開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)的模糊分?jǐn)?shù)階PID控制算法研究*

陳超波，邢迪，楊雪輝，張彬彬

（1.西安工業(yè)大學(xué)，西安710021；2.山東航天電子技術(shù)研究所，山東煙臺(tái)264670）

0 引 言

開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、控制靈活、運(yùn)行效率高、適于高速與惡劣環(huán)境運(yùn)行，被廣泛應(yīng)用于礦用拖動(dòng)等場(chǎng)合［1］。由于開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)具有雙凸極機(jī)械結(jié)構(gòu)和開(kāi)關(guān)特性，需長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行在飽和狀態(tài)下，以獲得最大輸出轉(zhuǎn)矩，導(dǎo)致其電磁特性表現(xiàn)出高度的非線性，將常規(guī)PID控制算法用于其轉(zhuǎn)速控制時(shí)，由于整個(gè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)都是變化的，固定參數(shù)的PID調(diào)節(jié)器難以得到理想的控制性能指標(biāo)，存在轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)大、力矩不平滑的缺點(diǎn)，進(jìn)而限制了其在高精度調(diào)速場(chǎng)合的應(yīng)用。為此越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始研究智能控制算法在開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)控制中的應(yīng)用。

文獻(xiàn)［2］中對(duì)開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)控制時(shí)，應(yīng)用具有自學(xué)習(xí)和自適應(yīng)能力的神經(jīng)元構(gòu)成單神經(jīng)元自適應(yīng)控制器，通過(guò)RBF網(wǎng)絡(luò)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行在線辨識(shí)，及時(shí)調(diào)整控制器參數(shù)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法具有控制精度高，動(dòng)態(tài)性能好，有較好的自適應(yīng)性的優(yōu)點(diǎn)，然而，計(jì)算量較大、步驟繁瑣使得該算法不能被廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)［3］使用模糊控制與單神經(jīng)元PID相結(jié)合的控制算法，其仿真結(jié)果表明，該算法具有良好的動(dòng)靜態(tài)性能，抗干擾性能也優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制算法，但其存在控制精度不高的不足。文獻(xiàn)［4］將迭代學(xué)習(xí)控制引入開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)的轉(zhuǎn)矩控制中，通過(guò)反復(fù)迭代修正控制參數(shù)，達(dá)到抑制開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)的目的，但是該方法運(yùn)算效率較低，只能適用于低轉(zhuǎn)速情況下。文獻(xiàn)［5］對(duì)開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)的調(diào)速控制時(shí)，使用電流雙幅值斬波控制方法，結(jié)果表明該算法達(dá)到了低速時(shí)降低噪聲的目的，但是該方法對(duì)轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)的抑制效果十分有限。

針對(duì)開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的強(qiáng)耦合、非線性和不確定性的特點(diǎn)。利用分?jǐn)?shù)階PID控制算法結(jié)構(gòu)靈活、魯棒性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，以及模糊算法自適應(yīng)的優(yōu)點(diǎn)［6］，文中采用分?jǐn)?shù)階PID控制和模糊控制相結(jié)合的控制算法。根據(jù)實(shí)際的工程開(kāi)發(fā)經(jīng)驗(yàn)，建立模糊推理表，以轉(zhuǎn)速偏差和偏差變化率作為模糊控制器的輸入，通過(guò)模糊推理改變分?jǐn)?shù)階PID控制器的比例系數(shù)，積分階次和微分階次，用于開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)的轉(zhuǎn)速控制。

1 開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)數(shù)學(xué)模型

開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)的工作原理和步進(jìn)電機(jī)的原理相同，即通過(guò)給定子一定的電脈沖，根據(jù)磁阻最小路徑原理，轉(zhuǎn)子將會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)電路基本定理，開(kāi)關(guān)磁阻每相的公式為：

式中uk為第k相電機(jī)繞組電壓；R為第k相繞組電阻；ik為第k相繞組電流；ψk為第k相磁鏈。

對(duì)開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)，忽略每相的互感特性，則磁鏈的表達(dá)式如式（2）所示。

式中Lk為等效電感，它是轉(zhuǎn)子θ和定子的夾角和定子電流ik的函數(shù)，為簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，其數(shù)學(xué)模型的示意圖如圖1所示，圖中橫軸表示轉(zhuǎn)子位置角θ，縱軸表示等效電感L。由圖可知，等效電感值是轉(zhuǎn)子和定子夾角的函數(shù)，其函數(shù)分布為等腰梯形分布。

圖1 等效電感數(shù)學(xué)模型示意圖Fig.1 A mathematicalmodel schematic diagram of the equivalent inductance

而開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)的機(jī)電方程如式（3）與式（4）所示。

式中J為電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Te為電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩；TL為電機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩。W為磁共能，其中開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)為k相電機(jī)。

由于等效電感的數(shù)學(xué)模型為非線性函數(shù)，故整個(gè)開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)的數(shù)學(xué)模型具有非線性、時(shí)變性的特點(diǎn)。將常規(guī)線性控制算法應(yīng)用于開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)中時(shí)，存在轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)較大的問(wèn)題。

2 模糊分?jǐn)?shù)階PID算法

2.1 分?jǐn)?shù)階PID算法

分?jǐn)?shù)階微積分至今沒(méi)有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)定義，目前應(yīng)用廣泛的有三種分?jǐn)?shù)階定義［7］，文中選擇 GL（Grünwald-Letnikov）分?jǐn)?shù)階微積分定義：

分?jǐn)?shù)階PID控制器的傳遞函數(shù)如式（6）所示：

和整數(shù)階PID類(lèi)似，式中KP為比例系數(shù)；KI為積分系數(shù)；KD為微分系數(shù)；λ為積分階次；μ為微分階次。

根據(jù)GL分?jǐn)?shù)階微積分定義對(duì)式6進(jìn)行離散化［7］，則分?jǐn)?shù)階PID的數(shù)值表達(dá)式如式（7）所示。

式中TS為采樣時(shí)間；qj，dj為二項(xiàng)式系數(shù)，其中q0=u（k）為控制器輸出，e（k）為偏差。

增量式分?jǐn)?shù)階PID算法的公式如式（8）所示：

式（9）和經(jīng)典增量式PID算法比較，多了微分階次μ、積分階次λ，對(duì)歷史的記憶程度更高。為此合理的選擇參數(shù)，分?jǐn)?shù)階PID算法將具有較好的魯棒性。

2.2 模糊分?jǐn)?shù)階PID算法

文獻(xiàn)［8］中，通過(guò)對(duì)比例系數(shù)KP，積分系數(shù)KI，和微分系數(shù)KD進(jìn)行模糊推理，調(diào)節(jié)不同環(huán)節(jié)的權(quán)重，完成模糊分?jǐn)?shù)階PID控制算法。本文選擇對(duì)比例系數(shù)KP，積分階次λ和微分階次μ進(jìn)行模糊推理，實(shí)現(xiàn)模糊分?jǐn)?shù)階PID控制算法。其工作原理如圖2所示。以偏差和偏差的變化率作為模糊推理器的輸入，模糊推理器的輸出為比例系數(shù)、積分階次和微分階次，通過(guò)將這三個(gè)參數(shù)傳遞給分?jǐn)?shù)階PID控制器，進(jìn)而控制被控對(duì)象。

圖2 模糊分?jǐn)?shù)階PID控制原理圖Fig.2 Principle diagram of fuzzy fractional PID control

根據(jù)文獻(xiàn)［9］和分?jǐn)?shù)階PID控制器在頻域方面的分析結(jié)論［10-12］可以得知：當(dāng)KP越大，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間越短，反應(yīng)越靈敏，但是過(guò)大的KP會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)超調(diào)量過(guò)大，甚至出現(xiàn)震蕩。若積分階次λ在一定范圍（通常為0到2）之內(nèi)，λ越小，系統(tǒng)的超調(diào)越小，靜差越大，過(guò)大的λ雖然會(huì)降低靜差，但會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)有較大的滯后，甚至?xí)霈F(xiàn)震蕩。微分階次μ過(guò)大，會(huì)使超調(diào)減小，同時(shí)對(duì)系統(tǒng)的噪聲也會(huì)非常敏感。結(jié)合三者對(duì)系統(tǒng)的影響，以偏差和偏差的變化率為輸入，設(shè)計(jì)合適的模糊規(guī)則，最后完成模糊分?jǐn)?shù)階PID控制算法。

根據(jù)開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的實(shí)際特點(diǎn)，本文確定偏差e和偏差變化率Δe的隸屬度函數(shù)如圖3所示，偏差e和Δe偏差變化率的論域都為{負(fù)大，負(fù)中，負(fù)小，零，正小，正中，正大}用字母表示為{NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB}。

圖3 偏差和偏差變化率的隸屬度函數(shù)Fig.3 Membership functions of the deviation and the deviation rate

文中的模糊推理器的輸出量有三個(gè)，分別為ΔKP、Δλ和Δμ。為了調(diào)試方便，本文使用歸一化處理，即輸出量為原來(lái)量的百分比。三者的隸屬度函數(shù)如圖 4所示，它們的論域?yàn)閧NB，NM，ZO，PM，PB}，分別表示負(fù)大、負(fù)中、零、正中、正大。

圖4 ΔK P、Δλ和Δμ的隸屬度函數(shù)Fig.4 Membership functions ofΔK P、ΔλandΔμ

確定控制器的輸入變量和輸出變量的隸屬度函數(shù)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)控制，可以確定其模糊規(guī)則。文中ΔKP、Δλ、Δμ、偏差e和偏差變化率Δe的模糊規(guī)則表如表1～表3所示。

表1 ΔK P的模糊規(guī)則表Tab.1 Fuzzy rule table of theΔK P

表2 Δλ的模糊規(guī)則表Tab.2 Fuzzy rule table of theΔλ

表3 Δμ的模糊規(guī)則表Tab.3 Fuzzy rule table of theΔμ

對(duì)于解模糊化，文中算法和經(jīng)典模糊算法一致，在此不作過(guò)多解釋。本文的算法過(guò)程如下：

（1）初始化各個(gè)參數(shù)。比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)的初始值通過(guò)常規(guī)PID整定算法來(lái)整定。積分階次和微分階次先設(shè)為1；

（2）系統(tǒng)開(kāi)始運(yùn)行，得到系統(tǒng)的偏差e和偏差變化率 Δe，通過(guò)模糊推理，得到 ΔKP、Δλ和 Δμ；

（3）根據(jù)式（8），得到分?jǐn)?shù)階PID的輸出。最后，跳到第2步。

3 仿真結(jié)果分析

文中的被控對(duì)象為開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)，其功率為4 kW，額定電流為25 A，額定電壓為110 V，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.002 kG·M2，飽和電感為3 500μH，非飽和電感為300μH，定子回路電阻為100。比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)通過(guò)常規(guī)PID算法整定；分?jǐn)?shù)階PID算法的參數(shù)以常規(guī)PID算法的參數(shù)為基礎(chǔ)，對(duì)積分階次和微分階次進(jìn)行整定，其參數(shù)為 KP=8.7，KI=0.4，KD=0.06，λ=0.7，μ=0.9；模糊分?jǐn)?shù)階 PID控制算法的初始參數(shù)以分?jǐn)?shù)階PID算法的參數(shù)為基礎(chǔ)，采用模糊規(guī)則對(duì)KP、λ和μ進(jìn)行自整定。在Matlab中驗(yàn)證三種算法在開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)中階躍響應(yīng)，結(jié)果如圖5所示。

圖5 三種算法的階躍響應(yīng)對(duì)比Fig.5 Step response comparison of the three algorithms

分析圖5可知，本文中的模糊分?jǐn)?shù)階算法的超調(diào)量低于常規(guī)PID算法和分?jǐn)?shù)階PID算法，并且調(diào)節(jié)時(shí)間小。為進(jìn)一步說(shuō)明本算法的有效性，本文使用控制系統(tǒng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)評(píng)價(jià)兩種算法的控制效果，結(jié)果如表4所示。

表4 三種算法的控制效果對(duì)比Tab.4 Control effect comparison of the threealgorithms

由表4可以看出模糊分?jǐn)?shù)階PID控制算法的超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間等指標(biāo)均優(yōu)于其他兩種算法，控制效果較好。

圖6 三種控制算法輸出轉(zhuǎn)矩的對(duì)比Fig.6 Output torque comparison of the three algorithms

在轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)方面，本文控制算法與常規(guī)PID控制算法、分?jǐn)?shù)階PID控制算法的對(duì)比結(jié)果如圖6所示，從圖中可以得出模糊分?jǐn)?shù)階PID控制算法的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)系數(shù)小，其方差數(shù)值為29.047 7，而常規(guī)PID的方差數(shù)值為38.874，分?jǐn)?shù)階 PID的方差數(shù)值為32.487 6。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用模糊分?jǐn)?shù)階PID算法對(duì)開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)的轉(zhuǎn)速控制進(jìn)行了分析與數(shù)字仿真。結(jié)果表明，與常規(guī)PID算法和分?jǐn)?shù)階PID算法相比，它極大地改善了開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)的轉(zhuǎn)速品質(zhì)，具有魯棒性好，調(diào)節(jié)時(shí)間快，超調(diào)量小、轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)小的優(yōu)點(diǎn)。由于分?jǐn)?shù)階控制算法的運(yùn)算比較復(fù)雜，所以對(duì)算法的進(jìn)一步優(yōu)化，便于在微型控制系統(tǒng)中使用，將是下一步的研究工作。