銳角三角函數(shù)學(xué)習(xí)導(dǎo)引

本章的重點(diǎn)是銳角三角函數(shù)的定義和直角三角形的解法，難點(diǎn)是綜合運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題.通過本章的學(xué)習(xí)，同學(xué)們要會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求相應(yīng)銳角，能運(yùn)用銳角三角函數(shù)解直角三角形及相關(guān)的實(shí)際問題.

一、深入理解銳角三角函數(shù)的概念

1.理解銳角三角函數(shù)的定義.

（1）正切、正弦和余弦的概念是在一個(gè)直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段的比值，沒有單位，其大小只與角的大小有關(guān)，與其所在的直角三角形的大小無關(guān)；

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，銳角三角函數(shù)值[ab]、[ac]和[bc]都隨銳角A的大小變化而變化，也都隨銳角A的確定而唯一確定，因此它的大小僅與角的大小有關(guān)，而與所在的直角三角形的邊的長(zhǎng)短無關(guān)；

（3）正切tanA、正弦sinA和余弦cosA是一個(gè)完整的符號(hào)，tanA不是tan與A的積，離開了∠A，“tan”就沒有意義了，只有合起來，tanA才表示∠A的正切，sinA、cosA也是如此；

（4）符號(hào)tanA表示∠A的正切，在符號(hào)tanA中，習(xí)慣省去角的符號(hào)“∠”，當(dāng)用希臘字母α、β等表示角時(shí)，其正切中角的符號(hào)習(xí)慣上也省去，但當(dāng)用三個(gè)英文字母或阿拉伯?dāng)?shù)字表示角時(shí)，角的符號(hào)“∠”不能省略，sinA、cosA也是如此，如tanα、sin∠ABC、cos∠1等.

2.應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義.

例1 （2016·甘肅蘭州）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=[35]，BC=6，則AB=（ ）.

A.4 B.6 C.8 D.10

【分析】先畫出圖形，如圖1，在Rt△ABC中，由銳角三角函數(shù)定義表示出sinA，將sinA的值與BC的長(zhǎng)代入即可求出AB的長(zhǎng).

【評(píng)注】熟練掌握銳角三角函數(shù)的基本概念是解好本題的關(guān)鍵，做題時(shí)邊讀題邊畫一個(gè)直角三角形，數(shù)形結(jié)合、看圖說話，可避免主觀出錯(cuò).

二、理解記憶特殊角的三角函數(shù)值

任意角的三角函數(shù)值都可以由計(jì)算器獲取，但由于特殊角的三角函數(shù)值常見常用，所以應(yīng)當(dāng)記憶，這樣便于我們運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算、求值和解直角三角形.

另外，觀察表格，我們還有收獲.橫著看：正弦值、正切值，隨著角度的增大而增大（其中tan30°?tan60°=1=tan45°）；余弦值，隨著角度的增大而減小.這個(gè)規(guī)律是不是一般規(guī)律？對(duì)所有的銳角三角函數(shù)都成立嗎？有興趣的同學(xué)可借助于計(jì)算器驗(yàn)證一下自己的發(fā)現(xiàn).豎著看：sin45°=cos45°；斜著看：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，要善于觀察、思考，這樣才能不斷提升自己.

例2 式子2cos30°-tan45°-[1-tan60°2]的值是（ ）.

A.[23]-2 B.0 C.[23] D.2

【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入后，化簡(jiǎn)即可得出答案.原式=2×[32]-1-[1-3]=0.

【評(píng)注】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，因此，一些特殊角的三角函數(shù)值需要我們?cè)诶斫獾幕A(chǔ)上熟練記憶.

例3 已知tanA=[23]，∠A為銳角，則∠A的取值范圍是（ ）.

A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45°

C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90°

【分析】要確定∠A的取值范圍，只要確定[23]在哪兩個(gè)特殊角的三角函數(shù)值之間即可.因?yàn)閇33]<[23]<1，所以tan30°

【評(píng)注】解答本題不僅要熟記特殊角的三角函數(shù)值，還要理解“銳角三角函數(shù)的正切值隨著角度的增大而增大”這個(gè)規(guī)律.

三、解直角三角形及其應(yīng)用

1.直角三角形各元素之間的關(guān)系.

如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別是∠A的對(duì)邊、∠B的對(duì)邊和∠C的對(duì)邊.除直角外的五個(gè)元素之間有如下的關(guān)系：

三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2；

兩個(gè)銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°；

邊角之間的關(guān)系：sinA=cosB=[ac]；cosA=sinB=[bc]；tanA=[1tanB]=[ab].

2.解直角三角形的基本類型及解法.

由此我們知道：在直角三角形的六個(gè)元素中，除直角外的五個(gè)元素，只要知道兩個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊），就可以求出其余的三個(gè)元素.解直角三角形的知識(shí)廣泛應(yīng)用于生活，尤其在測(cè)量過程中用于計(jì)算距離、高度、長(zhǎng)度和角度等.

例4 （2016·江蘇蘇州）如圖3，長(zhǎng)4m的樓梯AB的傾斜角∠ABD為60°，為了改善樓梯的安全性能，準(zhǔn)備重新建造樓梯，使其傾斜角∠ACD為45°，則調(diào)整后的樓梯AC的長(zhǎng)為（ ）.

A.[23]m B.[26]m

C.（[23]-2）m D.（[26]-2）m

【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定義計(jì)算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定義計(jì)算AC即可.

【解答】在Rt△ABD中，sin∠ABD=[ADAB]，

∴AD=4sin60°=[23]m，

在RtΔACD中，sin∠ACD=[ADAC]，

∴AC=[23sin45°]=[26]m，故選B.

【點(diǎn)評(píng)】解直角三角形的關(guān)鍵是抓住已知條件，利用已知的邊和角求出未知的邊，進(jìn)而解決問題.

例5 （2016·四川巴中）一個(gè)公共房門前的臺(tái)階高出地面1.2米，臺(tái)階拆除后，換成供輪椅行走的斜坡，數(shù)據(jù)如圖4所示，則下列關(guān)系或說法正確的是（ ）.

A.斜坡AB的坡度是10°

B.斜坡AB的坡度是tan10°

C.AC=1.2tan10°米

D.AB=[1.2cos10°]米

【分析】坡度反映了斜坡的陡峭程度（這個(gè)度的意義不是角度），它是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，是一個(gè)比值，一般用i表示，常寫成i=h∶l的形式.把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i=tanα.

【解答】根據(jù)坡度是坡角的正切值得斜坡AB的坡度是i=[BCAC]=tan10°，選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形應(yīng)用中的基本概念：坡度、坡角，理解坡度的含義是解題的關(guān)鍵.

例5 （2016·山東菏澤）南沙群島是我國固有領(lǐng)土，現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進(jìn)行捕魚作業(yè)，如圖5，當(dāng)漁船航行至B處時(shí)，測(cè)得該島位于正北方向20[（1+3）]海里的C處，為了防止某國巡警干擾，就請(qǐng)求我國A處的漁監(jiān)船前往C處護(hù)航，已知C位于A處的北偏東45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之間的距離.

[圖5][圖6]

【分析】本題屬于解直角三角形的應(yīng)用——方向角問題，認(rèn)真審題，理解方向是解題的關(guān)鍵.如圖6，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，設(shè)CD=x，利用解直角三角形的方法，可得出AD，進(jìn)而可得出BD，結(jié)合題意BC=CD+BD可列出方程，解出x的值后即可得出答案.

【解答】如圖6，∠ACD=45°，∠ABD=30°.

設(shè)CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，

在Rt△ABD中，可得BD=[3x]，

又∵BC=20[（1+3）]，CD+BD=BC，

即x+[3x]=20[（1+3）]，

解之得：x=20，

∴AC=[2x]=[202]（海里）.

答：A、C之間的距離為[202]海里.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了關(guān)于方向角方面的實(shí)際應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型運(yùn)用方程求解.

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán)南校區(qū)）