基于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的概念教學(xué)設(shè)計研究*
——以“橢圓的定義”的教學(xué)為例

☉福建省連江第一中學(xué) 李 鋒

基于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的概念教學(xué)設(shè)計研究*
——以“橢圓的定義”的教學(xué)為例

☉福建省連江第一中學(xué) 李 鋒

一、引言

概念是思維的細胞，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，理解概念是一切數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ).然而，一些教師急功近利，概念教學(xué)走過場，往往采用“一個定義，幾項注意”的方式，在概念的背景引入上著墨不夠，沒有給學(xué)生提供充分概括本質(zhì)特征的時間與機會，認為多做幾道題更實惠些.以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法嚴(yán)重偏離了數(shù)學(xué)的正軌，必須糾正.否則，學(xué)生在數(shù)學(xué)上耗費了大量的時間、精力，結(jié)果可能是對數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，“數(shù)學(xué)育人”終將落空.

近年來，各種數(shù)學(xué)教學(xué)理論研究上的突破與發(fā)展，為揭示概念教學(xué)的深層機制提供了科學(xué)依據(jù)；有針對性、可操作性強的數(shù)學(xué)教學(xué)研究方法，也為概念教學(xué)研究提供了科學(xué)指導(dǎo).其中，“為理解而教”作為一種重要的教學(xué)思想逐漸被廣大教師所認同，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的教學(xué)研究也備受重視.數(shù)學(xué)理解是指學(xué)生在已有數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，建立新知識的個人心理表征，并不斷完善和發(fā)展頭腦中的知識網(wǎng)絡(luò)，同時能將納入知識網(wǎng)絡(luò)中的新知識靈活地加以提取和應(yīng)用.數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)是指學(xué)生在理解基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，它不僅能將新知識與已有知識聯(lián)系起來，并在原有知識網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)上積極有效納入新知識從而構(gòu)建一個更為完整、豐富的知識網(wǎng)絡(luò)，而且能將新知識網(wǎng)絡(luò)中的知識、方法、思想等進行靈活遷移與應(yīng)用.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》指出，教學(xué)中應(yīng)加強對基本概念的理解與掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿于高中教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解.筆者主持“基于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的概念教學(xué)研究”的課題研究，正是針對目前概念教學(xué)的缺失，依據(jù)數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)等理論，探尋有效的概念教學(xué)方式.最近一項成果《橢圓的定義》在市微課大賽中獲獎，現(xiàn)整理出來與大家交流.

二、基于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計案例

（一）創(chuàng)設(shè)情景，引入課題

教師：多媒體演示平面截圓錐、生活中橢圓實例（見課件）以及天體運動軌跡（如圖1）；介紹歷史故事——刁尼秀斯之耳：1943年7月9日，在西西里島實施空降作戰(zhàn)的盟軍部分官兵不幸被俘獲，德軍將他們關(guān)押在一座巖洞監(jiān)獄里.晚上，被俘的盟軍官兵們偷偷聚集在巖洞最里面，小聲議論越獄方案.奇怪的是他們周密的出逃計劃竟被德軍知曉，難道有人告密？被俘的盟軍官兵們開始互相猜忌，這是怎么回事？原來，這個作為監(jiān)獄的巖洞是古希臘西西里島統(tǒng)治者請一位名叫刁尼秀斯的官員專門設(shè)計的，巖洞監(jiān)獄采用橢圓形結(jié)構(gòu)，這種特殊結(jié)構(gòu)可以使犯人在里面小聲議論的聲音，經(jīng)過橢圓反射清楚地傳到洞口看守人的耳朵里.后來，人們把這種設(shè)計叫做“刁尼秀斯之耳”.故事反映了橢圓一個重要的光學(xué)性質(zhì)（如圖2），從橢圓一個焦點發(fā)出的聲音、光或熱，通過橢圓反射，可以全部匯聚到另一焦點處.利用這個性質(zhì)，人們研制出許多重要的東西.可見，橢圓不僅在生活中普遍存在，而且應(yīng)用廣泛，下面一起來探索橢圓的相關(guān)知識（引入課題）.

圖1

圖2

設(shè)計意圖：借助實例及動畫演示，學(xué)生直觀感知橢圓來源于現(xiàn)實生活；歷史故事極大引發(fā)學(xué)生探究新知的興趣，感悟數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.情境的創(chuàng)設(shè)，既自然滲透數(shù)學(xué)文化，揭示學(xué)習(xí)橢圓的必要性，又有效激活學(xué)生思維，對現(xiàn)象達到理解性認識，為下面探究奠定良好的認知基礎(chǔ).

（二）實驗探究，反思建構(gòu)

教師：圓的定義是什么？我們是怎么畫圓的？（學(xué)生答略）那么，橢圓又是怎樣的點的集合？如何畫出一個橢圓？請同學(xué)們拿出事先準(zhǔn)備好的工具（細繩、紙板、圖釘、鉛筆）來做一個實驗：取一條定長L的細繩，把它兩端固定在紙板同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖畫出的軌跡是什么圖形？如果把細繩的兩端拉開一段距離分別固定在紙板的兩點處，畫出的又是什么圖形？

（學(xué)生動手實驗，稍后請代表發(fā)言并展示自己的作品.及時捕捉學(xué)生思維的亮點并表揚，同時借助幾何畫板演示實驗，如圖3.

圖3

設(shè)計意圖：學(xué)生動手實驗，操作簡單，體會深刻，帶來的收獲絕非僅僅是一個“好玩”的“游戲”，更有意義的是學(xué)生追尋數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的探索之路，感悟“數(shù)學(xué)源于生活”.信息技術(shù)為學(xué)生提供一個理想的“數(shù)學(xué)實驗”模擬情境，進一步加強對橢圓的直觀感知.通過實驗，學(xué)生直觀感悟橢圓概念形成之中隱藏的數(shù)學(xué)思想，有利于全面、深刻地理解橢圓概念的本質(zhì).

教師：請思考，在畫出一個橢圓過程中，細繩兩端位置是固定的還是運動的？筆尖到兩端點的距離之和是什么？繩子長度與兩定點間距離有什么關(guān)系？怎樣才能畫出一個橢圓？

（學(xué)生歸納，略）

設(shè)計意圖：概念的形成是一個直觀感知，提煉加工并抽象概括的過程，在橢圓概念生成的關(guān)節(jié)點處及時追問，促使學(xué)生進行深入反思與建構(gòu)，經(jīng)歷由具體實例觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括出橢圓定義的思維過程.提問有利于對學(xué)生思維實施監(jiān)控，準(zhǔn)確把握學(xué)生理解的程度，以便及時對教學(xué)作出更有利于學(xué)生理解的調(diào)整.

（三）抽象概括，形成概念

教師：請歸納橢圓的定義并解釋其中的要點.

（學(xué)生嘗試歸納，教師適當(dāng)補充）

教師（追問）：橢圓上任意一點滿足的幾何條件是什么？

設(shè)計意圖：學(xué)生嘗試用語言表達對橢圓概念的直觀認識與理解，并對所敘述的內(nèi)容作出解釋.在這種師生互相交流、對話合作的數(shù)學(xué)活動中，學(xué)生積極思考、主動理解，同時充分暴露他們理解上的缺限，教師的適時點撥，又可以引導(dǎo)學(xué)生重新思考一些理解不夠到位的知識，使教學(xué)過程以動態(tài)生成的方式有效推進，學(xué)生在不斷理解的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)，加深對概念的認識.

（四）變式探究，深化理解

問題1 已知平面內(nèi)兩點A（-3，0），B（3，0），若動點M滿足|MA|+|MB|=10，則點M的軌跡是什么？

變式：若動點M滿足|MA|+|MB|=6，則點M的軌跡又是什么？

問題2 如圖4，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個定點，P是圓上任意一點.線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么，為什么？

圖4

圖5

變式：如果將點A移到圓上、圓外，則點Q的軌跡還是橢圓嗎？

（學(xué)生分析并交流討論，教師借助幾何畫板演示）

設(shè)計意圖：對橢圓概念的理解是一個循序漸進的過程，學(xué)生要經(jīng)過一系列練習(xí)與拓展才能真正領(lǐng)悟.問題2需要學(xué)生具有較強的分析問題與解決問題的能力，能夠從題設(shè)背景中挖掘出構(gòu)成橢圓的幾何條件，考查學(xué)生是否真正理解了橢圓概念.變更題設(shè)中“點A在圓內(nèi)”條件的限制，激勵學(xué)生開放探究以挖掘背景的豐富內(nèi)涵.借助變式探究，使學(xué)生不斷領(lǐng)悟橢圓概念的本質(zhì)，體驗數(shù)形結(jié)合等主要思想，崇尚數(shù)學(xué)的理性思維，體會數(shù)學(xué)的美學(xué)意義，達到對概念的深刻理解.

問題3 準(zhǔn)備一張圓形紙片，如圖5，在圓內(nèi)任取不同于圓心O的一點A，將紙片折起，使圓周過點A，然后將紙片展開，就得到一條折痕l（為了看清楚，可把直線l畫出來），這樣繼續(xù)折下去，得到若干折痕.觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？

圖6

圖7

（學(xué)生拿出事先準(zhǔn)備好的圓形紙片進行折紙試驗，發(fā)現(xiàn)折痕圍成的輪廓是個橢圓，如圖6）

教師：感覺折痕上某一點的軌跡是橢圓，能確定是哪一點并證明嗎？

（學(xué)生經(jīng)過觀察、分析、抽象與判斷，發(fā)現(xiàn)折紙試驗與問題2背景相同.如圖5，設(shè)點P為圓周上任意一點，折起后與點A重合，則折痕所在的直線即為線段AP的垂直平分線l，設(shè)直線l與線段OP相交于點Q，借助幾何畫板演示點Q的軌跡）

教師（追問）：若平面內(nèi)動點Q到兩定點O、A的距離之和等于常數(shù)r（大于|OA|），你能否由問題2得到啟發(fā)，利用幾何方法確定點Q的位置？

（學(xué)生可能有別的想法，教師引導(dǎo)學(xué)生利用問題2結(jié)論分析：因為|QO|+|QA|為定值r，不妨將兩條線段的長度和轉(zhuǎn)化為一條線段，即在線段OQ的延長線上取點P，使|QP|=|QA|，則|QO|+|QA|為定值r可轉(zhuǎn)化為|OP|為定值r，于是點P的軌跡就是以O(shè)為圓心，|OP|為半徑的圓.由此得出確定點Q的方法：如圖7，作以點O為圓心，r為半徑的圓O，在圓O上任取點P，作線段AP的垂直平分線與線段OP的交點，即為符合條件的點Q）

設(shè)計意圖：“折紙小世界，思維大舞臺”，折紙活動引入課堂，是數(shù)學(xué)回歸生活的載體之一，同時數(shù)學(xué)不僅要回歸生活，更要高于生活.通過追問橢圓上點的幾何形成思路來揭示橢圓的形成過程，感知問題2的背景內(nèi)涵，體會橢圓與圓之間的聯(lián)系（背景實質(zhì)上提供了一種由圓生成橢圓的幾何作法，這正是折紙試驗所蘊涵的道理），培養(yǎng)逆向思維能力，提高幾何作圖能力，體會運動與變化、變與不變對立統(tǒng)一的辯證觀念.通過折紙實驗，學(xué)生從一個新的角度重新分析和反思建構(gòu)，深化對新知的理解.學(xué)生理解知識不應(yīng)只局限于知識自身，還要理解與其他知識之間的聯(lián)系，才能不斷加強學(xué)生所理解數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化與系統(tǒng)化，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的認知水平并不斷建構(gòu)新的認知結(jié)構(gòu)，這樣的理解才更深刻、靈活而具有遷移的特性.

三、對基于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的概念教學(xué)設(shè)計的體會

“基于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的概念教學(xué)”要求將課堂教學(xué)扎根于學(xué)生的已有經(jīng)驗之中，關(guān)注學(xué)生在經(jīng)驗世界中表現(xiàn)出來的對概念理解的最本真的狀態(tài)，并把它作為促使學(xué)生概念轉(zhuǎn)變的重要基點；根據(jù)學(xué)生思維和認知發(fā)展的變化，及時地、有目的地、有重點地設(shè)置動態(tài)變化的外部情境，既讓學(xué)生暴露自己知識理解的真實狀態(tài)，也促使學(xué)生連貫地反思自己理解上的特征與不足，從而推動理解不斷地深入發(fā)展；通過教學(xué)活動，讓學(xué)生自然地吸收、內(nèi)化、生成一個良好的知識結(jié)構(gòu)組塊，經(jīng)歷從經(jīng)驗—數(shù)學(xué)本質(zhì)—再回到經(jīng)驗—再上升到數(shù)學(xué)本質(zhì)這樣一個巡回往復(fù)、不斷上升的過程.

（一）教學(xué)要為促進學(xué)生的數(shù)學(xué)理解而設(shè)計

教學(xué)首先需要精心設(shè)計，教學(xué)設(shè)計是運用系統(tǒng)方法對各種課程資源進行有機整合，對教學(xué)過程中相互聯(lián)系的各個部分作出整體安排的一種構(gòu)想，即為達到教學(xué)目標(biāo)，對教什么、怎樣教以及達到什么結(jié)果所進行的策劃.新課程倡導(dǎo)要密切關(guān)注學(xué)生的發(fā)展，要在教學(xué)中真正確過程立學(xué)生的主體地位并將學(xué)生的理解視為重要的關(guān)注點.同時，教師不只是在理念上確立關(guān)注學(xué)生的理解，在實踐上也要相應(yīng)具有真正面向?qū)W生的靈活的、被教師深刻理解的教學(xué)方法論，使課堂教學(xué)真正成為支撐學(xué)生的數(shù)學(xué)理解不斷發(fā)展的支點.因此教師不僅要在宏觀上有機整合各種課程資源，系統(tǒng)考慮教學(xué)過程，而且在知識的關(guān)節(jié)點處也要進行細微設(shè)計，幫助學(xué)生全面理解和認識數(shù)學(xué)，有效突出重點、破解難點.要注重創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境，選取有助于反映相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)特征、有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解和認識、符合學(xué)生心理特征和認知水平的素材，在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)開展探究，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展及形成的過程，為促進學(xué)生的數(shù)學(xué)理解而精雕細琢.

（二）教學(xué)設(shè)計要體現(xiàn)概念自然的、水到渠成的形成

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》提出：概念教學(xué)要返璞歸真，努力揭示概念的發(fā)生發(fā)展過程及其本質(zhì).“人教A版”主編也曾寄語：“數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源和發(fā)展都是自然的.”概念教學(xué)的核心就是“概括”，即以一些典型的事例為載體，引導(dǎo)學(xué)生進行分析、歸納、抽象、概括等一系列思維活動，從而獲得概念.學(xué)生親身經(jīng)歷概念的自然形成過程是概念教學(xué)的必由之路.概念教學(xué)要體現(xiàn)其自然的、水到渠成的形成過程，首先要讓學(xué)生感覺到引入概念的必要性、合理性.那種不經(jīng)任何鋪墊就直接給出概念，不經(jīng)歷概念的形成過程，搞“一個定義三項注意”的概念教學(xué)是不行的.概念教學(xué)的自然和水到渠成包含兩方面：一是知識的邏輯順序自然；二是學(xué)生心理邏輯主要是思維過程的自然.本案例通過歷史故事、學(xué)生動手實驗以及幾何畫板動畫演示等數(shù)學(xué)活動，不僅為學(xué)生探究創(chuàng)設(shè)有利于數(shù)學(xué)理解的教學(xué)情境，而且學(xué)生經(jīng)歷實驗探究、變式拓展等一系列直觀感知、抽象概括、反思建構(gòu)等數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的思維歷程，最終促使學(xué)生深刻理解所學(xué)知識，實現(xiàn)概念自然的、水到渠成的形成過程.

1.李鋒.回歸概念本質(zhì) 發(fā)展雙基教育——一道教科書習(xí)題的探究性教學(xué)與反思 ［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2010（4）.

2.李鋒.自然的、水到渠成的概念教學(xué)——“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”課堂引入案例分析及思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2011（6）.

3.李俊.基于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計探究——以“數(shù)列的概念及其表示”的教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2014（3）.

4.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

5.毛良忠.為理解而教——“懂而不會”現(xiàn)象的再透析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2013（1-2）.

6.李鋒.有機融入數(shù)學(xué)文化 大力倡導(dǎo)數(shù)學(xué)精神——對《不等關(guān)系與不等式》一課的感悟與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（2）.

7.李鋒，林富春，林友枝.基于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的定理教學(xué)研究——關(guān)于“平面向量基本定理”的教學(xué)及思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（6）.

*本文系福建省連江縣2015年度教育科研課題“基于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的概念教學(xué)研究”（立項編號：LJJKXB15–002）的研究成果.