地鐵列車荷載作用下黏彈性地基動應力特征分析

丁 智, 李丹薇, 謝宗星, 魏新江

(1.浙江大學城市學院土木工程系,浙江 杭州 310015; 2.浙江大學海洋學院,浙江 舟山 316021)

地鐵列車荷載作用下黏彈性地基動應力特征分析

丁 智1, 李丹薇1, 謝宗星2, 魏新江1

(1.浙江大學城市學院土木工程系,浙江 杭州 310015; 2.浙江大學海洋學院,浙江 舟山 316021)

基于Kelvin空間半無限體黏彈性解,以單個輪軸荷載為例,研究地鐵列車荷載下地基土動應力狀態(tài)、應力路徑及主應力軸旋轉等應力變化規(guī)律,并與相應彈性解下的各動應力特征進行對比分析,探討更適用于工程實際的地基附加動應力特征解。結果表明:彈性地基與黏彈性地基中的各應力狀態(tài)變化總體趨勢、主應力軸旋轉變化趨勢相同,但極限應力狀態(tài)各應力分量大小及應力路徑形狀有明顯差別,考慮黏彈性解更符合軟土區(qū)地鐵長期變形實際工況;并對單輪荷載下動應力特征的黏彈性解進行參數(shù)分析,發(fā)現(xiàn)特征系數(shù)對應力分量影響具有不同特性。

地鐵; 黏彈性地基; 應力狀態(tài); 應力路徑; 主應力軸旋轉

0 引言

隨著地下空間建設的迅猛發(fā)展,城市交通的樞紐任務正逐漸由地上交通轉由地鐵軌道交通承擔,然而地鐵運營帶來的系列問題卻不容小覷。如上海地鐵一號線在建成后未通車期間基本未發(fā)生沉降,但運營僅8個月后沉降增加了30～60 mm,通車4年內(nèi)部分路段沉降超過140 mm[1];南京地鐵一號線西延線在運營4年后隧道最大累計沉降達122 mm[2],均遠遠超過了標準的20 mm總沉降量。許多原因可引發(fā)地鐵隧道沉降,如土體的固結、蠕變或列車長期荷載作用下的振陷以及地下水位的變化等。其中由于地鐵列車移動荷載引發(fā)振動響應,從而使土體單元發(fā)生應力變化,是導致沉降的一個重要因素[3],尤其在隧道運營初期,由于列車行車密度、線路通過的荷載增加,隧道沉降呈迅速增加趨勢[4]。

目前針對半無限體彈性地基的研究已較為成熟,如張昀青[5]以Duhamel積分為基礎,采用 Fourier變換和Floquet變換等方法,對移動荷載作用下半無限體中任一點的動力響應進行了研究;蔣建群等[6]研究了彈性半空間體在移動集中荷載作用下的穩(wěn)態(tài)響應;筆者在文獻[3]中,將地鐵列車移動荷載簡化為多個移動輪軸荷載,基于彈性半空間內(nèi)Mindlin解研究了地鐵列車荷載作用下地基土中的動應力特征。以Mindlin解為基礎導出的地基變形計算公式與實測值相對吻合較好,但Mindlin計算理論并未考慮土體的黏彈性特征,與工程實際情況仍有一定差距。魏星等[7]將單個輪軸荷載疊加為多輪組車輛荷載研究了公路地基的附加動應力問題,但并未考慮動應力特征參數(shù)變化對地基附加動應力的影響變化。

軟土區(qū)土體具有明顯的黏彈性性質,即在荷載的作用下土體變形與時間有著密切的關系。已有學者開始采用黏彈性模型對半無限體地基進行研究,如祝彥知[8]假定半無限體為線性黏彈性介質,根據(jù)準靜態(tài)黏彈性-彈性對應原理,推導Kelvin半無限黏彈性體內(nèi)部受集中力作用下的應力、位移解;戚桂峰等[9]采用格林函數(shù)法推導出的解析解研究了黏彈性半空間體自由場地在移動簡諧荷載作用下的振動規(guī)律;李皓玉等[10]以Burgers模型模擬瀝青面層,將路面簡化為半空間地基上的層狀黏彈性體系,計算分析了車輛移動荷載下層狀黏彈性體系的振動特性。但關于地鐵列車荷載下黏彈性地基的動應力特征還未見報道。

研究表明,當荷載速度與地基土剪切波速比值小于0.4時,土單元應力的靜力解大小接近動力解,為便于工程應用可用前者代替后者[11]。目前我國地鐵列車運營情況符合靜力解適用條件,故本文采用靜力方法計算。文中首先基于Kelvin空間半無限體黏彈性解[8],將列車移動荷載簡化為單個輪軸荷載;然后以荷載與考察點間的水平距離變化模擬荷載移動情況,研究地鐵運營引起的黏彈性均質地基中的動應力狀態(tài)、應力路徑變化及主應力軸旋轉;最后計算分析得出地鐵列車荷載作用線正下方的地基土單元動應力特征,并與相應彈性解下的各動應力特征進行對比分析,探討更適用于工程實際的地基附加動應力特征解。

1 豎向力下半空間黏彈性體的應力解

由文獻[8],做出如下假定:地基土為空間半無限體,且是均勻各向同性、連續(xù)一致的線性黏彈性介質;土體在外部集中力作用下呈三維復雜應力狀態(tài),且應力球張量和應變球張量之間符合彈性關系;應力偏張量和應變偏張量之間符合Kelvin黏彈性本構方程。建立如圖1所示模型。

圖1 內(nèi)部豎向集中力作用下的半無限體模型Fig.1 Semi-infinite model subjected to a vertical concentrated load

(1)

(2)

(3)

r為集中力作用線到計算點的水平距離,

b1=(1-2μ)/(1-μ), b2=1/(1-μ),

b3=(3-4μ)/(1-μ), b4=μ(1-2μ)/(1-μ),

b5=μ/(1-μ), b6=1-2μ。

(4)

其中:μ為土的泊松比(取0.45)。

(5)

式中:K為體積彈性模量(下文2節(jié)分析中取20 MPa);Gk為剪切模量(取3 MPa);ηk為黏滯系數(shù)(取0.2 GPa·d)。

2 地鐵運營引起的土體應力狀態(tài)變化

如圖2所示,本文將地鐵荷載簡化為單個輪軸荷載。地鐵列車荷載作用深度為z=10 m,計算土單元位于隧道正下方3 m(x=0,y=0 m,z=13 m),地鐵列車以v0=22.2 m/s(80 km/h)的速度運行,以計算土單元與單輪荷載水平距離變化模擬地鐵運行時荷載的移動,分析均質地基中的動應力狀態(tài)變化。

圖2 單個輪載移動引起的土單元應力狀態(tài)分析示意圖Fig.2 Diagram of stress state of soil element induced by moving single wheel

列車與計算土單元的水平距離為x=-30 m(t=0)時開始計算土單元的應力狀態(tài)變化,直到列車離開計算土單元水平距離x=30 m(t=2.7 s)。位于地鐵列車移動荷載作用線正下方(即y=0平面)的土單元,其剪應力τxy、τyz均為0,故沿y軸方向,即垂直列車運行方向上的動應力即為主應力σy。由于σy值很小且始終為中主應力σ2,可忽略其影響,現(xiàn)僅對x-z平面上的應力狀態(tài)和主應力軸變化進行研究計算。

由圖3發(fā)現(xiàn),黏彈性地基中的正應力σx與σz隨荷載移動變化的特征圖像關于x=0對稱,且剪應力τxz的圖形關于x=0反對稱。當荷載移動接近計算土單元正上方時,土單元應力變化較大,伴有峰值出現(xiàn);而隨著荷載遠離計算土單元,三個應力分量大小逐漸接近并趨向于零。

圖3 計算土單元動應力隨時間和荷載的變化Fig.3 Change of dynamic stress of soil element with time and loading

圖4給出了地鐵列車荷載作用線正下方地基土中各動應力彈性解與黏彈性解的變化特征,對比分析規(guī)律如下:

(1) 各應力分量的彈性解與黏彈性解隨時間和荷載的變化趨勢大體一致。彈性地基與黏彈性地基中正應力σx與σy隨列車荷載移動變化均關于x=0對稱,剪應力τyz關于x=0反對稱。當列車荷載逐漸遠離觀察點時,彈性解與黏彈性解逐漸接近,剪應力、切應力都趨向于零。

(2) 隨著荷載向觀察點移動,彈性地基與黏彈性地基中各應力均有峰值出現(xiàn),且峰值點位置接近,與地基的彈性或黏彈性無關:σx1、σx2峰值點均為x=±a,x=0,見圖4(a);σz1、σz2峰值點均為x=0,見圖4(b);τzx1、τzx2峰值點均為x=0。故列車移動荷載作用下,考慮彈性地基與黏彈性地基中各應力極限出現(xiàn)位置時,為提高計算分析效率,彈性解可以適用。

圖4 各應力分量彈性解與黏彈性解對比圖Fig.4 Comparison between elastic solution and viscoelastic solution of each stress component

(3) 如圖4(a),當列車荷載運行到應力極限應力位置(x=±a)時,σx1<2σx2。因此考慮列車運行方向上的應力時,采用彈性地基模型計算較為危險,黏彈性模型更優(yōu)。

(4) 如圖4(b)、(c),當列車荷載運行到應力極限應力位置(x=0)時,σz1遠大于σz2,故考慮列車運行中地基豎向附加應力變化趨勢時,采用黏彈性地基模型計算更為合理。同理,如圖4(c),τzx1>τzx2,考慮列車運行中地層水平面上的剪應力影響較小時,在工程實際中利用黏彈性解計算τzx更為合理。

3 土單元的應力路徑和主應力軸旋轉

3.1 應力路徑的特征分析

已有學者[7]就彈性解下公路交通荷載移動速度對地基動應力路徑的影響進行過研究。圖5給出了彈性解下速度對應力路徑的影響情況。在速度較低時,淺層地基與深層地基中的應力路徑橫、縱軸隨速度均緩慢增加。但速度較大時,淺層地基中的應力路徑會出現(xiàn)不規(guī)則角點,且縱軸加速增大,橫軸顯著減小;深層地基中的應力路徑與淺層地基變化規(guī)律有所不同,橫、縱軸均顯著增大。因此在地基動應力特征模擬及沉降計算中,應考慮荷載移動速度對應力路徑的影響。

圖5 彈性解下速度對應力路徑影響Fig.5 Effect of moving speed on stress paths under elastic solution

我國地鐵列車最高運行速度約為80 km/h,地基剪切波速約為260 km/h,二者比值αs=0.308,小于0.4,屬于低速運行狀態(tài),因此文獻[7]中荷載高速移動條件在地鐵實際運行中并不存在。地鐵列車運行時,速度對彈性地基應力路徑變化影響甚微,可予以忽略。由本文第2節(jié)可知,彈性解與黏彈性解隨時間和荷載的變化趨勢大致一致,因此在黏彈性地基中,地鐵運行速度對地基動應力路徑變化仍可忽略,本文不予討論。

移動荷載作用下,黏彈性地基與彈性地基中的土單元動應力路徑區(qū)別較大。如圖6,α為最大主應力σ1與x軸的夾角,從x軸到主應力軸方向旋轉,順時針為正,逆時針為負,其范圍是-π/2～π/2。

圖6 彈性解與黏彈性解下的應力路徑對比圖(αs=0.30,虛線、實線分別表示黏彈性解、彈性解)Fig.6 Comparison of stress paths under elastic and viscoelastic solutions (αs=0.30,dotted and solid lines respectively indicate the viscoelastic solution and elastic solution)

隨著荷載向土單元移動,黏彈性解下的應力分量差增長速度大于水平剪應力的增長速度,而彈性解下的情況則正好相反。到達C點時,兩種解下的應力差分量均為0,即土單元處于純剪狀態(tài)時,黏彈性解與彈性解下的τzx值相等。但黏彈性解下的剪應力最大值B點在C點前出現(xiàn),彈性解下的剪應力最大值B’在C點后出現(xiàn),且B點τzx值明顯小于B’點。剪應力最大值出現(xiàn)后,兩種解下的τzx均開始減小,σz-σx繼續(xù)增大,黏彈性與彈性解的應力分量差最大值分別出現(xiàn)在D、D’點,且后者值大于前者的2倍,此時,荷載運動到土單元的正上方,水平剪應力為0,土單元處于三軸純剪切狀態(tài)。荷載遠離土單元的過程中,動應力狀態(tài)與上述過程相反。

3.2 主應力軸旋轉的特征分析

圖7反映了最大主應力σ1與x軸的夾角α隨輪載移動和時間的變化關系。黏彈性與彈性解下的主應力軸旋轉變化規(guī)律趨勢相同:輪載由遠處移動到土單元正上方過程中,α逐漸增大至π/2;此后輪載遠離土單元,α突變?yōu)?π/2,并逐漸減小。上述過程中主應力軸順時針旋轉了180°。

列車遠離土單元時,彈性解與黏彈性解下的主應力軸旋轉均較為緩慢;列車越靠近土單元(x<5 m)主應力軸旋轉越快,且黏彈性解下的旋轉速度約為彈性解的2倍。整個過程中,黏彈性解的α值均明顯大于彈性解。因此以彈性解最大主應力σ1與x軸夾角的誤差較大,尤其是輪載靠近計算土單元時誤差更為明顯。

圖7 彈性解與黏彈性解下的主應力軸旋轉對比圖(綠色、紅色分別表示黏彈性解、彈性解)Fig.7 Comparison of principal stress axes rotation under elastic and viscoelastic solutions (Green and red respectively indicate the viscoelastic solution and elastic solution)

4 黏彈性解下的動應力特征參數(shù)分析

圖8給出了黏彈性地基中不同體積彈性模量K下的σx和σz隨荷載移動的變化過程。分析發(fā)現(xiàn):如圖8(a),相同條件下,σx的值隨K值單調(diào)遞增,且在K值較小時增幅明顯;如圖8(b),在-5～5 m范圍內(nèi),σz的值隨K值單調(diào)遞增,輪載移動超出此范圍時,σz的值隨K值增大遞減。當荷載在遠處(|x|>30 m)時,K對σx和σz的影響較小,可忽略不計。

圖9給出了黏彈性地基中不同剪切彈性模量Gk下的σx隨荷載移動的變化過程。在輪載移動至計算土單元過程中,σx隨Gk增大呈遞增趨勢;當荷載位于近距離(|x|<3 m)或遠處(|x|>30 m)時,σx值隨Gk的變化甚微,可忽略。進一步分析發(fā)現(xiàn),剪切模量Gk對σx、σz的影響相對體積模量K更顯著;而體積模量K對τxz,剪切模量Gk對τxz、σz,黏滯系數(shù)ηk對τxz、σz、σx均無明顯的影響。

圖8 不同體積模量K下土單元應力狀態(tài)Fig.8 Stress state of soil element under different bulk modulus K

圖9 不同剪切模量Gk下σx的變化Fig.9 Change of σx under different shear modulus Gk

5 結 語

本文基于Kelvin空間半無限體黏彈性解,以單個輪軸荷載為例,對地鐵列車運營引起的地基動應力狀態(tài)變化進行分析,得出黏彈性地基中列車移動荷載作用下土單元應力和主應力軸旋轉變化規(guī)律,同時與彈性解下的荷載動應力變化規(guī)律進行對比分析,得到以下結論:

(1) 單個輪軸荷載作用下,彈性地基與黏彈性地基中各應力變化總體趨勢相同,且峰值出現(xiàn)位置幾乎與地基土體彈性或黏彈性無關,但在各應力分量的大小上黏彈性解與彈性解有明顯區(qū)別。

(2) 研究地鐵列車荷載作用下地基動應力峰值出現(xiàn)點位時,為提高計算分析效率,彈性解可以適用;而研究地基動應力影響時,采用彈性解計算列車運行方向上的應力σx較為危險,黏彈性解更符合安全性;采用彈性解計算所得的地基豎向附加應力σz、地層水平剪應力τyz偏安全,利用黏彈性解計算更符合應力變化趨勢。

(3) 黏彈性地基中應力路徑大小、形狀都與彈性解下有明顯差別;兩種地基中主應力軸旋轉變化的趨勢基本相同,但黏彈性解的最大主應力σ1與x軸的夾角α值明顯大于彈性解,且隨著荷載與土單元距離減小,二者差值增大。故考慮地基土的黏彈性有利于減小動應力計算誤差。

(4) 對單輪荷載下動應力特征的黏彈性解進行參數(shù)分析,發(fā)現(xiàn)不同系數(shù)下的應力分量變化有所不同:剪切模量Gk對σx、σz的影響相對體積模量K更顯著;而體積模量K對τxz,剪切模量Gk對τxz、σz,黏滯系數(shù)ηk對τxz、σz、σx則均無明顯的影響。

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Dynamic Stress Characteristics of Viscoelastic Foundations under Subway Train Loads

DING Zhi1, LI Dan-wei1, XIE Zong-xing2, WEI Xin-jiang1

(1.DepartmentofCivilEngineering,ZhejiangUniversityCityCollege,Hangzhou310015,Zhejiang,China; 2.OceanCollege,ZhejiangUniversity,Zhoushan316021,Zhejiang,China)

This paper presents a comparative evaluation of elastic and viscoelastic solutions to identify more suitable and practical engineering solutions. Based on the viscoelastic solutions of a Kelvin's space half-infinite body, as an example, we analyzed the dynamic stress response under moving subway loads to illustrate the characteristics of dynamic stress, the stress path, and the principal stress axis rotations. By applying two solutions, we found the numerical results for the development trends of the dynamic stress state and principal stress axis rotation to be similar. We also found discrepancies in the dynamic stress of the ultimate state and stress path. Additionally, our results indicate that a viscoelastic solution is more applicable to actual working cases of long-term metro tunnel deformation in soft soil areas. Moreover, according to our analysis of viscoelastic solutions of dynamic stress characteristics under single-wheel loads, we found different feature coefficients to have different influences on stress characteristics.

subway; viscoelastic foundation; stress state; stress path; principal stress axes rotation

2016-01-20 基金項目:浙江省自然基金項目(LQ16E080008) ；國家自然科學基金項目(51278463,51508506) 作者簡介:丁 智(1983-)，男，安徽銅陵人，博士，副教授，主要從事軌道施工及運營對周邊環(huán)境影響的研究與教學工作。 E-mail: dingz@zucc.edu.cn。

TU443

A

1000-0844(2016)06-0889-07

10.3969/j.issn.1000-0844.2016.06.0889