是六個(gè)面都沒有涂色的。在學(xué)生填表的過程中，教師追問：三面、兩面、一面和沒有涂色的小正方體分別在正方體的哪個(gè)位置？如果拼成棱長(zhǎng)為4cm的大正方體后，需要多少個(gè)小正方體？其中三面、兩面、一面涂色的小正方體各有多少個(gè)？學(xué)生借助直觀圖，發(fā)現(xiàn)三面涂色的小正方體共8個(gè)，在原來大正方體的8個(gè)頂點(diǎn)的位置；兩面涂色的共有24個(gè)，分別是每一條棱上的中間兩個(gè)（此處有學(xué)生是數(shù)出來的，有學(xué)生是用2×12算出來的）；一面涂色的共24個(gè)，分別是每個(gè)面的正中間的4個(gè)；沒有涂色的塊數(shù)是8個(gè)（64-8-24-24=8）。

三、數(shù)形結(jié)合，推理概括規(guī)律

通過前幾次的探究，學(xué)生結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)了如下規(guī)律：三面涂色的小正方體都在大正方體的頂點(diǎn)的位置。不論棱長(zhǎng)是幾，分割后三面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)都是8個(gè)。兩面涂色的小正方體都在大正方體的棱的位置，只要用每條棱中間兩面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)乘12，就得出兩面涂色的小正方體的總個(gè)數(shù)。一面涂色的小正方體都在大正方體的面的位置，只要用每個(gè)面上一面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)乘6，就得出一面涂色的小正方體的總個(gè)數(shù)。沒有涂色的個(gè)數(shù)=總塊數(shù)-三面涂色的塊數(shù)-兩面涂色的塊數(shù)-一面涂色的塊數(shù)。據(jù)此，筆者引導(dǎo)學(xué)生探討棱長(zhǎng)是5cm、6cm時(shí)的涂色規(guī)律，學(xué)生合作探究后將所得結(jié)果填寫在表格中再次驗(yàn)證了上述發(fā)現(xiàn)。如果拓展到一般規(guī)律：把棱長(zhǎng)為n的大正方體涂色切割，三面涂色、兩面涂色、一面涂色及沒有涂色的塊數(shù)的小正方體各有多少個(gè)？師生共同歸納得出：三面涂色的在正方體頂點(diǎn)的位置，因?yàn)檎襟w有8個(gè)頂點(diǎn)，所以都有8個(gè)；兩面涂色的在正方體棱上除去兩端的位置，因?yàn)檎襟w有12條棱，所以有（n-2）×12個(gè)；一面涂色的在正方體每個(gè)面除去周邊一圈的位置，因?yàn)檎襟w有6個(gè)面，所以有（n-2）2×6個(gè)；沒有涂色的在正方體里面除去表面一層的位置，所以有（n-2）3個(gè)，或者，用總塊數(shù)-三面涂色的塊數(shù)-兩面涂色的塊數(shù)-一面涂色的塊數(shù)。

教學(xué)中，教師采用小組活動(dòng)與全班集體活動(dòng)相結(jié)合的形式，放手讓學(xué)生用小正方體擺一擺，拿魔方看一看，讓每一個(gè)學(xué)生都有活動(dòng)的空間和時(shí)間，使學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中學(xué)會(huì)求知、學(xué)會(huì)合作、學(xué)會(huì)交流，在活動(dòng)中獲得了成功的快樂。學(xué)生通過探索圖形涂色規(guī)律的活動(dòng)，深化了對(duì)正方體特征的認(rèn)識(shí)，不斷拓寬了獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的渠道，感受了數(shù)學(xué)思考的魅力。在探索規(guī)律的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生初步體會(huì)了建立數(shù)學(xué)模型的過程，即從具體到抽象，從特殊到一般，逐步揭示圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和模型正確地表達(dá)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

整節(jié)課，充分體現(xiàn)了讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并加以解釋與運(yùn)用的過程，在讓學(xué)生根據(jù)直觀立體圖形進(jìn)行推理想象進(jìn)而歸納出不同涂色面數(shù)的小正方體的數(shù)量的過程中，提高了學(xué)生的空間想象能力。

（作者單位：襄陽(yáng)市襄州區(qū)教研室）