2016年高考數(shù)學(xué)四川卷理科第10題探究*

☉四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院 李雪梅☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 趙思林

2016年高考數(shù)學(xué)四川卷理科第10題探究*

☉四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院 李雪梅☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 趙思林

2016年高考數(shù)學(xué)四川卷理科第10題：在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足動點(diǎn)P，M滿足則的最大值是（ ）.

此題立意鮮明，含有教材背景，思路寬解法多，極富思維價值，許多一線教師對此題給予較高評價.下面擬從試題的立意分析、教材背景、思路與解法探究、試題的推廣、解題后的回顧與教學(xué)啟示等方面作一番研究.

一、試題的立意分析

立意是試題的考查目的.高考數(shù)學(xué)命題以能力立意為價值取向，一般從數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)等方面確定試題的考查目的.本題重視對數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查［1］.下面從考查數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)等方面分析該題的立意.

以數(shù)學(xué)語言立意：數(shù)學(xué)語言主要包括抽象的符號語言、直觀的圖表語言、量化的代數(shù)語言和普通的自然語言，這里的自然語言是指母語，在中國母語指漢語.本題以6個點(diǎn)（4個定點(diǎn)和2個動點(diǎn)）、向量的模、向量的數(shù)量積、向量的線性關(guān)系、向量的模的平方、多個方程等符號的形式呈現(xiàn)，考生普遍感到字母多、符號多、關(guān)系多，頗有無從下手、力不從心的心境.面對比較多的向量符號，一種自然的考慮是用向量自身的知識和方法解決問題，這對向量掌握得不好的考生來說是困難的.因此，更多的考生是選擇將抽象的向量符號語言轉(zhuǎn)化為直觀的圖形語言或代數(shù)語言（如坐標(biāo)語言）.這顯然有考查數(shù)學(xué)語言的相互表征與互譯互化的意圖.

以數(shù)學(xué)思想方法立意：本題若只用向量自身的知識和方法解決，則需用向量法；本題若不用向量法，則可考慮先建立直角坐標(biāo)系（坐標(biāo)法），然后用三角法或解析法解決問題.如果從條件和問題的幾何意義來思考和處理問題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，則可用平面幾何知識和方法直接簡潔解答.因此，本題的解答可以涉及4大基本方法：向量法，坐標(biāo)法，三角法，解析法；也必涉及求最值的一些方法.本題考查了數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等思想.

以數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)立意：該題考查了考生的思維能力、運(yùn)算能力、實(shí)踐能力（動手畫圖）和創(chuàng)新意識.數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)的核心是思維.本題對思維能力進(jìn)行了全面考查，對眾多數(shù)學(xué)符號的觀察與聯(lián)想，對解題思路的預(yù)估與頓悟，對解題方法的嘗試與選擇等，都需要直覺思維；對正三角形的判定、正三角形邊長的計算的線性表示、最值的計算等，則需邏輯思維；對隱藏在題目中的幾何本質(zhì)的深邃洞察與靈活運(yùn)用，則需靈感思維和創(chuàng)新思維.本題還考查了思維的廣闊性、深刻性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性等品質(zhì).

二、試題的教材背景

從歷年高考試題的題源來看，教材是試題的主要來源，是高考命題的重要依據(jù)和出發(fā)點(diǎn)，很多優(yōu)秀的高考試題都有“源于教材、高于教材”的特點(diǎn).本題源于教材、高于教材.如題干中的是以人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》必修4第二章總復(fù)習(xí)題B組的第5題和第8題為背景改編的.題干中動點(diǎn)P，M滿足含有人教A版必修2第4.1.2節(jié)的例5的背景，這個例5可以推廣成一個命題：平面內(nèi)，圓上任意點(diǎn)與一個定點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡仍是一個圓.像這樣立足于教材設(shè)計的試題，既可保證試題背景的公平性，又對抑制題海戰(zhàn)術(shù)有好處，還對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有良好的導(dǎo)向作用.因此，應(yīng)大力提倡立足于教材編擬高考試題.

三、思路與解法探究

喬治·波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》序言中說：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解一些要求獨(dú)立思考、思路合理、見解獨(dú)到和有發(fā)明創(chuàng)造的題.”思維心理學(xué)認(rèn)為，發(fā)散思維是創(chuàng)造性思維的核心.本題具有思路寬闊、解法多樣等特點(diǎn).本題可以從多種不同角度進(jìn)行分析與探究，可以得到多種解法，這可培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，從而可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

思路（一）：三角法

同理可得，DA⊥BC，DC⊥AB，從而D是△ABC的垂心.

所以△ABC的外心與垂心重合，因此△ABC是正三角形，且D是△ABC的中心.即

如圖1，以A為原點(diǎn)、直線SA為x軸建立直角坐標(biāo)系.

圖1

思路（二）：解析法

設(shè)點(diǎn)P（x，y），則點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=1，因?yàn)辄c(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，則M的坐標(biāo)為

又設(shè)M（x1，y1），則可得代入可得：即這表明，點(diǎn)M在圓

思路（三）：向量法

方法6：取AC的中點(diǎn)K，連接KM，BM，BP，BK.

因?yàn)辄c(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，因此有

點(diǎn)評：此解法充分發(fā)揮了向量的工具性作用，解過程體現(xiàn)了思維量大、運(yùn)算量小的特點(diǎn).

思路（四）：平面幾何法

方法7：設(shè)AC的中點(diǎn)K，連接KM，BK.KM是△ACP中位線，則即其中K為定點(diǎn)，M為動點(diǎn)，動點(diǎn)M到定點(diǎn)K的距離恒等于這表明動點(diǎn)M的軌跡是以K為圓心為半徑的圓當(dāng)且僅當(dāng)B，K，M三點(diǎn)共線且K在B、M之間時取等號.故

點(diǎn)評：此解法深刻洞察并發(fā)掘了隱藏在題目中的幾何本質(zhì)（動點(diǎn)M的軌跡是圓），顯示出幾何直觀在數(shù)學(xué)解題中的巨大價值，值得欣賞和提倡.

四、試題的推廣

試題的推廣是指對試題進(jìn)行引申、加強(qiáng)與深化.對試題的推廣，有利于促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知的深化，開拓思維的視野，并能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，以及培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究意識和創(chuàng)新意識［2］.數(shù)學(xué)問題的推廣，對培養(yǎng)學(xué)生的觀察洞察能力、類比聯(lián)想能力、歸納猜想能力、問題探究能力是有益的.

下面我們對該題進(jìn)行推廣.

推廣1平面內(nèi)的定點(diǎn)A，B，C，D滿足空間中的動點(diǎn)P，M滿足則的最大值是（ ）.

推廣1將平面內(nèi)的動點(diǎn)P，M推廣到空間中的動點(diǎn)，仍可用前面的一些解法得出答案，且的最大值不變.

推廣2平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足動點(diǎn)P，M滿足則的最小值是（ ）.

推廣3平面內(nèi)的定點(diǎn)A，B，C，D滿足動點(diǎn)P滿足0），動點(diǎn)M滿足則的最大值是（ ）.

五、解題后的回顧與教學(xué)啟示

上面的思路探究與解法運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想，并運(yùn)用了三角法、解析法、向量法、平面幾何法等多種數(shù)學(xué)基本方法，有效訓(xùn)練了數(shù)學(xué)思維的靈活性、發(fā)散性、選擇性和創(chuàng)造性.此外，解答本題有以下幾個關(guān)鍵點(diǎn)：一是數(shù)學(xué)語言間的轉(zhuǎn)換，即要準(zhǔn)確的將符號化的向量語言轉(zhuǎn)化為直觀的圖形語言或代數(shù)語言（如坐標(biāo)語言）等；二是運(yùn)用教材習(xí)題的解題經(jīng)驗(yàn)，準(zhǔn)確并快速地判斷△ABC為正三角形；三是本題以A，B，C，D等點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系都是可行的，因此建系具有靈活性，但建立不同的坐標(biāo)系，其運(yùn)算量的大小不同，本題以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系較為理想，可以減少運(yùn)算量，簡化求解過程；四是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，可以達(dá)到多想少算的效果，比如用向量法，或者用數(shù)形結(jié)合思想（平面幾何方法），就能回避或減少煩瑣運(yùn)算.

此題對教學(xué)的啟示是多方面的：（1）不管是新課教學(xué)還是高三復(fù)習(xí)，都應(yīng)重視教材中的例題、習(xí)題、復(fù)習(xí)題的研究，這里主要是指對教材中部分富含思維價值的題目進(jìn)行研究；（2）教學(xué)中應(yīng)重視抽象的符號語言、直觀的圖表語言、量化的代數(shù)語言、熟悉的自然語言之間的相互表征與互譯互化；（3）應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)；（4）數(shù)學(xué)解題教學(xué)要突出“想”的訓(xùn)練，包括多角度地聯(lián)想、大膽地猜想、直覺地想象等；（5）大力提倡立足于教材編擬高考題，唯有如此，才能真正使高中數(shù)學(xué)教學(xué)重視教材、回歸教材、研究教材［3］.

1.張進(jìn)華.既要夯實(shí)“通性通法”，又要學(xué)會“靈活變通”——從兩道高考試題的解法談起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（5）.

2.趙思林.高考數(shù)學(xué)解題分析［M］.成都：四川大學(xué)出版社，2011.

3.趙思林，李建軍.一個高考最小值問題的研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2012（5）.

*項(xiàng)目來源：教育部“本科教學(xué)工程”四川省地方屬高校本科專業(yè)綜合改革試點(diǎn)項(xiàng)目——內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)“專業(yè)綜合改革試點(diǎn)”項(xiàng)目（ZG0464）；四川省“西部卓越中學(xué)數(shù)學(xué)教師協(xié)同培養(yǎng)計劃”項(xiàng)目.趙思林系碩士研究生李雪梅的指導(dǎo)教師.趙思林系本文通訊作者.

1.李雪梅，女（1994-），四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)碩士研究生.

2.趙思林，男，（1962-），教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)教育、高考數(shù)學(xué)和思維心理學(xué)研究.