3-RRP平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間和靈巧度分析

劉小娟，李 虹，李瑞琴，郝亮亮，汪 輝

(中北大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，山西 太原 030051)

3-RRP平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間和靈巧度分析

劉小娟，李 虹，李瑞琴，郝亮亮，汪 輝

(中北大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，山西 太原 030051)

建立了3-RRP平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正反解方程，利用Matlab/Simulink中的SimMechanics功能模塊建立3-RRP平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)以及其結(jié)構(gòu)框圖.采用滑桿的行程限制條件編程得出了3-RRP平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間范圍.利用條件數(shù)轉(zhuǎn)化到其倒數(shù)來(lái)對(duì)3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行靈巧度分析，得出了該機(jī)構(gòu)的靈巧度的分布等高線，靈巧度在整個(gè)工作空間分布均勻，驗(yàn)證了該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)處于各向同性，各項(xiàng)性能也較好，研究結(jié)果為3-RRP平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)和動(dòng)力學(xué)研究等奠定理論基礎(chǔ).

Matlab；并聯(lián)機(jī)構(gòu)；工作空間；靈巧度

三自由度平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)是平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究較多的類(lèi)型之一[1-2]，近年來(lái)吸引了眾多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究與開(kāi)發(fā).文獻(xiàn)[3]運(yùn)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立適合3-RRP平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并求解出該機(jī)構(gòu)的位置正解.文獻(xiàn)[4]用平面3-PPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解以及該機(jī)構(gòu)的桿長(zhǎng)等限制因素，采用Matlab編程得出其工作空間.文獻(xiàn)[5]提出3-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)獲得最大區(qū)域沒(méi)有奇異點(diǎn)的圖形算法.文獻(xiàn)[6]利用可操作數(shù)和條件數(shù)對(duì)3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了靈巧度分析，得出該機(jī)構(gòu)的靈巧性特點(diǎn).文獻(xiàn)[7]用幾何方法建立平面三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系，提出機(jī)構(gòu)滿(mǎn)足運(yùn)動(dòng)可能性的條件.

目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、動(dòng)力學(xué)及仿真有一定的研究，而工作空間[8]和靈巧度是并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能的重要指標(biāo)，機(jī)構(gòu)的靈巧度是描述一個(gè)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)失真程度及遠(yuǎn)離奇異點(diǎn)的程度，需對(duì)該機(jī)構(gòu)靈巧度進(jìn)行分析研究，以改善機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能.本文運(yùn)用Matlab/Simulink中的SimMec-hanics功能模塊建立3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)，對(duì)3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間進(jìn)行了仿真，以利用條件數(shù)對(duì)3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了靈巧度分析，為此構(gòu)型的特性研究及優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ).

1 3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)描述及位置分析

3-RRP平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示. 該機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)2個(gè)平移和1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)和3個(gè)完全對(duì)稱(chēng)分布的運(yùn)動(dòng)支鏈組成，每條支鏈都是由2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副和1個(gè)移動(dòng)副組成，移動(dòng)副為末端支鏈與動(dòng)平臺(tái)相連.

圖1 3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Diagram of 3-RRP parallel mechanism

如圖1所示，建立局部坐標(biāo)系Bi-xiyi， △B1B2B3為正三角形，建立動(dòng)坐標(biāo)系p-xy，動(dòng)坐標(biāo)系固接在動(dòng)平臺(tái)上，隨著動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，中心點(diǎn)p處坐標(biāo)值為(xp,yp,αp)，其中，xp和yp分別為動(dòng)坐標(biāo)系在定坐標(biāo)系中沿x軸和y軸方向上的位置坐標(biāo)，αp為動(dòng)坐標(biāo)系在定坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角度.設(shè)定轉(zhuǎn)動(dòng)副的初始轉(zhuǎn)角為α1,α2,α3，3條支鏈中驅(qū)動(dòng)桿BiCi的長(zhǎng)度為H，連接桿CiDi的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，三角形動(dòng)平臺(tái)外接圓半徑為e，定平臺(tái)B1B2B3的外接圓半徑為R.

1.1 求解3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解

已知各驅(qū)動(dòng)輸入?yún)?shù)(θ1,θ2,θ3)的大小，求解動(dòng)平臺(tái)輸出位姿參數(shù)(xp,yp,αp).建立如式(1)和(2)所示的位移方程：

H[cos(αi+αp)-cosαi]+L[sinαi-sin(θi+
αi)]+esinαi=xp+cisin(αi+αp)

(1)

H[sinαi-sin(αi+αp)]-L[cos(θi+ai)-
cosαi]+ecosαi=yp-cicos(αi+αp)

(2)

消去式中ci(ci為位移變量)，整理化簡(jiǎn)為如式(3)所示的運(yùn)動(dòng)方程：

Eixp+Fiyp+Gi=0

(3)

式中：Ei=cos (αi+αp)，F(xiàn)i=sin (ai+αp),Gi=H(cosαp-1)+Lsin (θi-αp)+(L+e)sinαp.

根據(jù)機(jī)構(gòu)的幾何關(guān)系：

E1+E2+E3=0

(4)

F1+F2+F3=0

(5)

G1+G2+G3=0

(6)

將式(4)～(6)代入式(3)得到：

(7)

式中：u=3(L+e)-L(cosθ1+cosθ2+cosθ3),v=3H+L(sinθ1+sinθ2+sinθ3),w=3H.

求得的位置角αp代入式(1)和(2)中，求解得：

xp=sinαp[2Lsin(θ2-αp)+(L+e)sinαp+
H(cosαp-1)-Lsin(θ1-αp)]-
Lsin(θ1-αp)cosαp-(L+e)sinαp-
H(cosαp-1)

(8)

yp=cosαp[-2Lsin(θ2-αp)-3(L+e)sinαp-
3H(cosαp-1)-Lsin(θ1-αp)]-
Lsin(θ1-αp)sinαp-(L+e)sinαp-
H(cosαp-1)

(9)

式(7)～(9)聯(lián)立就可得出3-RRP平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解.

1.2 求解3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置反解

求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解，就是已知該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)位置參數(shù)(xp,yp,αp)，求解3個(gè)連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)輸入角參數(shù)(θ1,θ2,θ3).根據(jù)式(1)和(2)化簡(jiǎn)整理后得到運(yùn)動(dòng)學(xué)反解方程為

Risinθi+Sicosθi-Ti=0

(10)

式中：Ri=Lcosαp,Si=sinαp,Ti=H(1-cosαp)-cos (αp+αi)xp-sin (αp+αi)yp-(L+e)sinαp.

化簡(jiǎn)可得：

(11)

2 3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間分析

已知3-RRP平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)：L=160 mm，H=80 mm，R=316 mm.本文求解圖1所示的3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間：即在滿(mǎn)足桿長(zhǎng)尺寸范圍的條件下，求解動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)p可達(dá)空間點(diǎn)的集合.

圖2 3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)SimMechanics仿真模型Fig.2 SimMechanics simulation model of 3-RRP parallel mechanism

2.1 構(gòu)建SimMechanics模型

在Matlab/Simulink工具箱建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)模擬框圖的步驟：(1) 確定剛體的慣性量、自由度、約束；(2) 建立檢測(cè)和驅(qū)動(dòng)模塊組；(3) 以系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式和驅(qū)動(dòng)力開(kāi)始模擬；(4) 在SimMechanics窗口顯示模擬結(jié)果.

根據(jù)3-RRP平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的參數(shù)，結(jié)合正反解的方程，建立平面3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的模擬框圖和機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖，如圖2和3所示.

圖3 3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.3 Diagram of 3-RRP parallel mechanism

由圖2可知，RootPart為靜定平臺(tái)，由無(wú)自由度Weld模塊連接到RootGround模塊；機(jī)構(gòu)的工作環(huán)境模塊Env設(shè)置重力加速度向量和容許誤差等；機(jī)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)矩陣、剛體位置、速度(或角速度)和加速度(或角加速度)由剛體傳感器Body Sensor模塊測(cè)量. 機(jī)構(gòu)3個(gè)軸向上的位置數(shù)據(jù)由傳感器采集，再經(jīng)過(guò)To Work Space模塊傳遞到Matlab工作空間中并為用戶(hù)查看及使用.

圖3中的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖與圖1中的是一致的，從而驗(yàn)證了用Matlab/Simulink建模的正確性.

2.2 求解3-RRP工作空間

設(shè)定滑桿桿長(zhǎng)L變化范圍為50～70 mm，利用Matlab可求得3-RRP的工作空間，如圖4所示.

圖4 3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間Fig.4 Working space of 3-RRP parallel mechanism

由于驅(qū)動(dòng)副支鏈的慣性矩存在，使得該支鏈的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生偏離，故該3-RRP平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間也繞x軸產(chǎn)生了偏差Δx. 但是從圖4可看出, 該機(jī)構(gòu)的工作空間仍呈現(xiàn)對(duì)稱(chēng)性，在整個(gè)工作空間內(nèi)結(jié)構(gòu)緊湊，無(wú)空洞，說(shuō)明該機(jī)構(gòu)具有良好的工作性能.

3 3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靈巧度分析

定義條件數(shù)為

(12)

式中：‖*‖為任意矩陣的Euclide(歐幾米德)范數(shù).奇異值和條件數(shù)之間的相互關(guān)系[9]為

k(J)=σmax/σmin

(13)

式中：σmax為最大奇異值；σmin為最小奇異值.矩陣的條件數(shù)k取值范圍為1～∞，本文根據(jù)該機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣可求得線速度和角速度的傳遞矩陣表示為Jv和Jw，求得線速度條件數(shù)k(Jv)和角速度條件數(shù)k(Jw)分別為

(14)

式中：σmaxv和σminv分別表示線速度傳遞矩陣Jv的最大奇異值和最小奇異值；σmaxw和σminw分別表示角速度傳遞矩陣Jw的最大奇異值和最小奇異值；1≤k(Jv)≤∞；1≤k(Jw)≤∞.由于k(Jv)和k(Jw)的變化范圍較大，將條件數(shù)的倒數(shù)作為速度傳遞評(píng)價(jià)指標(biāo)[10]，如式(15)所示.

(15)

式中：c為機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣條件數(shù)的倒數(shù)．由此可知，c值越接近1，機(jī)構(gòu)的輸出偏差就越小，機(jī)構(gòu)的各項(xiàng)性能也較好，并且此時(shí)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)處于各向同性.

3-RRP平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的c分布如圖5所示.由圖5可知：c截面的變化值從外到內(nèi)逐漸減小，c最大值和最小值分別為0.8和0.3；c在整個(gè)工作空間較均勻分布且由中心向四周逐漸減小，c值在工作空間的中心處接近1，則該機(jī)構(gòu)的輸出偏差較小，此時(shí)機(jī)構(gòu)的各項(xiàng)性能也最佳，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)處于各向同性.

圖5 3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的c分布圖Fig.5 c distribution of 3-RRP parallel mechanism

4 結(jié) 論

(1) 本文建立了3-RRP平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正反解方程.

(2) 利用Matlab構(gòu)建3-RRP平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的SimMechanics模型與機(jī)構(gòu)模型一致，說(shuō)明Matlab/ Simulink建模的正確性.結(jié)合正反解的方程及特定參數(shù)，經(jīng)Matlab編程求得3-RRP平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間，在整個(gè)工作空間內(nèi)該機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)緊湊且無(wú)空洞，說(shuō)明該機(jī)構(gòu)具有良好的工作性能.用本文方法求解機(jī)構(gòu)工作空間，克服了利用極限理論編程運(yùn)算的復(fù)雜，對(duì)高冗余度的機(jī)構(gòu)工作空間求解優(yōu)勢(shì)更明顯.

(3) 以機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣條件數(shù)的倒數(shù)作為速度傳遞評(píng)價(jià)指標(biāo)，繪制了3-RRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的c分布圖.在工作空間的中心處c的值接近1，此時(shí)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)處于各向同性，各項(xiàng)性能最佳，為該機(jī)構(gòu)特性研究及優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ).

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Workspace and Dexterity Analysis of 3-RRP Planar Parallel Mechanism

LIUXiao-juan，LIHong，LIRui-qin，HAOLiang-liang，WANGHui

(School of Mechanical and Power Engineering, North University of China, Taiyuan 030051, China )

The positive and inverse solution equations of the 3-RRP planar parallel mechanism are established, and the 3-RRP planar parallel mechanism and its structure block diagram are established by using the SimMechanics function module in Matlab/Simulink. The 3-RRP planar parallel mechanism workspace range is obtained by the sliding rod travel constraint programming.The dexterity of the contour line of the 3-RRP parallel mechanism is obtained by the condition number into the countdown to the dexterity analysis, the distribution of the whole workspace is uniform, and the kinematic of the mechanism is isotropic, and a variety of performance are also good. The results of the study for 3-RRP planar parallel mechanism takes as the theoretical basis for optimization design and dynamics research.

Matlab；parallel mechanism；workspaces；dexterity

1671-0444 (2016)04-0523-04

2015-12-02

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275486)

劉小娟(1989—)，女，山西忻州人，碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)與優(yōu)化. E-mail:994512601@qq.com 李 虹(聯(lián)系人)，女，副教授，E-mail:349824199@qq.com.

TH 124

A