模n高斯整數(shù)環(huán)的商環(huán)的立方映射圖

韋揚江，梁藝耀，唐高華，蘇磊磊，陳蔚凝

(廣西師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計科學(xué)學(xué)院，廣西南寧 530023)

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模n高斯整數(shù)環(huán)的商環(huán)的立方映射圖

韋揚江，梁藝耀，唐高華，蘇磊磊，陳蔚凝

(廣西師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計科學(xué)學(xué)院，廣西南寧 530023)

Z[i]為高斯整數(shù)環(huán)，γ為Z[i]中任意非零元，〈γ〉表示由γ生成的理想。定義商環(huán)Z[i]/〈γ〉上的立方映射圖G(γ)，該映射圖的頂點為Z[i]/〈γ〉中的所有元素，并且，對于圖中的兩個頂點α和β，如果β=α3，則從α到β有一條有向邊。本文對映射圖G(γ)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究，包括G(γ)中不動點的個數(shù)，頂點0、1的入度，G(γ)的半正則性，以及任一個零因子頂點在映射圖中的高度等。

高斯整數(shù)環(huán)；立方映射圖；入度； 圈；半正則性

0 引言

高斯整數(shù)環(huán)Z[i]是很典型且構(gòu)造特殊的一類環(huán)，在環(huán)論中占很重要的地位，由于Z[i]既融入環(huán)論的思想，同時又有數(shù)論的思想貫穿其中，國內(nèi)外學(xué)者們從多個方面對Z[i]進(jìn)行了研究。例如：文獻(xiàn)[1]確定了商環(huán)Z[i]/〈γ〉中的等價類，并對該商環(huán)進(jìn)行了同構(gòu)分類；文獻(xiàn)[2-3]研究了Z[i]的一些商環(huán)的立方映射圖的結(jié)構(gòu)；對于Z[i]的商環(huán)的單位群的研究，則在文獻(xiàn)[4-5]中獲得了完全的結(jié)果；文獻(xiàn)[6-7]則從零因子和零因子圖的角度對高斯整數(shù)環(huán)的商環(huán)進(jìn)行了研究。

對于高斯整數(shù)環(huán)的商環(huán)Z[i]/〈γ〉，我們定義立方映射圖G(γ)，該映射圖的頂點為Z[i]/〈γ〉中的所有元素，并且，對于圖中的兩個頂點α和β，如果β=α3，則從α到β有一條有向邊。其中 G(γ)的每一個極大連通子圖叫做G(γ)的一個連通分支。顯然Z[i]/〈γ〉中的單位和零因子不可能位于同一連通分支，所以可以定義G(γ)的兩個子圖G1(γ)和G2(γ)，其中G1(γ)是由Z[i]/〈γ〉中所有單位組成的子圖，而G2(γ)是由Z[i]/〈γ〉中所有零因子組成的子圖。

在映射圖G(γ)中，若從頂點α到β有一條有向邊，則稱α為β的一個母點，而β則稱為α的衍生點。我們用符號 indeg(β)表示β的入度，即β的所有母點的個數(shù)。如果α3=α，則α稱為不動點。如果indeg(α)=1，則α稱為孤立不動點。一個連通分支上的點如果都在圈上，則稱這樣的連通分支為孤立圈。

一個圖稱為正則的當(dāng)且僅當(dāng)存在正整數(shù)d，使得圖中所有頂點的入度等于d。一個圖稱為半正則的當(dāng)且僅當(dāng)存在正整數(shù)d，使得圖中所有頂點的入度等于d或者0。在映射圖中，如果h是最小的非負(fù)整數(shù)使得β3h位于圈上，則稱頂點β的高度hβ為h。如果β是圈上的點，則hβ=0。

本文研究Z[i]/〈γ〉的立方映射圖G(γ)的結(jié)構(gòu)，包括G(γ)中不動點的個數(shù)、頂點0和1的入度、G(γ)的正則性以及任一個零因子頂點在G(γ)中的高度。推廣文獻(xiàn)[2-3]中的相關(guān)結(jié)論。

1 相關(guān)引理

注意到Z[i]中恰有4個單位，即±1、±i。如果μ是Z[i]的單位，那么Z[i]中的理想〈γ〉和〈μγ〉是相同的，所以Z[i]/〈γ〉=Z[i]/〈μγ〉。另外，如果α是Z[i]中的素元，則μα也是Z[i]的素元。并且，μα與α稱為是相伴元。

引理1(文獻(xiàn)[1]定理3)Z[i]中的素元是以下3種形式及其相伴元：

①p，且p是整數(shù)環(huán)Z的素數(shù)，p≡3(mod 4)。

②π=a+bi，且|π|2=a2+b2=q，q是整數(shù)環(huán)Z的素數(shù)，q≡1(mod 4)。

③α=1+i。

根據(jù)引理1，若γ∈Z[i]，則

其中：d、k、h、l為非負(fù)整數(shù)；tj及λs均為正整數(shù)；α=1+i；p1，…，ph是整數(shù)環(huán)Z中的互不相同的模4余3的素數(shù)；π1，…，πl(wèi)是Z[i]中互不相同的素元且|π1|2，…，|πl(wèi)|2是整數(shù)環(huán)Z中的模4余1的素數(shù)。

引理2(文獻(xiàn)[4]定理1) 令p、q、π和α是引理1中給定的元素，n為正整數(shù)，則Z[i]的商環(huán)的等價類為：

①Z[i]/〈pn〉={[a+bi]：0≤a≤pn-1，0≤b≤pn-1}；

②Z[i]/〈πn〉={[a]：0≤a≤qn-1}；

③Z[i]/〈α2m〉={[a+bi]：0≤a≤2m-1，0≤b≤2m-1}，m≥1；

④Z[i]/〈α2m+1〉={[a+bi]：0≤a≤2m+1-1，0≤b≤2m-1}，m≥0。

引理3(文獻(xiàn)[4]定理2) 令p、q、π和α是引理1中給定的元素，n為正整數(shù)。則：

①[a+bi]是Z[i]/〈pn〉中的單位當(dāng)且僅當(dāng)a和b至少有一個與p互素；

②[a]是Z[i]/〈πn〉中的單位當(dāng)且僅當(dāng)a與q互素；

文獻(xiàn)[4]確定了Z[i]的商環(huán)的單位群的結(jié)構(gòu)，該文獻(xiàn)例5指出：當(dāng)R=Z[i]/〈(1+i)5〉 時，U(R)≌Z2⊕Z2⊕Z4。事實上，這個結(jié)論是不正確的。因為，由引理2和3可知：

U(R)={1,3,5,7,i,3i，1+2i，2+i，2+3i，3+2i，4+i，4+3i，5+2i，6+i，6+3i，7+2i}。

在U(R)中，恰有4個元素的二次方等于1，即x2≡1(mod8)在U(R)中的解為x=1,3,5,7。而且U(R)中其余元素均為4階元。因此U(R)≌Z4⊕Z4。下面我們給出修定后的Z[i]的商環(huán)的單位群結(jié)構(gòu)。

引理4(文獻(xiàn)[4]定理3、4、5、6) 令p、q、π和α是引理1中給定的元素，n為正整數(shù)。則：

①U(Z[i]/〈α〉)≌Z1，U(Z[i]/〈α2〉)≌Z2，U(Z[i]/〈α3〉)≌Z4，U(Z[i]/〈α4〉)≌Z2⊕Z4，U(Z[i]/〈α5〉)≌Z4⊕Z4；

②U(Z[i]/〈α2m〉)≌Z2m-1⊕Z2m-2⊕Z4，m≥3；

③U(Z[i]/〈α2m+1〉)≌Z2m-1⊕Z2m-1⊕Z4，m≥3；

④U(Z[i]/〈pn〉)≌Zpn-1⊕Zpn-1⊕Zp2-1；

⑤U(Z[i]/〈πn〉)≌Zqn-qn-1。

下面的引理易證。

2 主要結(jié)論

定理1 令γ為式(1)中的形式，則對應(yīng)的立方映射圖G(γ)中不動點的個數(shù)L(γ)為：

證明 由引理5，只需分別求出γ是不同素元的方冪的情形時G(γ)不動點的個數(shù)即可。

①令γ=(1+i)k，容易算出L(1+i)=2，L((1+i)2)=3，L((1+i)3)=5，L((1+i)4)=5，L((1+i)5)=5。

接下來，令k≥6。首先假設(shè)k=2m，其中m≥3。這時〈γ〉=〈2m〉，從而Z[i]/〈(1+i)2m)〉≌Z[i]/〈2m〉。由文獻(xiàn)[2]定理 3.1得Z[i]/〈2m〉不動點個數(shù)L(2m)=9，m≥3。

其次，令k=2m+1，其中m≥3。令η=[x+yi]∈Z[i]/〈γ〉并且η3=η。若η是Z[i]/〈γ〉中的零因子，由于Z[i]/〈γ〉是局部環(huán)，所以η2-1是Z[i]/〈γ〉中的單位，因此η=0。若η是單位，則由η3=η，得η2=1。由引理2得：

x2-y2≡1(mod2m+1)，

(2)

2xy≡0(mod2m)。

(3)

由引理3可知，此時x與y的奇偶性不同。如果x為偶數(shù)而y為奇數(shù)，則由方程(3)知2m-1|x。由于m≥3，故2(m-1)-(m+1)=m-3≥0。從而由方程(2)得y2≡-1(mod2m+1)，但這個方程在m≥3時是無解的。故必有x為奇數(shù)而y為偶數(shù)，此時由方程(3)可知2m-1|y。從而由方程(2)得x2≡1(mod2m+1)，且此方程在m≥3時解數(shù)為4(文獻(xiàn)[8]191頁習(xí)題7)。又因為2m-1|y且0≤y≤2m-1，故y=0，2m-1。因此由同余式(2)、(3)構(gòu)成的方程組在m≥3且x與y不同時為0時恰有8個解。

所以，由上面討論可知k≥6時，L((1+i)k)=1+8=9。

②令γ=πμ，μ≥1，|π|2是整數(shù)環(huán)中模4余1的素數(shù)。由引理2可知，Z[i]/〈πμ〉≌Zqμ，這里|π|2=q。所以只需求出Zqμ中不動點個數(shù)即可。又因為Zqμ是局部環(huán)，所以若η是零因子，由η3=η可知η=0。若η是單位，由引理2，只需求出方程x2≡1(modqμ)解的個數(shù)即可。由引理6可知，x2≡1(modqμ) 的解數(shù)等于gcd(2，q-1)=2，因為q為奇素數(shù)。所以，L(πμ)=2+1=3。

③令γ=pe，e≥1，p是整數(shù)環(huán)中模4余3的素數(shù)。由文獻(xiàn)[2]定理3.1的討論過程知L(pe)=3。證畢。

由上述定理的證明過程我們可以直接得到γ=(1+i)k時G(γ)中的不動點。

推論1 若γ=(1+i)k，則G(γ)中的所有不動點組成的集合F為：

①k=1時，F(xiàn)={[0]，[1]}；

②k=2時，F(xiàn)={[0]，[1]，[i]}；

③k=3時，F(xiàn)={[0]，[1]，[3]，[i]，[2+i]}；

④k=4時，F(xiàn)={[0]，[1]，[3]，[1+2i]，[3+2i]}；

⑤k=5時，F(xiàn)={[0]，[1]，[3]，[5]，[7]}；

⑥k=2m且m≥3時，F(xiàn)={[x+yi]：x=1，2m-1，2m-1±1；y=0，2m-1}∪{[0]}；

⑦k=2m+1且m≥3時，F(xiàn)={[x+yi]：x=1，2m+1-1，2m±1；y=0，2m-1}∪{[0]}。

證明 由引理5，只需分別求出γ是一個素元的方冪的情形時單位元1的入度。

①令γ=(1+i)k，k≥1。易知η3=1當(dāng)且僅當(dāng)o(η)=1或3。根據(jù)引理4可知，3不能整除U(Z[i]/〈γ〉)的元素個數(shù)。因此indeg(1)=1。

②令γ=3w，若w=1，根據(jù)引理4，可以得到U(Z[i]/〈3〉)≌Z8。因此η3=1當(dāng)且僅當(dāng)η=[1]。故indeg(1)=1。若w≥2，因為在循環(huán)群Z3w-1中恰有3個元素的階是1或3，所以由引理4，indeg(1)=32。

③令γ=pe，e≥1，p為模4余3的素數(shù)且p≠3。由于p+1與p-1恰好有一個能被3整除，所以由引理4得indeg(1)=3。

④令γ=πμ，μ≥1，且|π|2=q為模4余1的素數(shù)。由引理2，要求G(γ)中頂點1的入度，只需求同余方程x3≡1(modqμ)解的個數(shù)。由引理6可知，上述方程的解數(shù)等于gcd(3，q-1)。注意到4|q-1，從而gcd(3，q-1)=3當(dāng)且僅當(dāng)3|q-1，當(dāng)且僅當(dāng)12|q-1。所以，當(dāng)q≡1(mod12)時，indeg(1)=3。當(dāng)q?1(mod12)即q≡5(mod12) 時，indeg(1)=1。證畢。

證明 由引理5，求0在G(γ)的入度，可以分別求出γ是一個素元的方冪的情形時0的入度。

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

2n‖a， 2n‖b

(9)

時，η3=0。易知滿足條件(9)的η共有2m+1-n-1×2m-n-1=24n-1個。

當(dāng)u>v時，則t=v

(10)

(11)

2n+1|a， 2n‖b

(12)

時，η3=0。易知滿足條件(12)的η共有2m+1-n-1×2m-n-1=24n-1個。

最后，假設(shè)u

定理4 令γ為Z[i]中的非零元，則：

證明 頂點1、0是G(γ)中的孤立不動點，當(dāng)且僅當(dāng)indeg(1)=indeg(0)=1，根據(jù)定理2和定理3直接計算便可證明定理。證畢。

定理5 令γ為Z[i]中的非零元，則：

證明 ①在映射圖G1(γ)中，入度大于0的任意頂點的入度等于單位元1的入度。而當(dāng)indeg(1)=1時，G1(γ)中不存在入度為0的頂點。所以indeg(1)=1時，G1(γ)中所有頂點的入度都等于1，即G1(γ)的每一個連通分支恰好是孤立圈。由定理4即可證明結(jié)論成立。

定理6 令γ為Z[i]中的非零元，則：

①G1(γ)中不包含長度大于1的圈當(dāng)且僅當(dāng)γ=1+i或者(1+i)2；

②G2(γ)中不包含長度大于1的圈當(dāng)且僅當(dāng)γ=Pk，k≥1，P是Z[i]中的任意一個素元。

證明 ①令γ=(1+i)k，k≥1。當(dāng)k=1，2 時，直接驗證可知G1(γ)僅包含長度為1的圈。若k>2，由于i為Z[i]/〈γ〉的單位，i3=-i≠i，且i9=i，因此i→i3→i構(gòu)成一個長為2的圈。

令γ=pt，p是整數(shù)環(huán)中的素數(shù)且p≡3(mod4)，t≥1。同理可知i→i3→i是G1(pt)中長為2的圈。

令γ=πn，|π|2=q是整數(shù)環(huán)中模4余1的素數(shù)，n≥1。根據(jù)引理4，U(Z[i]/〈πn〉)≌Zqn-qn-1，這是一個循環(huán)群。令這個循環(huán)群的生成元為g，則o(g)=qn-qn-1=qn-1(q-1)。由于q≡1(mod4)，故4|q-1。令d=gqn-1(q-1)/4，則o(d)=4，d3≠d，d9=d。從而d→d3→d是G1(πn) 中長為2的圈。

所以，由以上討論可知，當(dāng)γ為Z[i]中的素元的方冪時，G1(γ)不包含長度大于1的圈當(dāng)且僅當(dāng)γ=1+i或者(1+i)2。當(dāng)γ為Z[i]中一些素元的積時，由引理5可得結(jié)論成立。

②一方面，我們證明當(dāng)γ是至少兩個不同的素元的乘積時，G2(γ)中必然包含長度大于1的圈。

假設(shè)γ1=(1+i)kP1，P1是Z[i]中的若干素元的乘積，且P1與1+i不是相伴元，k>2。由中國剩余定理可知，存在η1∈Z[i]，使得η1≡i(mod(1+i)k)且η1≡0(modP1)。則η1是Z[i]/〈γ1〉中的零因子。由于i位于G1((1+i)k)的2-圈上，所以η1位于G2(γ1)的2-圈上。

假設(shè)γ2=(1+i)kP2，P2是整數(shù)環(huán)中的若干個模4余3的素數(shù)的乘積，k=1，2。由中國剩余定理可知，存在η2∈Z[i]，使得η2≡0(mod(1+i)k)且η2≡i(modP2)。則η2是Z[i]/〈γ2〉中的零因子。由于i位于G1(P2)的2-圈上，所以η2位于G2(γ2)的2-圈上。

另一方面，當(dāng)γ為Z[i]中的某個素元的方冪時，由于Z[i]/〈γ〉為局部環(huán)，所以G2(γ)只有一個分支，頂點0是G2(γ)中唯一的位于圈上的點。所以G2(γ)中不包含長度大于1的圈。證畢。

易知，G1(γ)中每個頂點的入度或者等于頂點1的入度，或者等于0，故G1(γ)總是正則圖或半正則圖。但對于G2(γ)而言，其半正則性比較復(fù)雜。下面，我們討論G2(γ)的半正則性。

定理7 設(shè)α、p、q與π為引理1中給定的元素，令k為正整數(shù)。則：

①G2((1+i)k)是半正則的當(dāng)且僅當(dāng)k<5；

②G2(pk)是半正則的當(dāng)且僅當(dāng)k=1，2，3且p≡7(mod12)，或者k=1，2，3，4且p≡11(mod12)；

③G2(πk)是半正則的當(dāng)且僅當(dāng)k=1，2，3且q≡1(mod12)，或者k=1，2，3，4且q≡5(mod12)，這里|π|2=q。

證明 ①當(dāng)k=1時，G2(1+i)只有一個頂點。當(dāng)0

下面令k=2m+1，m≥3。設(shè)β=(1+i)3=-2+2i，則β在G2((1+i)k)中的入度大于0。假設(shè)η=[a+bi]∈Z[i]/〈(1+i)k〉且滿足η3=β，這里0≤a≤2m+1-1，0≤b≤2m-1。則有以下同余方程成立：

a3-3ab2≡-2(mod2m+1)，

(13)

3a2b-b3≡2(mod2m)。

(14)

由同余式(13)和(14)可知，a與b均為奇數(shù)。又，由同余式(13)可得：

a3-3ab2≡-2(mod2m)。

(15)

因此，根據(jù)式(14)和式(15)即有：

a4-b4≡2(b-a)(mod2m)。

由于m≥3，故3m-3≥m+1，2m-2≥m+1。因此，以上同余式可化為2md2≡0(mod2m+1)。所以，2|d2。但由于0≤b≤2m-1，故可得b=1。同理，將a=2m-1d1+1和b=2m-1d2+1代入同余式(14)，得：2md1≡0(mod2m)，則可知d1為任意整數(shù)。又由于0≤a≤2m+1-1，因此，d1=0，1，2，3。所以，由同余式(13)和(14)組成的方程組的解數(shù)為4。也就是說，η3=(1+i)3當(dāng)且僅當(dāng)η=[1+i]，[1+2m-1+i]，[1+2·2m-1+i]，[1+3·2m-1+i]。即，當(dāng)k=2m+1且m≥3時，indeg((1+i)3)=4。但是根據(jù)引理3，此時indeg(0)=8。因此，G2((1+i)k)不是半正則的。

②由于Z[i]/〈pk〉≌Zpk[i]，因此由文獻(xiàn)[2]定理4.2即得。

③由于Z[i]/〈πk〉≌Zqk，因此由文獻(xiàn)[9]定理3.7即得。證畢。

最后，我們研究映射圖G(γ)的零因子頂點的高度。由于文獻(xiàn)[3]定理3.5、3.6已分別給出G2(2k)和G2(pk)的頂點的高度，這里p是整數(shù)環(huán)中模4余3的素數(shù)，因此，我們主要討論γ=(1+i)k且k為奇數(shù)的情況。

定理8 令η=[a+bi]是Z[i]/〈(1+i)k〉的零因子，k≥1。設(shè)2u‖a，2v‖b，u，v≥0，t=min{u，v}。則η在G((1+i)k)中的高度為：

證明 因為Z[i]/〈(1+i)2m〉≌Z2m[i]，由文獻(xiàn)[3]定理3.5，可得①的結(jié)論成立。下面當(dāng)k=2m+1時證明結(jié)論②。

2t·3jaj≡0(mod2m+1)，

(16)

2t·3jbj≡0(mod2m)。

(17)

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(責(zé)任編輯 黃 勇)

Cubic Mapping Graphs on the Quotient Rings of the Gaussian Integer Rings of Modulon

WEI Yangjiang， LIANG Yiyao， TANG Gaohua，SU Leilei，CHEN Weining

(School of Mathematical and Statistics Sciences, Guangxi Teachers Education University, Nanning Guangxi 530023, China)

LetZ[i]be the ring of Gaussian integers，γ∈Z[i]. Let 〈γ〉 denote the ideal ofZ[i] generated byγ. The cubic mapping graph G(γ) over the quotient ringZ[i]/〈γ〉 is a digraph，where the vertices of G(γ) are the elements ofZ[i]/〈γ〉， and there is a directed edge fromαtoβifβ=α3. In this paper， the structure of G(γ) is investigated. The numbers of the fixed points and the in-degree of the vertices 0 and 1 are obtained. Moreover， the semiregularity of the graph G(γ) is characterized. Finally，the height in G(γ) of an arbitrary zero-divisor is determined.

Gaussian integers; cubic mapping graph; in-degree; cycles; semiregular

10.16088/j.issn.1001-6600.2016.03.008

2016-03-03

國家自然科學(xué)基金資助項目(11461010，11661014)； 廣西自然科學(xué)基金資助項目(2014GXNSFAA118005)；廣西科學(xué)研究與技術(shù)開發(fā)項目(桂科合1599005-2-13)；廣西高?？茖W(xué)技術(shù)研究項目(KY2015ZD075)

唐高華(1965—)，男，廣西灌陽人，廣西師范學(xué)院教授，博士，博士生導(dǎo)師。E-mail: tanggaohua@163.com

O153.3，O157.5

A

1001-6600(2016)03-0053-09