如何把握新課程標準下的初中圖形與幾何教學

楊志堅

摘 要： 本文通過對初中幾何教學內(nèi)容及要求從教學大綱到義務教育數(shù)學課程標準實驗稿及課程標準2011版的變化對比，結合新課標對“圖形與幾何”的要求，提出分別從“圖形的發(fā)展”和“推理的發(fā)展”兩條主線入手，組織成一個合理的教學體系，并通過準確、科學地把握相關內(nèi)容教學要求進行數(shù)學課程標準下“空間與圖形”的幾何教學，力圖對新課標2011版下的初中圖形與幾何教學內(nèi)容及要求進行較全面地認識和把握，以便當前數(shù)學教師參考和借鑒。

關鍵詞： 課程標準 初中圖形與幾何教學 圖形的發(fā)展 推理的發(fā)展

隨著新課程改革全面推進與深化，新課程標準下的數(shù)學教學從內(nèi)容和要求上與以往相比發(fā)生了巨大的變化，其中初中幾何部分尤為突出。使幾何教學內(nèi)容和教學要求的深廣度的把握成為當前課改推進中初中數(shù)學教師實施教學的一大難題。

新課改后，原來熟悉的幾何作為《標準》的四個領域之一——“空間與圖形”出現(xiàn)了。而且不再以歐幾里得幾何的公理體系為主線，也不是嚴格按照知識的邏輯順序呈現(xiàn)這個領域，而是以“圖形的認識、圖形與變換、圖形與坐標、圖形與證明”四個方面展開，并根據(jù)兒童的生理和心理特征，通過各學段相應的目標逐段遞進。而數(shù)學課程標準2011版第三學段則將上述課標幾何部分的四個方面變成三個方面，分別是圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標。首先是“圖形的性質(zhì)”基本涵蓋原來圖形的認識和圖形與證明內(nèi)容，除了對一些基本圖形的認識之外，還包含對圖形一些命題的證明，同時發(fā)展了學生的空間觀念和推理能力。第二方面“圖形的變化”，它的內(nèi)容就比較豐富了，包含合同變換——圖形的軸對稱、圖形的平移、圖形的旋轉，以及圖形的相似（包括位似），由于和相似關系密切，因此直角三角形的邊角關系包含其中，還有一類變換是仿射變換，在標準中呈現(xiàn)的標題就是投影。這部分主要研究圖形之間的關系，特別從運動觀點和變化角度研究圖形，這一方法本身十分重要。第三方面“圖形與坐標”，包含坐標與圖形的位置，坐標與圖形的運動，用坐標的方法刻畫在圖形變換中熟知的軸對稱，圖形的平移，圖形的位似等。這三個方面引領學生逐步從直觀認識走向代數(shù)化，順應學生的認識規(guī)律和學習認知特征，同時讓學生認識問題的思維變得越來越深刻。

從結構形式看，大綱以擴展的歐幾里得幾何公理體系依知識的邏輯順序呈現(xiàn)，按照圖形由簡到繁的順序，呈現(xiàn)出幾何內(nèi)容的直線式逐級上升。而兩個版本的課標則按四或三個方面展開，以學生的生理和心理特征為依據(jù)，把各部分內(nèi)容交替螺線形呈現(xiàn)。

從內(nèi)容看，與大綱相比，課標實驗稿強調(diào)了內(nèi)容的現(xiàn)實背景，聯(lián)系學生的生活經(jīng)驗和活動經(jīng)驗，增加了圖形變換、位置的確定、視圖與投影等內(nèi)容，加強了幾何建模及探究過程，重視量與測量，重視幾何直覺，加強了合情推理，削弱了演繹推理的要求。

而與實驗稿相比，2011年版課標則將演繹推理的開始從四邊形及相似三角形內(nèi)容之后提前到三角形部分，提高了對演繹推理的要求，如在相似三角形部分，增加平行線分線段成比例公理，為證明相似三角形的判定定理提供依據(jù)，在平行線部分，把“兩直線平行，同位角相等”由公理改為定理，實際上是增加了學生接觸、理解反證法思想的機會。

如此巨大的變化，反復的新舊沖突，造成了初中數(shù)學教師極大的不適應，加上面對新課標數(shù)學教材中各章幾何內(nèi)容的增減和呈現(xiàn)順序的改變，以及幾何證明要求的再次調(diào)整，更覺得難以把握教學深度和廣度。鑒于此，筆者結合對數(shù)學新課標2011版及新課標數(shù)學教材的理解，談談對“圖形與幾何”的具體內(nèi)容和要求的粗淺認識，力圖對新課標2011版下的初中幾何教學內(nèi)容及要求進行較全面地認識和把握，以便當前數(shù)學教師參考和借鑒。

一、組織成一個合理的教學體系是實現(xiàn)圖形與幾何教學目標的關鍵。

（一）把“圖形的發(fā)展”作為一條主線，按圖形與幾何的三個方面（圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標）教學內(nèi)容的邏輯關系構建一個合理的內(nèi)容體系。從簡單圖形的認識開始，通過豐富的實際例子認識有關圖形的知識與實際事物的廣泛聯(lián)系，了解學習空間與圖形知識的必要性，然后依次討論相交線與平行線的基本性質(zhì)，引入平面直角坐標系為研究與描述圖形及其變化提供工具，討論、探究三角形、全等三角形、直角三角形的基本性質(zhì)及相關識別條件，再結合等腰三角形研究圖形的軸對稱性，進而對圖形的平移、旋轉、圖形的相似及四邊形、多邊形和銳角三角函數(shù)展開學習，最后學習圓、視圖與投影的知識。這樣，圖形與幾何不僅僅是圖形知識的堆砌，借助圖形的直觀性，組織成邏輯性較強的教學體系，有利于學生掌握圖形與幾何知識，提高思維能力，建立良好的空間觀念。

“圖形與幾何”的三個方面都以圖形為載體，圍繞圖形和空間問題展開，以培養(yǎng)空間觀念、幾何直覺、推理能力，以及更好地認識與把握生存現(xiàn)實空間為目標。

1.對于圖形的性質(zhì)，從圖形的認識開始，不僅進一步提高學生對圖形的感性認識，通過折紙、測量、畫圖等實踐活動進行，還隨著對圖形認識的深入發(fā)展，引導學生通過推理認識圖形的性質(zhì)及識別條件。在實施中，要很好地完成從具體事物到圖形知識的抽象過程，尤其是在一些基本圖形概念的形成過程中更要注意這個問題，從學生的生活經(jīng)驗出發(fā)，使學生認識圖形與幾何知識與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系，以及知識在實際中的廣泛應用。對圖形的性質(zhì)探究，加強合情推理，控制演繹推理的難度和數(shù)量；強調(diào)“理解證明的必要性”，以及“言之有理、落筆有據(jù)”，清晰且有條理地表達、交流，合乎邏輯地討論、質(zhì)疑等。在實施中注意引導學生探索圖形性質(zhì)，并在與他人合作交流等活動過程中不斷發(fā)展合情推理，進一步學習有條理地思考與表達；引導學生憑借積累的數(shù)學活動經(jīng)驗和探索得到的圖形性質(zhì)，從幾個基本事實出發(fā)，證明有關三角形、四邊形的一些基本性質(zhì)，從而體會證明的必要性，理解證明的基本過程，掌握演繹推理的基本格式，初步感受公理化思想。

2.對于圖形的變化，要注意到變換不僅是探索圖形性質(zhì)，認識、描述物體形狀和空間位置關系的必要手段，還是解決現(xiàn)實具體問題，進行交流的重要工具。但要注意《標準》并不要求從嚴格的幾何變換定義出發(fā)研究變換的性質(zhì)，從而研究圖形的性質(zhì)，而只要求“通過實例認識變換”，借助圖形的直觀探索軸對稱、平移、旋轉的基本性質(zhì)，以及一些基本圖形的性質(zhì)，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小，并利用圖形變換設計、欣賞圖案。在實施中要緊密聯(lián)系學生熟悉的實例，使學生認識“生活中的圖形變換”，以觀察、動手操作為主要方式組織學生開展實踐活動，切實把握好“圖形的變化”的具體目標，以及要求的“度”。

3.對圖形與坐標，以直角坐標系為工具確定點（圖形）的位置，以及圖形變換后點的坐標的變化，既學習刻畫點和圖形的位置，又討論點的坐標的變化與圖形變化之間的關系，從而把“形”與“數(shù)”緊密地聯(lián)系在一起。在實施中要把握這部分內(nèi)容的關鍵——在直角坐標系中“點”的位置的確定，在同一直角坐標系中，感受圖形變換后點的坐標的變化”，把坐標思想與圖形變換的思想聯(lián)系起來，并利用直角坐標系對圖形進行軸對稱、平移、位似等變換，使學生通過操作和計算體會數(shù)與形之間的對應關系。

另外，“圖形與幾何”還把平面幾何和立體幾何的內(nèi)容采用直觀和非形式化的手段進行整合，使教學內(nèi)容更緊密聯(lián)系學生生活和社會發(fā)展，讓學生通過直接感受理解和把握空間關系。

（二）把“推理的發(fā)展”作為一條主線，按“合情推理—學會說理—感受證明的必要性—演繹推理—綜合運用”的線索，從教學內(nèi)容上呈現(xiàn)出推理發(fā)展的這五個層次。在圖形由簡到繁的發(fā)展過程中，加強合情推理，讓學生通過直觀感知、操作確認、歸納類比等方式認識幾何圖形的特征與性質(zhì)，學會識別方法。在合情推理貫穿始終的同時，注意逐步學習數(shù)學說理與演繹推理。從對頂角相等，平行線中一些結論開始就滲透簡單的數(shù)學說理。在學習圖形的全等時開始出現(xiàn)較為簡單的三段論演繹推理格式，在學生積累了一定的形式化推理經(jīng)驗后，單獨開展幾何證明的內(nèi)容，體會證明的必要性，讓學生體驗公理體系的思想，發(fā)展初步的演繹推理能力，最后，在四邊形和相似三角形學習中，把兩者有機結合起來，在每個內(nèi)容開始部分運用合情推理得出數(shù)學結論，再用嚴格的演繹推理證明結論，并將所得結論作為進一步解決數(shù)學問題的依據(jù)。在教學實施中注意把握圖形的觀察—發(fā)現(xiàn)—說理；圖形的操作—發(fā)現(xiàn)—說理；圖形的變化—發(fā)現(xiàn)—說理，使合情推理與說理及初步演繹推理有機結合起來，把推理能力的培養(yǎng)建立在可操作的序列上。自然地、有意識地培養(yǎng)學生有條理地思考、表達和交流，逐步訓練學生相對嚴格的說理過程和初步的推理能力，使學生逐步掌握簡單幾何推理的基本步驟，了解推理的各種表示（包括不嚴格的語言表示）。特別地，有意識地引導學生自覺用一定的活動表達對有關概念、結論的理解，自覺地用自己的語言（即使是不規(guī)范的語言）說明操作過程，并利用說理和簡單的推理印證結論的真實性.從而在“圖形的證明”學習中達到義務教育階段對證明——演繹推理的教學要求。

可以看出，“圖形的發(fā)展”與“推理的發(fā)展”這兩條主線各成一脈，又緊密聯(lián)系、相輔相成、相互交融，它們在圖形認識中逐步學會推理，在推理發(fā)展過程中深化對圖形的認識。

二、準確、科學把握相關內(nèi)容的教學要求是實現(xiàn)圖形與幾何教學目標的保證。

在具體教學實踐中，教學要求的把握直接影響學生負擔的輕與重，從而直接影響學生是否能夠全面發(fā)展。要注意到《標準（2011版）》繼承了我國數(shù)學教學的優(yōu)良傳統(tǒng)，關注基礎知識學習和基本技能訓練，但控制了教學內(nèi)容范圍和教學要求。我們應注意到新課標（2011版）削弱了單純的平面圖形面積、體積、周長等計算，把這類計算融于幾何直觀和反映空間觀念的問題之中。用九條“基本事實”證明數(shù)十條結論；與大綱相比在一定程度上淡化幾何證明的技巧，降低了論證過程形式化的要求和證明的難度。我們還應在關注削弱演繹推理的同時，關注加強合情推理。尤其2011版課標在重視直觀實驗的同時，不降低對邏輯推理的要求，使學生逐步形成從感性到理性的思維習慣和嚴謹科學的方法。強調(diào)“空間和圖形”內(nèi)容緊密聯(lián)系學生的生活經(jīng)驗和活動經(jīng)驗，拓寬幾何學習的背景。

（一）循序漸進地培養(yǎng)推理能力，做好由實驗幾何到論證幾何的過渡。

直觀與推理的結合。使推理成為學生觀察、實驗、探究得出結論的自然延續(xù)，逐步養(yǎng)成嚴謹?shù)乃季S習慣。同時，推理論證不僅是證明或推翻猜想，還是發(fā)現(xiàn)新結論的重要手段。教學中，不僅要求學生通過觀察、實驗、探究得出一些有關圖形的結論，還要求學生對這些結論進行證明，使推理證明成為學生探究得出結論的自然延續(xù)，進一步體會證明的必要性。

（二）逐步提升，落實好推理與證明的關鍵部分內(nèi)容。

在“相交線與平行線”中，結合實例從“說理”到“簡單推理”，并正式出現(xiàn)“證明”（讓學生看到完整的證明，不要求學生完整證明，要求學生會填空完成一些關鍵步驟和填理由），注意循序漸進，推理的步驟控制好長度。正式出現(xiàn)“證明”之前，循序漸進給出嚴格的推理符號語言。教學中可以具體的問題為載體，先引導學生分析由已知推出結論的思路，由教師示范證明的格式，再逐步要求學生獨立分析、寫出完整的證明過程。同時注意根據(jù)教學內(nèi)容及時安排相應訓練，讓學生切實提高推理論證能力。突出圖形性質(zhì)定理和判定定理的探索與發(fā)現(xiàn)過程，通過合情推理發(fā)現(xiàn)結論，形成猜想，運用演繹推理證明猜想。強調(diào)從數(shù)學本身提出問題，通過圖形性質(zhì)定理的逆命題，提出判定圖形是否成立的命題，運用演繹推理證明這些命題的真?zhèn)?，給出圖形的判定定理，進一步明確圖形的性質(zhì)定理與判定定理之間的關系。

（三）從感性到理性，從靜態(tài)到動態(tài)地提高對圖形的認識能力。

實驗與推理結合，適當運用坐標與圖形的變化，加強“圖形的性質(zhì)”和“圖形的變化”“圖形與坐標”等之間的聯(lián)系，從多種角度認識圖形的性質(zhì)。教學中，充分利用圖形的軸對稱、旋轉、平移不改變圖形的形狀和大小，借助此性質(zhì)可以探索線段、角、等腰三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓的一些性質(zhì)，有助于學生發(fā)展幾何直觀能力和空間觀念。而幾何圖形的直觀為運用圖形運動的方法研究圖形性質(zhì)提供了有利條件，再跟圖形的性質(zhì)、圖形與坐標相結合。通過建立平面直角坐標系，在直角坐標系中確定圖形的位置，如用坐標描述點的位置、刻畫一個簡單圖形的位置等。進而在直角坐標系中進行圖形的運動，并描述運動后圖形的位置及其對應頂點坐標之間的關系，讓學生逐步體會研究圖形性質(zhì)可以有不同方法。如通過操作、觀察、實驗等活動，對現(xiàn)象進行歸納類比，運用合情推理發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)；通過圖形的運動過程中變與不變的關系發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)；通過演繹推理發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)。

（四）靈活運用數(shù)形結合，體現(xiàn)研究方法的聯(lián)系。

除了借助平面直角坐標系研究圖形位置、用坐標研究圖形的運動變化之外，還可對圖形的一些性質(zhì)進行數(shù)量刻畫展開研究。比如，對“與圓有關的位置關系”的處理：實驗探究——點和圓的位置關系；直線和圓的位置關系；研究的對象——兩個圖形間的位置關系；研究的方法——將兩個圖形間的位置關系分類，從幾何、代數(shù)兩方面分析特性。①幾何特性：交點個數(shù)及區(qū)域分布；②代數(shù)特性：“兩圖形間的距離”與半徑的比較。從數(shù)形結合兩個方面討論。

重視滲透數(shù)學思想方法。如轉化的思想，正多邊形的有關計算→直角三角形；正多邊形的畫圖→等分圓周。分類的方法，對圓周角定理的討論，點與圓、直線與圓的位置關系。

數(shù)學課程標準2011版還強調(diào)內(nèi)容呈現(xiàn)方式的多樣化，突出數(shù)學活動的過程，提倡個性化學習方式和策略，以及問題的開放性，這都為學生富有個性地發(fā)展提供了充分的時間和空間。另外，還加強了“圖形變化”和“位置的確定”的有關內(nèi)容。強調(diào)從不同角度觀察、認識方向和描述物體的位置、繪制圖案和制作模型等活動，增強學生用坐標、變換、推理等多種方式認識現(xiàn)實空間和處理幾何問題的感受，體會并掌握刻畫現(xiàn)實世界空間關系和認識圖形特征的工具。加強幾何建模及探究過程，強調(diào)幾何直覺，培養(yǎng)空間觀念。突出“圖形與幾何”的文化價值，重視量與測量，并把它融合在有關內(nèi)容中，加強測量的實踐性。

特別注意的是，在推理教學的深廣度把握上，既不能像大綱時期那樣過分追求邏輯嚴謹和體系形式化，束縛學生思維活力；又不能像實驗稿時期某些教師理解的那樣，將合情推理泛化，對學生思維的條理性和嚴謹性絲毫不作要求，致使大量學生缺乏應有的分析能力和洞察力，不能剖析表象下掩蓋的問題實質(zhì)，養(yǎng)成看到即是、思維膚淺的不良習慣。而應該貼合學生實際，采取多樣化的活動，讓學生多經(jīng)歷“猜想—證明”及“猜想—推翻”的過程，發(fā)展學生的合情推理和演繹推理能力。

在數(shù)學新課程改革推進的過程中，前面的路還很長，需要數(shù)學教育工作者不斷實踐、反思和完善，在解決諸多問題和困難的過程中前行。

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