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    采用剛體運動學(xué)的結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析解析方法

    2022-05-11 07:19:48李霞周克民
    關(guān)鍵詞:約束方程剛體結(jié)點

    李霞,周克民

    (華僑大學(xué) 土木工程學(xué)院,福建 廈門 361021)

    結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析是結(jié)構(gòu)分析和優(yōu)化的重要基礎(chǔ)[1-5],特別是桁架[3-5]、張弦結(jié)構(gòu)[6]、網(wǎng)架結(jié)構(gòu)[7]及折疊結(jié)構(gòu)[8]等工程結(jié)構(gòu)設(shè)計經(jīng)常需要進行幾何構(gòu)造分析.目前,幾何構(gòu)造分析以幾何方法為主,靜力法等作為補充.對于簡單結(jié)構(gòu),幾何方法較為直觀且容易理解和操作.然而,幾何方法無法解決許多實際復(fù)雜結(jié)構(gòu),僅限于平面結(jié)構(gòu)體系[9-10].文獻[11-14]從矩陣位移法出發(fā),提出的解析方法更具一般性,但其僅適用于桁架和剛架等桿系結(jié)構(gòu),任意形狀的剛體則需要轉(zhuǎn)化為沒有多余約束的幾何不變的等效桁架結(jié)構(gòu),但對于形狀復(fù)雜或與周圍連接較復(fù)雜的剛體,這種轉(zhuǎn)化并不容易.張速等[15]提出幾何作圖法.舒開鷗等[16]根據(jù)運動學(xué)推導(dǎo)了一些性質(zhì),對幾何分析有一定的幫助.徐子善[17]提出用齊次坐標(biāo)分析平行鏈桿約束.然而,以上方法都無法擴展應(yīng)用的范圍.

    必要約束和多余約束可以有許多組合.對于含有多余約束的結(jié)構(gòu)系統(tǒng),認定多余約束的方法并不唯一.對于缺少必要約束的結(jié)構(gòu)系統(tǒng),補充必要約束的方法也不唯一.目前,各種分析方法都無法找出所有可能的多余約束,也不能確定所有可以補充必要約束的約束形式.基于此,本文提出一種基于運動學(xué)的結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析解析方法.

    1 位置和約束分析

    1.1 位置的表示方法

    (1)

    1.2 約束的向量表達式

    約束包括鏈桿約束和鉸約束.連接剛體1上的點i和剛體2上的點j的鏈桿約束為

    (2)

    式(2)中:n為點i,j之間的鏈桿方向向量.

    剛體1,2在點j的鉸約束為

    (3)

    如果剛體2上的點j沿n方向有另一點k,在同一個剛體上兩點之間的長度不變,則有

    (4)

    聯(lián)立式(2),(4),可得

    (5)

    比較式(2),(5)可知,鏈桿約束可以在剛體上沿約束向量方向等效移動,該移動必須在同一個剛體上(式(4)成立的條件),這類似于力在剛體上沿力的作用線方向靜力等效移動的性質(zhì),故將此性質(zhì)稱為“鏈桿約束在剛體上的等效移動”.

    1.3 約束的矩陣表達式

    假設(shè)系統(tǒng)有N個自由度,用向量X表示;系統(tǒng)有M個約束,用約束方程表示為

    qjX=0,j=1,2,…,M.

    (6)

    式(6)中:qj為約束向量,約束向量與約束嚴格一一對應(yīng).

    定義約束方程系數(shù)矩陣Q為

    (7)

    將所有約束統(tǒng)一寫成約束方程,即

    QX=0.

    (8)

    1.4 約束方程系數(shù)矩陣的性質(zhì)

    對于幾何不變體系,所有位移為零.因此,幾何不變體系的式(8)僅有零解.約束方程系數(shù)矩陣的秩R=rank(Q)為必要約束數(shù)量,L=M-R>0,L為多余約束的數(shù)量.根據(jù)線性代數(shù)理論,式(8)僅有零解的充要條件是R=N.如果F=N-R>0,則系統(tǒng)有F個未約束的自由度.

    (9)

    式(9)中:pi,j是矩陣P的分量,即約束{qj,j∈Sb}線性相關(guān),所以必然含有多余約束.

    這些性質(zhì)同樣適用于平面問題和空間問題.簡單起見,以平面問題為例進行敘述.

    上述是基于體系瞬時狀態(tài)的無限小位移運動分析,無法區(qū)分幾何瞬變體和幾何常變體,研究常變狀態(tài)需要建立一般位置的運動方程.

    2 應(yīng)用算例

    例1分析桁架結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造.

    解法1:例1結(jié)構(gòu)(解法1),如圖1所示.圖1中:1~3為研究對象(此處表示結(jié)點);x,y為坐標(biāo)系;括號中的數(shù)字為約束編號;圖中尺寸均無量綱,下同.

    圖1 例1結(jié)構(gòu)(解法1)

    以結(jié)點為研究對象,共3個結(jié)點,作為平面問題,共6個自由度(N=6),6個約束(M=6).

    約束方程為

    (10)

    式(10)中:v1~v3為位移的豎直分量;u1~u3為位移的水平分量.

    約束方程的矩陣形式為

    (11)

    約束方程系數(shù)矩陣的秩R=5,系統(tǒng)有1個多余約束(M-R=1),1個未約束的自由度(N-R=1).

    約束方程系數(shù)矩陣經(jīng)行初等變換后,可得

    (12)

    式(12)第6行為

    3q1-4q2+q3+q5-3q6=0,

    (13)

    即約束(1),(2),(3),(5),(6)中任意1個約束都可以作為多余約束,因為q4與其他變量線性無關(guān),所以約束(4)是必要約束.

    解法2:例1結(jié)構(gòu)(解法2),如圖2所示.

    圖2 例1結(jié)構(gòu)(解法2)

    以結(jié)點1~3構(gòu)成的三角桁架(1個剛體)為研究對象,系統(tǒng)有3個自由度(N=3),3個約束(M=3).

    以結(jié)點1為基點,約束方程為

    v1=0,u1-3θ=0, 4u1-3(v1+4θ)=0.

    (14)

    約束方程的矩陣形式為

    (15)

    經(jīng)計算可得R=2,M-R=1,N-R=1,故有1個多余約束,1個自由度.

    約束方程系數(shù)矩陣經(jīng)行初等變換后,可得

    (16)

    由式(16)第3行可知,3q1-4q2+q3=0,即約束向量線性相關(guān),這說明約束(1)~(3)中存在1個多余約束.由式(16)可知,v1=0,u1=3θ,即u1=3θ缺少1個必要約束.顯然,解法2(以剛體為研究對象)比解法1(以每個結(jié)點為研究對象)的自變量和約束方程少很多.

    例23個剛片兩兩通過1對平行鏈桿連接,分析其結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造.

    這是3剛片規(guī)則的1個特例,因為這個結(jié)構(gòu)不能采用常規(guī)的幾何構(gòu)造分析方法,只能采用“無限遠”的概念[1-2],該概念在歐氏幾何中并未定義,是一個很模糊的概念,缺乏理論依據(jù).

    采用解析方法,以第3個剛片為基礎(chǔ),結(jié)構(gòu)如圖3所示.圖3中:1,2為研究對象(此處表示剛片).3對平行鏈桿方向分別記作n1=n2,n3=n4和n5=n6,并假設(shè)鉸的位置不重合.由于兩對平行鏈桿(1)-(2),(3)-(4)導(dǎo)致兩個剛片都只能平動,分別記作V1,V2,共2個自由度.

    圖3 例2結(jié)構(gòu)

    平行鏈桿約束(5)-(6)為

    (V1-V2)·n5=0.

    (17)

    由于剛片1,2瞬時平動,所以每個剛片上任意位置的速度各自相同,而約束(5)-(6)的兩個鏈桿平行,約束向量也相同,故兩個平行鏈桿的約束表達式一樣,完全等價,有1個多余約束,1個必要約束.因此,還存在1個自由度,該體系是有1個多余約束,1個自由度的幾何可變體系.

    上述分析也可用解析形式表達,兩對平行鏈桿約束(1)-(2),(3)-(4)為

    (18)

    平行鏈桿約束(5)-(6)為

    (19)

    (20)

    (21)

    6個約束可寫成線性方程組形式,即

    (22)

    (23)

    約束方程系數(shù)矩陣經(jīng)行初等變換后,可得

    (24)

    式(23)表示當(dāng)平行鏈桿不重合,當(dāng)且僅當(dāng)約束不相互平行(n1≠n3≠n5)時,約束方程系數(shù)矩陣的秩R=5,M-R=1,N-R=1,體系有1個多余約束,1個未約束的自由度.當(dāng)3對平行鏈桿相互平行(n1=n3=n5)時,約束方程系數(shù)矩陣會增加1個線性相關(guān)的關(guān)系,因此,會多1個多余約束,少1個必要約束,R=3,M-3=2,N-R=2,體系有2個多余約束,2個未約束的自由度.

    例3例3結(jié)構(gòu)及分析過程,如圖4所示.

    (a)原結(jié)構(gòu) (b)結(jié)構(gòu)1

    解法1:例3結(jié)構(gòu)用常規(guī)方法分析較為復(fù)雜,采用解析方法(鏈桿在剛體上等效移動)則非常簡單.約束(12),(13),(15),(16)在支座方向分別沿桿件4-1,6-7,2-1和8-7移動到結(jié)點1,7,形成結(jié)構(gòu)1(圖4(b));依次去除二元體,形成結(jié)構(gòu)2(圖4(c)).顯然,結(jié)點1,7各有1個多余約束,結(jié)點3,5在豎直方向各有1個自由度.去除2個多余約束,在2個自由度方向施加2個約束,形成結(jié)構(gòu)3(圖4(d)),這是沒有多余約束的幾何不變體系.因此,原結(jié)構(gòu)是有2個多余約束,2個自由度的幾何可變體系.

    采用剛體運動學(xué)的代數(shù)方法進行分析.約束方程系數(shù)矩陣Q的秩為R=14,N=M=16,M-R=2,N-R=2,故有2個多余約束,2個自由度.

    (25)

    q1+q2+q3+q8-q9+q13-q14-q16=0,q4-q5+q12-q14+q15=0,

    (26)

    即約束(式(1),(2),(3),(8),(9),(13),(14)和(16))及(式(4),(5),(12),(14)和(15))每組約束中各有1個多余約束.

    約束方程經(jīng)行初等變換后,可分解為

    u1=v1=v2=u3=u5=u7=v7=v8=0,

    (27)

    u2=v3=u4=v4, -v5=u6=-v6=u8.

    (28)

    式(27),(28)中:式(27)各項對應(yīng)約束自由度;(u2,v3,u4,v4),(v5,u6,v6,u8)兩組位移中各有1個自由度,即這兩組位移中對應(yīng)各施加1個約束,成為幾何不變體系(式(28)也同時表示了幾何可變體系的變形形態(tài)).

    解法2:以結(jié)點1~4和結(jié)點5~8分別圍成的部分各構(gòu)成2個剛片,以其為研究對象,結(jié)構(gòu)如圖5所示.以每個剛片的左下角結(jié)點2,6為基點,約束方程為

    圖5 例3結(jié)構(gòu)(解法2)

    (29)

    約束方程經(jīng)行初等變換后,可得

    u2=θ1,v2=0,u6=-v6=θ2,

    (30)

    -q1+q2+q3=0, -q1+q4-q5+q6=0.

    (31)

    由式(30),(31)可知:(u2,θ1),(u6,v6,θ2)兩組位移中各有1個自由度,各缺少1個必要約束;兩組約束(式(1),(2)和(3)),(式(1),(4),(5)和(6))中各有1個多余約束.

    3 結(jié)束語

    基于運動學(xué)的解析方法為結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析提供了有效的方法,特別是對采用幾何方法分析有困難的問題,其效果更為顯著.該方法可以得到更多的結(jié)構(gòu)信息,還可以直接應(yīng)用于空間結(jié)構(gòu)的幾何組成分析,無需補充更多規(guī)則和技巧.

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