基于黏彈性邊界的地震動輸入方法和邊界條件選擇研究

孫緯宇， 歐爾峰， 嚴松宏

(1. 蘭州交通大學甘肅省道路橋梁與地下工程重點實驗室，甘肅 蘭州 730070；2.蘭州交通大學土木工程學院，甘肅 蘭州 730070； 3.甘肅省軌道交通力學應用工程實驗室，甘肅 蘭州 730070)

基于黏彈性邊界的地震動輸入方法和邊界條件選擇研究

孫緯宇1,2， 歐爾峰1,2， 嚴松宏1,3

(1. 蘭州交通大學甘肅省道路橋梁與地下工程重點實驗室，甘肅 蘭州 730070；2.蘭州交通大學土木工程學院，甘肅 蘭州 730070； 3.甘肅省軌道交通力學應用工程實驗室，甘肅 蘭州 730070)

針對地下工程抗震分析中邊界條件和地震動輸入方式選擇問題，對一地下半無限體模型在一剪切波垂直入射條件下進行不同邊界條件和不同地震動輸入方法的算例試算。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：兩側(cè)采用豎直向位移約束、底部采用黏彈性邊界、并在模型底部用等效節(jié)點力輸入地震動的方法，與三邊均采用黏彈性邊界條件和三邊均采用等效節(jié)點荷載輸入地震動的方法可以獲得同樣的結(jié)果。該方法易于在ANSYS中通過APDL編程實現(xiàn)，可為地下工程抗震分析中黏彈性邊界的使用提供便利。

地下工程； 黏彈性邊界； 地震動輸入； 邊界條件； ANSYS

0 引言

近年來，由于地震災害頻發(fā)，地下工程的抗震問題越來越受人們的重視。而在地下工程抗震分析中，由于結(jié)構(gòu)及巖土體介質(zhì)動力反應的復雜性，數(shù)值方法成為目前地下結(jié)構(gòu)動力研究的主要手段[1]。目前地下結(jié)構(gòu)抗震分析常用的數(shù)值方法主要有：以求解波動方程為基礎的波動法和以求解結(jié)構(gòu)運動方程為基礎的振動法。不管采用何種方法，邊界條件和地震動輸入方式的選擇將直接影響到地下結(jié)構(gòu)抗震分析的準確性和可靠性。因此諸多學者開展了邊界條件和地震動輸入方法的研究。Lysmer J.等[2]提出的黏性人工邊界能夠較好地模擬半無限空間的輻射阻尼，但不能模擬其彈性恢復能力。Deeks A.J.等[3]提出的黏彈性邊界條件很好地模擬了半無限輻射阻尼和彈性恢復能力。劉晶波等[4-6]研究并發(fā)展了黏彈性邊界，并將其在通用有限元軟件上進行實現(xiàn)。從此，黏彈性邊界條件得到了廣泛使用。單華廷等[7]基于黏彈性邊界條件進行了地下結(jié)構(gòu)地震反應分析中材料非線性的影響分析；李鵬等[8]基于黏彈性邊界條件進行了飽和地基中地下結(jié)構(gòu)地震反應若干問題的研究；高峰等[9]進行了地下結(jié)構(gòu)波動法與振動法的對比研究，推薦采用兩邊黏彈性邊界、底邊固定邊界的震動法計算方法。汪精和等[10]進行了地下結(jié)構(gòu)抗震分析中地震動輸入方法的比較研究，推薦采用與黏彈性邊界條件相匹配的等效節(jié)點力地震動輸入方法。

鑒于地下結(jié)構(gòu)抗震分析中采用文獻[9]方法計算精度上存在的缺陷和文獻[10]方法在ANSYS上進行APDL編程實現(xiàn)時的復雜性，本文基于黏彈性邊界條件，對某一算例在多種邊界條件和多種地震動輸入方式下的動力響應進行試算，經(jīng)過對比分析，得出一種易于APDL編程實現(xiàn)且精度較高的邊界條件形式和地震動輸入方法，可為地下工程抗震計算提供便利。

1 計算方法及原理

1.1 波動輸入方法

波動法是依據(jù)波動場，將輸入波動轉(zhuǎn)化為直接作用在人工邊界上的等效荷載來實現(xiàn)波動輸入，即把波動作用轉(zhuǎn)換成人工邊界節(jié)點作用力來實現(xiàn)波動的模擬[9]。在有限元計算中，截取的邊界上要采用人工邊界以模擬無限邊界條件。根據(jù)杜修力等[11]的研究，運用波場分離技術(shù)，將總場在截取模型的底邊界上分解為邊界入射場和邊界外行場, 側(cè)邊界上分解為自由場和散射場, 邊界入射場或自由場可由連續(xù)介質(zhì)力學模型解析計算得到, 邊界外行場或散射場由人工邊界條件模擬并由離散模型依據(jù)數(shù)值分析方法獲得。將未知的散射場或邊界外行場用總場減去自由場或邊界入射場表示, 得到含外源作用的人工邊界面L結(jié)點i方向的有限元運動方程為:

(1)

式中：{FL(t)}為施加在邊界上的等效節(jié)點力?？蓪δＰ透鱾€邊界進行波場分解，求出總波場位移，進而根據(jù)胡克定律得到應力場，再乘以邊界節(jié)點面積得到節(jié)點力。本文算例均采用二維平面有限元模型，輸入波為S 波垂直入射，等效節(jié)點力計算公式如下[10-11]：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

1.2 一致加速度激勵原理及實現(xiàn)方法

根據(jù)D’Alembert原理，體系的運動方程可以寫為：

(9)

1.3 位移激勵原理及實現(xiàn)方法

采用位移輸入時，要用絕對位移來描述運動方程，體系的運動方程可以寫為：

(10)

2 算例驗證與分析

基于黏彈性邊界條件，針對上述三種不同的地震動輸入方法，進行不同邊界條件和不同地震動輸入方式的比較分析。邊界條件的選擇和地震動輸入方法如表1所列。

表 1 邊界條件和地震動輸入選擇

算例模型如圖1所示，為二維彈性半空間模型，模型長取800 m，高取400 m，單元尺寸取為Δx=Δy=20 m，時間間隔取Δt=0.005 s。根據(jù)文獻[12]模型材料參數(shù)取為：地層的彈性模量E=13.23 GPa，剪切模量G=5.292 GPa，泊松比μ=0.25，密度ρ=2 700 kg/m3，波速CS=1 400 m/s，CP=2 425 m/s。計算模型中的監(jiān)測點分別為模型頂部中點A(0,400)、模型中心點B(0,200)和模型底邊界中點O(0,0)。

圖1 有限元模型(工況一)Fig.1 Finite element model (Case 1)

地震波在地層中傳播時會經(jīng)過多次反射與折射，當傳播至地表時已接近于垂直，因此在算例中采用從模型底部垂直入射一SV波[15]的入射形式，入射波方程為：

(2)

位移時程曲線如圖2所示。

圖2 入射波位移時程曲線圖Fig.2 Displacement time-history curves of incident wave

2.1 計算結(jié)果對比分析

分別對各工況下監(jiān)測點A、B、O的位移和應力進行對比分析。限于篇幅，這里只給出監(jiān)測點A和B各工況的位移時程曲線和應力時程曲線，監(jiān)測點O只將工況一和工況七的位移時程進行了比較，計算結(jié)果如圖3所示。

2.2 位移分析

由圖3中各工況位移時程曲線可以看出，在工況一中，剪切波經(jīng)0.286 s傳播至模型表面的A點并發(fā)生了反射，其位移幅值為入射波位移幅值的兩倍，與一維彈性波動理論計算結(jié)果相一致，同時很好地模擬了波在介質(zhì)中的傳播效應。與工況一相比，工況二采用了目前比較常用的加速度輸入方法，它不能模擬波在彈性介質(zhì)中的傳播效應，因此從一開始模型表面的A點便發(fā)生位移，且在A點位移幅值略大于工況一的位移幅值，而B點位移幅值及變化情況與A點相似；工況三能夠模擬波在介質(zhì)中的傳播效應，但位移幅值與工況一相比明顯偏??；工況四中，位移一開始沒有達到最大值，而是經(jīng)過一次震蕩后達到了最大值3.33m，超過了工況一的最大值2.73m，且達到峰值后經(jīng)過幾次震蕩，反射波才被完全吸收，達到穩(wěn)定；工況五與工況三一樣，能夠模擬波的傳播效應，但位移值幅值偏小，且要經(jīng)過幾次震蕩才能趨于穩(wěn)定；工況六位移偏??；對于工況七，從監(jiān)測點A、B和O的位移時程曲線可以看出，波傳播到模型頂部時發(fā)生反射，當傳至模型底部時被底部的黏彈性邊界完全吸收，與工況一基本吻合，既模擬了波的傳播效應，也有較高的精度。分析其原因是當剪切波垂直入射模型底部時，波垂直向上傳播，同時左右震動，引起了質(zhì)點水平方向的位移，而工況七正好與剪切波引起的邊界條件相符，因此具有較高的精度。

圖3 監(jiān)測點位移和應力時程Fig.3 Displacement and the first principal stress time-history curves of monitoring points

2.3 應力分析

由圖3中各工況第一主應力時程曲線可以看出，工況一、工況二、工況三、工況六和工況七的第一主應力變化趨勢一致(工況六B點除外)，但工況二、工況三、工況五和工況六應力值較工況一相對較小，只有工況七的第一主應力和工況一幾乎相同，當波傳播至模型底部時被底部邊界完全吸收，無任何震蕩發(fā)生。而工況四的主應力與工況一相比偏大，且在后面出現(xiàn)了震蕩。因此可以看出，采用工況七的方法可以得到很好的結(jié)果。

從以上對位移和應力的分析可以看出：采用工況七的邊界條件和地震動輸入方法，不論是在位移上還是在應力上都能夠與工況一相一致，但與工況一相比，其更容易實現(xiàn)、效率明顯更高。因此，在二維地下結(jié)構(gòu)抗震分析中可以采用工況七的方法。

3 結(jié)論

通過對不同邊界條件和不同地震動輸入方法下七種工況的位移時程和應力時程進行比較研究發(fā)現(xiàn)：

(1) 采用三邊黏彈性邊界條件和應力輸入方法，既可以較好地模擬對散射波的吸收，也能模擬半無限地基的彈性恢復能力，但編程實現(xiàn)時要在側(cè)邊界施加等效節(jié)點荷載，較為麻煩。

(2) 當采用兩邊黏彈性邊界條件、底部固定邊界條件，地震動輸入為加速度時程時，計算出的位移和應力都偏大，計算精度欠佳，且不能模擬波在介質(zhì)中的傳播效應。

(3) 當采用位移輸入時，雖然可以模擬波在介質(zhì)中的傳播效應，但計算結(jié)果偏小，且要經(jīng)過幾次震蕩后才能將反射波完全吸收。

(4) 當采用底部黏彈性、兩側(cè)豎向位移約束、底面應力輸入的方法時，計算結(jié)果既具有較高的計算精度，又易于編程實現(xiàn)，只需在模型底部施加等效節(jié)點荷載，免去了側(cè)邊界等效節(jié)點荷載的施加，而在編程實現(xiàn)的過程中，恰恰是側(cè)邊界的等效節(jié)點荷載較難施加。因此采用工況七的邊界條件和地震動輸入方法可以大大減小工作量，同時為地下工程抗震分析中黏彈性邊界條件的應用提供便利。

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Earthquake Input Method and Selection of Boundary Conditions Based on Viscoelastic Boundaries

SUN Wei-yu1,2, OU Er-feng1,2, YAN Song-hong1,3

(1.KeyLaboratoryofRoad&BridgeandUndergroundEngineeringofGansuProvince,LanzhouJiaotongUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China; 2.SchoolofCivilEngineering,LanzhouJiaotongUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China; 3.EngineeringLaboratoryofMechenicsApplicationofRailwayTransportationofGansuProvince,LanzhouJiaotongUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China)

In the seismic design and analysis of underground structures, in order to select the appropriate boundary conditions and earthquake input types, we conduct simulation experiments on an underground semi-infinite body model, which is vertically incident by a shear wave. The main results are as follows: (1) Considering three viscoelastic artificial boundaries (two lateral boundaries and the bottom boundary) and using stress as the seismic motion input, the model can not only simulate the absorption of the scattered waves but also the elastic recovery of the semi-infinite foundation. However, these model conditions are unrealistic with regard to the equivalent nodal loads on both the two lateral boundaries and the bottom boundary. (2) If the two lateral boundaries are viscoelastic artificial boundaries, the bottom boundary is fixed, and the acceleration time history is used as the seismic motion input, the displacements and stresses are overestimated by the model. In addition, the model cannot simulate the propagation effect of the wave in the medium. If we use the displacement time history as the seismic motion input, although the propagation effect of the wave can be simulated in the medium, the displacements and stresses are underestimated and the reflection wave can only be completely absorbed after several shocks. (3) If the bottom boundary is a viscoelastic artificial boundary and the two lateral boundaries are vertical displacement constraint boundaries, exerting nodal loads on the bottom boundary can be obtained with great accuracy. Moreover, the model is simple to use in ANSYS by APDL programming because only the equivalent nodal loads on the bottom boundary must be input. Therefore, it is a simple method for determining viscoelastic artificial boundaries in the anti-seismic analysis of underground engineering.

underground engineering; viscoelastic boundary; earthquake input; boundary condition; ANSYS

2016-08-30 基金項目：甘肅省科技計劃資助(1310RJZA041)；國家自然基金項目(51268030)

孫緯宇(1988-)，男，甘肅天水人，博士研究生，主要從事黃土隧道抗震方面研究。E-mail:448221362@qq.com。

TU311.3

A

1000-0844(2016)06-0929-06

10.3969/j.issn.1000-0844.2016.06.0929