基于蒙特卡洛方法的燃?xì)庹羝桨l(fā)射裝置內(nèi)彈道參數(shù)分析方法①

常書麗，呂 翔，王彥濤，李鵬永

(1.中國船舶重工集團(tuán)713所，鄭州 450015；2.西北工業(yè)大學(xué) 燃燒、熱結(jié)構(gòu)與內(nèi)流場重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072)

基于蒙特卡洛方法的燃?xì)庹羝桨l(fā)射裝置內(nèi)彈道參數(shù)分析方法①

常書麗1，呂 翔2，王彥濤1，李鵬永1

(1.中國船舶重工集團(tuán)713所，鄭州 450015；2.西北工業(yè)大學(xué) 燃燒、熱結(jié)構(gòu)與內(nèi)流場重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072)

利用蒙特卡洛隨機(jī)分析方法，對燃?xì)庹羝桨l(fā)射裝置內(nèi)彈道參數(shù)的隨機(jī)分布特性進(jìn)行了研究。在大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，提出了采用統(tǒng)計(jì)方式對模型進(jìn)行一致性檢驗(yàn)來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的模型校驗(yàn)方法。結(jié)果表明，所采用的內(nèi)彈道計(jì)算模型在置信度γ= 0.95下是可信的。內(nèi)彈道隨機(jī)分析結(jié)果表明，在現(xiàn)有狀態(tài)下，導(dǎo)彈出筒速度的精度范圍無法滿足±2 m/s(概率為0.997 4)的設(shè)計(jì)指標(biāo)要求。根據(jù)參數(shù)敏感性分析結(jié)果，提出了通過控制裝藥出廠燃速、裝藥初溫和冷卻水溫的隨機(jī)分布規(guī)律來保證出筒速度滿足設(shè)計(jì)要求的改進(jìn)方案。

水下發(fā)射；發(fā)射動力；內(nèi)彈道；蒙特卡洛法；靈敏度

0 引言

潛載導(dǎo)彈水下發(fā)射裝置通常采用燃?xì)庹羝桨l(fā)射動力裝置。潛載導(dǎo)彈水下發(fā)射動力裝置點(diǎn)火，產(chǎn)生高溫高壓氣體，將導(dǎo)彈以一定速度彈射出發(fā)射筒。該裝置工作穩(wěn)定可靠，且不占用發(fā)射筒底空間，已得到了廣泛應(yīng)用。趙險(xiǎn)峰、李咸海等假設(shè)發(fā)射筒內(nèi)工質(zhì)氣體為凍結(jié)流，不考慮氣體組分的變化，運(yùn)用質(zhì)量、能量等守恒定律以及氣體狀態(tài)方程、導(dǎo)彈運(yùn)動方程等，對發(fā)射筒內(nèi)做工的工質(zhì)氣體進(jìn)行分析，建立了發(fā)射筒內(nèi)彈道的理論計(jì)算模型，對導(dǎo)彈的運(yùn)動過程進(jìn)行描述[1-4]；都軍民等提出了采用蒙特卡洛方法對內(nèi)彈道參數(shù)的分布進(jìn)行分析[5]；趙世平、肖虎斌等應(yīng)用CFD技術(shù)對發(fā)射動力裝置工作過程進(jìn)行流場數(shù)值模擬[6-8]；國外Edquist C T等[9-10]采用質(zhì)量、能量等各種守恒定律、氣體狀態(tài)方程、導(dǎo)彈運(yùn)動方程等，在發(fā)射筒內(nèi)氣體分別為凍結(jié)流和化學(xué)平衡氣體兩種情況下，建立了彈射過程筒內(nèi)彈道數(shù)學(xué)模型，對筒內(nèi)氣體的熱力過程和導(dǎo)彈運(yùn)動規(guī)律進(jìn)行了較全面的分析。

在進(jìn)行型號設(shè)計(jì)時(shí)，導(dǎo)彈總體通常要求發(fā)射裝置工作的導(dǎo)彈出筒速度、導(dǎo)彈運(yùn)動加速度、發(fā)射筒內(nèi)壓力、發(fā)射筒內(nèi)溫度等參數(shù)滿足特定的指標(biāo)要求。內(nèi)彈道預(yù)示就是采用理論分析的方式，根據(jù)特定的初始條件和設(shè)計(jì)的工作狀態(tài)，對導(dǎo)彈筒內(nèi)運(yùn)動過程進(jìn)行計(jì)算，獲得導(dǎo)彈運(yùn)動參數(shù)，以判定所設(shè)計(jì)的工作狀態(tài)能否滿足指標(biāo)要求。

導(dǎo)彈水下發(fā)射是一個(gè)復(fù)雜的物理化學(xué)過程，內(nèi)彈道理論預(yù)示與實(shí)際結(jié)果必然存在一定差異。實(shí)踐表明，同一型號、同一批次發(fā)射動力裝置，在相同試驗(yàn)條件下的內(nèi)彈道參數(shù)呈隨機(jī)性散布。顯然，內(nèi)彈道預(yù)示存在一定的預(yù)示偏差。對于預(yù)示偏差的確定，傳統(tǒng)處理方法是將所有影響因素同時(shí)取上極限確定上偏差，將所有影響因素同時(shí)取下極限確定下偏差。所有影響因素同時(shí)走極限值，在實(shí)際發(fā)射過程中是一個(gè)小概率事件。因此，這種確定預(yù)示偏差的方法趨于保守。

本文通過收集大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，研究內(nèi)彈道影響因素的分布規(guī)律，采用蒙特卡洛的方法，對各內(nèi)彈道影響因素進(jìn)行大量的隨機(jī)抽樣，求解出內(nèi)彈道參數(shù)的分布特性，以概率統(tǒng)計(jì)方式對內(nèi)彈道參數(shù)進(jìn)行分析。

1 發(fā)射裝置內(nèi)彈道計(jì)算模型

1.1 發(fā)射裝置基本工作原理

燃?xì)庹羝桨l(fā)射裝置主要由燃?xì)獍l(fā)生器、冷卻器、彎管、發(fā)射筒等部分組成，如圖1所示。導(dǎo)彈水下發(fā)射時(shí)，點(diǎn)火保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)點(diǎn)火，燃?xì)獍l(fā)生器內(nèi)藥柱燃燒產(chǎn)生高溫高壓燃?xì)猓細(xì)饨?jīng)過分流管的分流在冷卻器內(nèi)噴水管內(nèi)外形成噴水壓差，將冷卻水經(jīng)過噴水孔噴入噴水區(qū)[5]。在噴水區(qū)內(nèi)冷卻水與高溫高壓燃?xì)獍l(fā)生劇烈摻混，水吸熱汽化，達(dá)到降溫和調(diào)能的目的。摻混后的混合氣體經(jīng)過動力彎管流入發(fā)射筒底，在筒底建立壓力推動導(dǎo)彈做功，將導(dǎo)彈彈射出去。

圖1 燃?xì)庹羝桨l(fā)射裝置結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Layout of combustion gas-steam launching system

1.2 內(nèi)彈道計(jì)算模型

由于發(fā)射裝置工作過程復(fù)雜，影響因素眾多，在理論分析時(shí)，將發(fā)射裝置工作過程進(jìn)行簡化，抓住關(guān)鍵環(huán)節(jié)，建立了發(fā)射裝置工作過程的主要控制方程組。

燃?xì)獍l(fā)生器內(nèi)部壓力計(jì)算方程為

(1)

式中pc為燃?xì)獍l(fā)生器壓力；ρp為藥柱密度；u0為藥柱出廠燃速，即溫度T0、壓力p0下的燃速；αT為藥柱溫度敏感系數(shù)；Ta為藥柱初溫；C*為藥柱特征速度；Ab為燃面；At為噴管橫截面積；ν為藥柱壓強(qiáng)指數(shù)。

通過燃?xì)獍l(fā)生器喉部流出的燃?xì)赓|(zhì)量為

(2)

冷卻器內(nèi)部包含了高溫高壓燃?xì)馔牧髁鲃印⒗鋮s水噴注、水與燃?xì)鈸交祆F化等復(fù)雜的傳熱和相變等過程，具體過程已不能用控制方程描述，但通過小孔流量關(guān)系，可計(jì)算出通過冷卻器噴注與燃?xì)鈸交斓乃俊?/p>

(3)

式中μ為流量系數(shù)；s1噴水孔橫截面積；g為重力加速度；ρ為水的密度；λ為噴水壓差系數(shù)。

能量守恒方程為

(4)

式中XemgCvgTvg為燃?xì)獬跏寄芰?；m1C1T1為冷卻水的初始能量；mrCvrTr為筒底空氣初始能量；U2為發(fā)射筒內(nèi)混合氣體內(nèi)能。

氣體狀態(tài)方程為

(5)

式中pt為發(fā)射筒內(nèi)壓力；Tt為發(fā)射筒內(nèi)溫度；Rg、Rr分別為燃?xì)夂涂諝獾臍怏w常數(shù)；mg、mr分別為燃?xì)夂涂諝獾馁|(zhì)量；l0為初始容積當(dāng)量長度；l為導(dǎo)彈運(yùn)動位移；p1為水蒸氣的分壓。

導(dǎo)彈運(yùn)動方程為

Ma=ptSt-F+Fx

(6)

F= Mg+Fz+f·ptSt+p0St+ρg(HSt-lSm)+

(7)

式中Fx為產(chǎn)氣裝置推力；Fz為摩擦力；f為氣密環(huán)相關(guān)參數(shù)；Cx為流體阻力系數(shù)；φ為附加質(zhì)量系數(shù)。

1.3 模型檢驗(yàn)

(8)

式中δδ為δ的樣本偏差；tα/2(n-1)為t分布的α/2分位點(diǎn)。

搜集14發(fā)燃?xì)庹羝桨l(fā)射裝置大型試驗(yàn)數(shù)據(jù)，模型計(jì)算的導(dǎo)彈出筒速度誤差情況見表1，其他內(nèi)彈道參數(shù)計(jì)算誤差統(tǒng)計(jì)情況見表2。

表1 內(nèi)彈道參數(shù)的計(jì)算誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 1 The calculational error of the velocity

表2 內(nèi)彈道參數(shù)的計(jì)算誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 2 The calculational error of the interior ballistics parameter

在顯著水平α=0.05(置信度γ= 0.95)下，查雙側(cè)置信區(qū)間t分布表得

tα/2(n-1)=2.364 6

顯然，對于導(dǎo)彈出筒速度、導(dǎo)彈運(yùn)動最大加速度、筒內(nèi)最大壓力、筒內(nèi)最高溫度均有|t|

2 發(fā)射動力裝置內(nèi)彈道隨機(jī)分析方法

2.1 參數(shù)分布規(guī)律

潛載導(dǎo)彈水下發(fā)射過程中，影響內(nèi)彈道預(yù)示的因素主要有藥柱燃速、初溫、噴水孔數(shù)、噴水壓差系數(shù)、冷卻水初溫、發(fā)射深度、導(dǎo)彈重量、氣密環(huán)摩擦系數(shù)、導(dǎo)彈發(fā)射摩擦力、彈底部空氣初溫、導(dǎo)彈流體阻力系數(shù)、產(chǎn)氣裝置推力等。

表3 正態(tài)分布各因素的取值范圍Table 3 Value scope of the effect factors

2.2 蒙特卡洛分析方法

蒙特卡洛(Monte Carlo)方法又稱為隨機(jī)模擬方法(Random simulation)，是一類通過隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)(或者隨機(jī)模擬)，求解數(shù)學(xué)、工程技術(shù)問題近似解的數(shù)值方法[13-14]。采用蒙特卡洛法，對燃?xì)庹羝桨l(fā)射裝置內(nèi)彈道參數(shù)分析的流程圖見圖2。

仿真時(shí)，首先將所有影響因素在其取值范圍內(nèi)按照各自的分布規(guī)律，進(jìn)行初始參數(shù)的隨機(jī)抽樣，根據(jù)燃?xì)獍l(fā)生器參數(shù)抽樣結(jié)果，進(jìn)行燃?xì)獍l(fā)生器內(nèi)彈道計(jì)算，獲取pc-t曲線；再根據(jù)冷卻器相關(guān)參數(shù)抽樣結(jié)果，結(jié)合燃?xì)獍l(fā)生器pc-t進(jìn)行冷卻器的相關(guān)計(jì)算；最后，將所有參數(shù)匯總運(yùn)用內(nèi)彈道隨機(jī)函數(shù)，進(jìn)行發(fā)射筒內(nèi)彈道計(jì)算。

圖2 內(nèi)彈道參數(shù)蒙特卡洛分析方法Fig.2 Method of analysis combustion gas-steam launching power equipment with Monte-Carlo

2.3 仿真次數(shù)的選擇

采用蒙特卡洛法進(jìn)行隨機(jī)分析時(shí)，抽樣數(shù)量的選擇可借鑒可靠性評估的相關(guān)理論，燃?xì)庹羝桨l(fā)射裝置可靠性評估時(shí)，將系統(tǒng)等效成成敗型數(shù)據(jù)，成敗型單元在給定置信度γ下，其可靠度的置信下限RLc為

(9)

式中f=N-s；N為試驗(yàn)成功數(shù)；f為試驗(yàn)失敗數(shù)。

特殊地，如果單元的可靠性試驗(yàn)數(shù)據(jù)中的失敗次數(shù)f=0，則其可靠度置信下限為

(10)

根據(jù)搜集到的數(shù)據(jù)，燃?xì)庹羝桨l(fā)射裝置在已經(jīng)進(jìn)行的試驗(yàn)中失敗次數(shù)為0，這樣仿真次數(shù)的選擇可借鑒f=0時(shí)的置信下限表達(dá)式，推導(dǎo)出仿真次數(shù)N=lg(1-γ)/lg(RLc)，在置信度γ=0.95、可靠度的置信下限RLc取3σ(0.997 4)時(shí)，計(jì)算得到仿真次數(shù)N=1 151，本文取N=1 200。

3 結(jié)果分析

3.1 仿真結(jié)果正態(tài)分布檢驗(yàn)

對1 200組內(nèi)彈道參數(shù)仿真結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果見表4。對內(nèi)彈道參數(shù)仿真結(jié)果繪制直方圖，如圖3～圖6所示。

由以上各參數(shù)直方圖初步判斷導(dǎo)彈出筒速度Ve、導(dǎo)彈運(yùn)動最大加速度amax、發(fā)射筒內(nèi)最大壓力pt max、發(fā)射筒內(nèi)最高溫度Tt max4個(gè)內(nèi)彈道參數(shù)均屬于正態(tài)分布。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步運(yùn)用正態(tài)分布的擬合優(yōu)度測試，對各參數(shù)進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果見表5。結(jié)果表明，Ve、amax、pt max、Tt max均服從正態(tài)分布。

表4 內(nèi)彈道參數(shù)仿真結(jié)果均值和方差統(tǒng)計(jì)Table 4 Simulations of the interior ballistics parameter

圖3 導(dǎo)彈出筒速度仿真結(jié)果直方圖Fig.3 Histogram of velocity

圖4 導(dǎo)彈運(yùn)動最大加速度仿真結(jié)果直方圖Fig.4 Histogram of the max acceleration

圖5 發(fā)射筒內(nèi)最大壓力仿真結(jié)果直方圖Fig.5 Histogram of the max pressure

圖6 發(fā)射筒內(nèi)最高溫度仿真結(jié)果直方圖Fig.6 Histogram of the max temperature表5 內(nèi)彈道參數(shù)的正態(tài)分布檢驗(yàn)特征值Table 5 Normal distribution test values of the interior ballistics parameters

3.2 各參數(shù)滿足指標(biāo)情況分析

基于以上統(tǒng)計(jì)的內(nèi)彈道參數(shù)值的分布規(guī)律，通過計(jì)算和查正態(tài)分布表，獲得導(dǎo)彈出筒速度偏差分別控制在±6、±5、±4、±3、±2 m/s的概率，見表6；最大加速度、壓力、溫度滿足要求的概率見表7。

表6 導(dǎo)彈出筒速度滿足指標(biāo)的概率Table 6 Probabilities of the velocity satisfied design target

表7 加速度、壓力、溫度滿足指標(biāo)的概率Table 7 Probabilities of the max acceleration, pressure and temperature satisfied design target

依據(jù)正態(tài)分布3σ原理，導(dǎo)彈總體通常要求發(fā)射裝置的預(yù)示結(jié)果應(yīng)滿足3σ(0.997 4)的概率要求。由表6和表7可看出，amax、pt max和Tt max參數(shù)滿足指標(biāo)的概率較高，而Ve滿足±2 m/s的概率為0.876 95，達(dá)不到3σ的指標(biāo)要求，因此導(dǎo)彈出筒速度滿足指標(biāo)情況成為內(nèi)彈道參數(shù)滿足指標(biāo)的關(guān)鍵。

3.3 內(nèi)彈道影響因素敏感性分析

為了提高導(dǎo)彈出筒速度的精度，需要較精確地控制對內(nèi)彈道影響較大的參數(shù)。因此，需要開展內(nèi)彈道影響因素的靈敏度分析[15-16]。由于在導(dǎo)彈總體參數(shù)已定的情況下，發(fā)射深度、導(dǎo)彈質(zhì)量等是不可變因素，靈敏度分析時(shí)，只針對發(fā)射裝置可控制的藥柱燃速、藥柱初溫、冷卻水溫等參數(shù)進(jìn)行。表8給出了出筒速度對各個(gè)參數(shù)的敏感性計(jì)算結(jié)果。表8中，各參數(shù)含義同表3。

表8 出筒速度對各因素變化的敏感性Table 8 Sensitivity of the velocity to effect factors

從表8可看出，對導(dǎo)彈出筒速度影響顯著的因素主要為u0、λ、Ta、T1等。其中，u0波動對內(nèi)彈道參數(shù)影響最為顯著。由于λ的精度主要受機(jī)械加工精度和計(jì)量精度的影響，而目前這兩者的精度已經(jīng)較高。因此，需要從控制u0、Ta和T1的波動范圍入手。

為了便于統(tǒng)一計(jì)算，可將T1=5～25 ℃的波動范圍看作(15±10)℃，令σT1=10 ℃，則出筒速度的σVe值變化量可寫成

(11)

式中αu0、αTa、αT1分別為出筒速度對u0、Ta、T1的敏感系數(shù)。

根據(jù)表8可知，αu0=1.04；αTa=0.31；αT1=0.29。

為了使導(dǎo)彈出筒速度預(yù)示值不超出(45±2)m/s的概率滿足3σ的指標(biāo)要求，即

≥0.997 4

(12)

則據(jù)式(12)計(jì)算得到出筒速度的σVe值，必須滿足σVe≤0.55。因此，通過控制各個(gè)影響因素，使σVe的變化量滿足ΔσVe≥1.217 3-0.55=0.667 3時(shí)，方可保證出筒速度滿足3σ要求。

通過仔細(xì)分析各個(gè)參數(shù)精度的可控范圍，取Δσu0=50%、ΔσTa=33%、ΔσT1=50%，即將σu0由2 mm/s控制在1 mm/s以內(nèi)，將藥柱初溫的σTa由3 ℃控制在2 ℃，同時(shí)將冷卻水溫的σT1由10 ℃控制在5 ℃以內(nèi)，計(jì)算得ΔσVe=0.767 3，導(dǎo)彈出筒速度滿足±2 m/s的概率為0.998 576，滿足3σ的概率要求。

4 結(jié)論

(1)針對建立的燃?xì)庹羝桨l(fā)射裝置內(nèi)彈道計(jì)算模型，在大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，利用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法對模型進(jìn)行了一致性檢驗(yàn)。結(jié)果表明，模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)實(shí)測結(jié)果在置信度γ=0.95下是可信的。

(2)基于蒙特卡洛方法，建立了燃?xì)庹羝桨l(fā)射裝置內(nèi)彈道隨機(jī)分析方法。內(nèi)彈道隨機(jī)分析結(jié)果表明，在現(xiàn)有設(shè)計(jì)方案下，導(dǎo)彈在發(fā)射筒內(nèi)最大加速度、發(fā)射筒內(nèi)最大壓力和最高溫度均滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)要求，而導(dǎo)彈出筒速度無法滿足要求。

(3)敏感性分析結(jié)果表明，對導(dǎo)彈出筒速度影響顯著的因素主要為裝藥出廠燃速、噴水壓差系數(shù)、藥柱初溫和冷卻水溫等。根據(jù)敏感性分析結(jié)果，提出了通過控制裝藥出廠燃速、藥柱初溫和冷卻水溫，來提高內(nèi)彈道預(yù)示精度的方法。

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(編輯：崔賢彬)

Interior ballistics parameters analysis about combustion gas-steam launching equipment with Monte-Carlo method

CHANG Shu-li1，LV Xiang2, WANG Yan-tao1，LI Peng-yong1

(1.No.713 Institute，China Shipbuilding Industry Corporation，Zhengzhou 450015，China；2.Science and Technology on Combustion, Internal Flow and Thermal-structure Laboratory，Northwestern Polytechnical Univ., Xi'an 710072，China)

The stochastic distribution of the interior ballistics parameters proposed of the combustion gas-steam launching equipment was studied with Monte-Carlo method. The statistical method was to test the interior ballistics trajectory mode instead of the traditional tect method based on lots of experiment data. The results show that the interior ballistics trajectory mode is believable onγ=0.95. Random analysis shows that the velocity precision can't satisfy the target about ±2m/s (probability was 0.997 4) at present condition. The impoved scheme of ensuring the velocity precision satisfy the target through controlling the stochastic distribution of the burning velocity of the grain, the initial temperature of the grain and the temperature of cooling water was proposed on the basis of the parameters sensitivity analysis.

under water launch；launch power；interior ballistics；Monte Carlo method；sensitivity

2015-07-15；

2015-10-21。

常書麗(1983—)，女，工程師，研究方向?yàn)闈撦d導(dǎo)彈水下發(fā)射技術(shù)。E-mail:csl831024@163.com

V438

A

1006-2793(2016)06-0857-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2016.06.021