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    運用概率幫你做估計和計算收費

    2017-01-06 18:41:57韓寶華
    初中生世界·九年級 2016年12期
    關鍵詞:黑球條魚白球

    韓寶華

    現(xiàn)實生活中,很多時候無法用普查來統(tǒng)計數(shù)據(jù).這時,我們常常請概率這個好朋友來幫我們做估計,幫助我們進行決策.

    例1 在一個不透明的布袋中,紅球、黑球、白球共有若干個,除顏色外,形狀、大小、質地等完全相同.小新從布袋中隨機摸出一球,記下顏色后放回布袋中,搖勻后再隨機摸出一球,記下顏色……如此大量摸球實驗后,小新發(fā)現(xiàn)其中摸出紅球的頻率穩(wěn)定于20%,摸出黑球的頻率穩(wěn)定于50%.對此實驗,他總結出下列結論:①若進行大量摸球實驗,摸出白球的頻率應穩(wěn)定于30%;②若從布袋中任意摸出一個球,該球是黑球的概率最大;③若再摸球100次,必有20次摸出的球是紅球.其中說法正確的是( ).

    A.①②③ B.①② C.①③ D.②③

    【解析】當實驗次數(shù)很大時,事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于一個值,這時我們用頻率作為概率的估計值.

    摸出紅球的頻率穩(wěn)定于20%,則摸出紅球的概率是20%,同樣摸出黑球的概率是50%.因為每次要摸出一個球,這個球的顏色一定是紅球、黑球或白球中的一個,所以分別摸出紅球、白球、黑球的概率和為100%,則摸出白球的概率為100%-20%-50%=30%.所以①②正確.只有當實驗次數(shù)足夠大時,方可用頻率來估計概率,在有限次的實驗中,不能用頻率進行準確的計算,只能說可能有20次摸出的是紅球,而不是一定有20次,故③錯誤.

    例2 為估計魚塘中魚的數(shù)量,先從魚塘中捕撈30條魚做上標記,然后放回魚塘.經(jīng)過一段時間,待有標記的魚完全混合于魚群后,再從中多次捕撈,并計算得平均每200條魚中帶有標記的魚有5條.試估計該魚塘中魚的數(shù)量.

    【解析】設該魚塘中有魚x條,由多次捕撈,并計算得平均每200條魚中帶有標記的魚有5條.可算得帶有標記的魚的頻率為[5200]=[140],并把它作為捕到帶有標記魚的概率的估計值,則由P(捕到帶有標記的魚)=[30x]=[140],得x=1200(條).

    例3 如果事件A發(fā)生的概率是[5100],那么下列推斷,哪幾個是正確的?

    (1)做100次這種試驗,事件A必發(fā)生5次;

    (2)大量重復做這種試驗,事件A平均每100次發(fā)生5次;

    (3)做100次這種試驗,事件A不可能發(fā)生6次.

    【解析】因為事件A發(fā)生是隨機的,所以做100次這種試驗,事件A發(fā)生的次數(shù)不一定是5次,0次到100次都有可能.只有在大量重復地做這種試驗的基礎上,事件A平均每100次發(fā)生5次.所以(1)(3)錯誤,只有(2)正確.

    例4 某航空公司的保險合同上有這樣一個條款:飛機一旦失事,將向每名乘客賠償人民幣50萬元,但保險公司需向每名乘客收取保險費20元.如果該航空公司航班平均每次約有120名乘客,那么在n次飛行中,平均來說,當飛機失事的概率不超過多少時,才能保證保險公司的收入不小于支出?

    【解析】設飛機失事的概率為x,在n次飛行中,平均失事nx次,平均賠償120×50×nx萬元,n次飛行中共收取保險費120×20n元,因為要使得收入不小于支出,所以可列不等式120×500000×nx≤120×20n.

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