基于ADI格式算法的二維拋物型方程的初值問(wèn)題研究*

趙瑜

(江蘇食品藥品職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇淮安223003))

基于ADI格式算法的二維拋物型方程的初值問(wèn)題研究*

趙瑜

(江蘇食品藥品職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇淮安223003))

以二維拋物型方程為研究對(duì)象，建立交替方向隱格式的差分格式(ADI)，用追趕法分別對(duì)ADI格式的三對(duì)角線性方程組進(jìn)行求解，并將該方法應(yīng)用于具體算例，根據(jù)MATLAB仿真結(jié)果可知，ADI格式是一種穩(wěn)定性較好，精度較高的差分格式.

二維拋物型方程;ADI格式;追趕法;MATLAB仿真

眾所周知，電磁場(chǎng)傳播、氣體擴(kuò)散現(xiàn)象、熱傳導(dǎo)過(guò)程等諸多問(wèn)題都可以用偏微分方程來(lái)刻畫［1］.其中，拋物型偏微分方程對(duì)于物質(zhì)濃度彌散、微波熱處理及電纜的輸導(dǎo)等有著較強(qiáng)的應(yīng)用背景［2］.一方面，諸多國(guó)內(nèi)外學(xué)者致力于研究偏微分方程解的存在性與穩(wěn)定性，并且獲得了很多較好的結(jié)果［3－5］;另一方面，偏微分方程的數(shù)值解法也是該方向的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，特別是對(duì)拋物型偏微分方程在有限格式的差分解法的高精度研究方面已經(jīng)獲得了許多有突出的結(jié)果，文獻(xiàn)［6－8］指出Crank－Nicolson格式和向后Euler格式在解決一維拋物型方程問(wèn)題時(shí)有著穩(wěn)定性高、計(jì)算量小以及精度高等優(yōu)點(diǎn).然而，在研究拋物型方程高維條件的問(wèn)題時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，向前Euler格式雖然運(yùn)算過(guò)程較為簡(jiǎn)單，但對(duì)于穩(wěn)定性的需求要比一維情形苛刻很多，我們通過(guò)該格式整理所得方程組已經(jīng)不再是三對(duì)角線性的，而是一個(gè)大型的線性方程組，這里是針對(duì)每一時(shí)間層上的差分方程組來(lái)說(shuō)的，要想求解這樣的線性方程組，無(wú)論是理論推導(dǎo)工作還是數(shù)值計(jì)算量都是困難和巨大的.因而，構(gòu)造出一種無(wú)條件的、數(shù)值計(jì)算工作量較小的、算法穩(wěn)定的新的差分格式解法是非常重要的.針對(duì)求解拋物型方程的高維問(wèn)題，我們的基本思想是將高維問(wèn)題轉(zhuǎn)換成一個(gè)個(gè)具有三對(duì)角線性特征的一維拋物問(wèn)題來(lái)解決.本文將介紹一種能用追趕法計(jì)算且無(wú)條件穩(wěn)定的理想算法，即ADI格式算法.

1 差分格式的建立

本文主要研究二維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題

其中Ω=(0，1)×(0，1)，Γ為Ω的邊界，且當(dāng)(x，y) ∈Γ時(shí)有(x，y，0)=φ(x，y).

定義Ωh×Ωr上的網(wǎng)格函數(shù)U={Ukij，|0≤i，j≤m，0≤k≤n}，其中

uKij=u(xi，yi，tk)，0≤i，j≤m，0≤k≤n.

由Taylor展開(kāi)式，有

將以上三式代入(4)，得

上式又可進(jìn)一步寫為

其中

2 仿真算例

計(jì)算拋物方程的二維初邊值問(wèn)題

它的精確解為u(x，y，t)=sinπx cosπy exp(－.若xj=jh(j=0，1，…，J)，yk=kh(k=0，1，…，K)，tn=nτ(n=0，1，…，N)差分格式解為，則對(duì)應(yīng)的初邊值條件為初值條件為=sinπxjcosπyk.

若令時(shí)間分割τ=1/1600，空間分割h=h1= h2=1/40，網(wǎng)格剖分比r=τ/h2=1.利用ADI格式法依次運(yùn)算到時(shí)間層t=1.

2.1 計(jì)算過(guò)程

再對(duì)下面一系列三對(duì)角方程組按行采用追趕法求解:

再對(duì)下面一系列的三對(duì)角方程組按列采用追趕法推導(dǎo)出:

2.2 求解結(jié)果

數(shù)值解圖像與精確解圖像分別如圖1與圖2所示.

O357.1

A

1008－7974(2016)06－0038－04

10.13877/j.cnki.cn22－1284.2016.12.012

2016－04－26

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11301001);江蘇省“十二五”規(guī)劃課題“高職數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課開(kāi)展的研究與實(shí)踐”(C－c/2013/03/039)

趙瑜，江蘇泰州人，講師.