一類(lèi)推廣的Hermite-Hadamard不等式

柏傳志, 楊丹丹

(淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

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一類(lèi)推廣的Hermite-Hadamard不等式

柏傳志, 楊丹丹

(淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

建立了涉及帶三階導(dǎo)數(shù)的s-(β,m)-凸函數(shù)的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分Hermite-Hadamard型不等式.所得結(jié)果推廣了已有的相關(guān)結(jié)論.

Hermite-Hadamard 型不等式; Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分;s-(β,m)-凸

0 引言

經(jīng)典的Hermite-Hadamard不等式有很多推廣,其中主要思路是拓廣不等式中的函數(shù)類(lèi)．最近,Odemir等人將(s,m)-凸的概念[1]推廣到下面的s-(β,m)-凸[2]:

定義1 函數(shù)f:[0,∞)→(-∞,+∞),如果?x,y∈[0,∞)及μ∈[0,1],下列不等式成立:

其中(β,m)∈[0,1]2和s∈[0,1].

Odemir等人[2]利用下列涉及二階導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)積分等式,建立了包含m-凸函數(shù)及(s,m)-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式．最近涉及m-凸函數(shù)及(s,m)-凸函數(shù)的一些相關(guān)的研究，見(jiàn)文[3-6]．

引理1[3]設(shè)f:[a,b]→R在開(kāi)區(qū)間(a,b)上二次可微.如果f″∈L[a,b],則

引理2[1]設(shè)f:[a,b]→R在開(kāi)區(qū)間(a,b)上二次可微,且m∈(0,1].如果f″∈L[a,b],則

分?jǐn)?shù)階微積分理論如同整數(shù)微積分理論同樣重要, 近年來(lái)分?jǐn)?shù)階微積分的應(yīng)用和理論都有了很大的發(fā)展, 目前在國(guó)際上正形成研究熱點(diǎn)．以Kilbas,Miller, Podlubny等為代表的學(xué)者,對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分基本理論和分?jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行了研究[7-9]．

文[4]推廣了引理1,獲得了下列涉及二階導(dǎo)數(shù)的Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階積分等式:

引理3[4]設(shè)f:[a,b]→R在開(kāi)區(qū)間(a,b)上二次可微. 如果f″∈L[a,b], 則

受上述研究工作的啟發(fā),本文的目的是推廣現(xiàn)有的工作,建立了涉及帶s-(β,m)-凸函數(shù)的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的Hermite-Hadamard型不等式.

1 主要結(jié)果

引理4 設(shè)f:[a,b]→R在開(kāi)區(qū)間(a,b)上三次可微.若f?∈L[a,b], α∈R+,則

(1)

證明 由引理3, 只需證

事實(shí)上,由分部積分有

(2)

注意到

(3)

將式(3)代入式(2), 得到

(4)

由引理3和式(4), 最后可得到式(1), 得證.

為方便起見(jiàn),引進(jìn)記號(hào)

(5)

引理5 設(shè) p>1, α∈R+, 則不等式成立:

(6)

證明 接下來(lái)，將證明分為3個(gè)步驟.

步驟1： 令

h(t)=1+(1-t)α+2-tα+2-(α+2)t

(7)

則有

h′(t)=-(α+2)[(1-t)α+1+tα+1+1]<0,

故h(t)為減函數(shù).又h(0)=2>0,h(1)=-(α+2)<0,于是存在唯一的t*∈(0,1),使得

h(t*)=0, h(t)>0,t∈[0,t*), h(t)<0, t∈(t*,1].

步驟2： 易得

(8)

則

(9)

步驟3： 由式(8), 得到

(10)

考慮式(9)(10)及式(5), 有

定理1 假設(shè)f:[na,mb]→R是一個(gè)三次可微映射,且na

(11)

其中

(12)

證明 情形1： 假設(shè)q=1.由引理4,有

因?yàn)閨f?|在[na,b]是s-(β,m)-凸的,對(duì)任意的t∈[0,1],有

|f?(tna+(1-t)mb)|≤tβs|f?(na)|+m(1-tβs)|f?(b)|.

根據(jù)分部積分,引理5, 式(9)和式(10)有,

(13)

情形2： 假設(shè)q>1. 由引理4, 冪q的中值不等式,有

(14)

因?yàn)閨f?|q在[na,mb]是s-(β,m)-凸的, 故對(duì)任意的t∈[0,1], 得

|f?(tna+(1-t)mb)|q≤tβs|f?(na)|q+m(1-tβs)|f?(b)|q

(15)

由引理4和式(14), 有

(16)

由式(9)和式(10), 得到

(17)

由引理5和式 (15)～(17),有

(18)

結(jié)合式(13),可以得到式(11), 這就證明了結(jié)論.

注1 在定理1中, 假設(shè)s=β=n=m=1, 式(11)將化簡(jiǎn)為

定理2 假設(shè)f:[na,mb]→R,na1在[na,mb]上是s-(β,m)-凸的, (βs,m)∈(0,1]2,α∈R+, 則當(dāng)有

證明 由引理4, Holder’s不等式, 有

由式(5), 得

另有

因此, 我們得到定理2的結(jié)論.

注2 若s=m=β=n=1,不等式簡(jiǎn)化為

定理3 假設(shè)f:[na,mb]→R, na1在[na,mb]上是s-(β,m)-凸的, (βs,m)∈(0,1]2,α∈R+, 則

(19)

證明 由引理4,應(yīng)用Holder’s不等式, 有

(20)

另由式(9)(10), 有

(21)

同理, 得到

(22)

將式(21)(22)代入式(20),即得式(19).

注3 在定理3中, 若選擇s=m=β=n=1, 則不等式(19)化為

[1] Muddassar M, Bhatti A I, Irshad W.Generalisations of integral inequalities of the type of Hermite-Hadamard through convexity[J].Bull Aust Math Soc,2013 (88):320-330.

[2] Odemir M, Avci M, Kavurmaci H.Hermite-Hadamard-type inequalities via (s,m)-convexity[J].Comput Math Appl,2011(61):2614-2620.

[3] Odemir M E, Avci M, Set E.On some inequalities of Hermite-Hadamard type viam-convexity[J].Appl Math Lett,2010(23):1065-1070.

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[8] Miller K S, Ross B.An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations[M].New York: John Wiley & Sons,1993.

[9] Podlubny I.Fractional Differential Equations[M].San Diego: Academic Press,1999.

[責(zé)任編輯：李春紅]

A Generalization of the Hermite-Hadamard's Inequality

BAI Chuan-zhi, YANG Dan-dan

(School of Mathematical Science, Huaiyin Normal University, Huaian Jiangsu 223300, China)

We establish some Hermite-Hadamard type inequalities involving Riemann-Liouville fractional integrals fors-(β,m)-convex functions including triple differentiable mappings. Our results extend some recent known results.

Hermite-Hadamard type inequalities; Riemann-Liouville fractional integrals;s-(β,m)-convex

2016-09-12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (11571136)

楊丹丹(1982-),女,吉林通化人,副教授,博士,主要從事非線(xiàn)性泛函分析及其應(yīng)用等研究. E-mail: ydd423@sohu.com

O178

A

1671-6876(2016)04-0283-07