非齊次非線性擴(kuò)散方程的三階條件Lie-B?cklund對稱和微分約束

孫成金, 張建軍, 汪松玉

(河南農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息與管理科學(xué)學(xué)院 河南 鄭州 450002)

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非齊次非線性擴(kuò)散方程的三階條件
Lie-B?cklund對稱和微分約束

孫成金, 張建軍, 汪松玉

(河南農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息與管理科學(xué)學(xué)院 河南 鄭州 450002)

運(yùn)用線性決定方程方法研究了非齊次非線性擴(kuò)散方程．給出了允許三階條件Lie-B?cklund對稱和微分約束的非齊次非線性擴(kuò)散方程，通過基于不變曲面條件和方程相容性的對稱約化，得到所得方程的精確解．

非齊次非線性擴(kuò)散方程； 條件Lie-B?cklund對稱； 微分約束； 線性決定方程

0 引言

研究非齊次非線性擴(kuò)散方程[1-3]

xput=(xqukux)x，

(1)

η=[f(u)]xt,

(2)

以及η=[f(u)]xxx+a1(x)[f(u)]xx+a2(x)[f(u)]x+a3(x)f(u),事實(shí)上，在方程(1)的解流形上條件Lie-B?cklund對稱(2),等價于具特征

的三階條件Lie-B?cklund對稱．本文研究方程(1)具一般型特征的三階條件Lie-B?cklund對稱．事實(shí)上，驗(yàn)證某一Lie-B?cklund向量場作用在方程(1)上是否是條件不變的,只需直接計算不變條件是否成立即可．但要找出方程(1)的所有三階條件Lie-B?cklund對稱特征式(3)是困難的．

η=uxxx+g(t,x,u,ux,uxx)

.

(3)

1 方程(1)的條件Lie-B?cklund對稱特征(3)

特征(3)是方程(1)的條件Lie-B?cklund對稱的充分條件是

(4)

其中:M是方程(1)的微分序列集;Lx是η=0關(guān)于x的微分序列集．關(guān)于g的非線性微分方程組可由式(4)推出．關(guān)于g的決定方程通解是不可能得到的．

Kunzinger和Popovych指出方程(1)允許條件Lie-B?cklund對稱等價于不變曲面條件[6]

η=uxxx+g(t,x,u,ux,uxx)=0,

(5)

是方程(1)的微分約束．Kaptsov提出線性決定方程[8-9]

(6)

可作為判定式(5)是否為演化方程

ut=F(t,x,u,ux,uxx,…,unx)

(7)

微分約束的充分條件．

將式(3)代入充分條件(7),可知左右兩邊分別是關(guān)于uxx、ux的多項(xiàng)式．令對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等可得關(guān)于g的線性決定方程組．解該線性偏微分方程可確定方程(1)允許的條件Lie-B?cklund對稱特征(3)和微分約束(5)[10]．將結(jié)果列在表1中．

表1 方程(1)允許的條件Lie-B?cklund對稱特征(3)
Tab.1 The conditional Lie-B?cklund symmetry(3) of equation(1)

No方程(1)條件Lie?B?cklund對稱特征(3)1x-4ut=(x-3uux)xη=uxxx2x3q-74ut=(xquux)xη=uxxx+3(q+3)4xuxx+(q+1)(q+3)8x2ux3x-qut=(xquux)xη=uxxx+3qxuxx+(2q-1)qx2ux4x5q-72ut=(xquux)xη=uxxx-3(q-3)2xuxx-q2+4q-94x2ux-3(q-1)38x3u5xput=(xqu13ux)xη=uxxx+2q-pxuxx-59u2u3x-p+q3xuu2x+q(q-p-1)x2ux

2 方程(1)的精確解

求解不變曲面條件(微分約束)(5)可得,u是含有依賴于t的積分常數(shù)的關(guān)于x的函數(shù)．將u代入方程(1)可確定u中那些依賴于t的函數(shù)．這里給出3個例子展現(xiàn)該約化過程．

例1 允許條件Lie-B?cklund對稱η=uxxx+3(q+3)·(4x)-1uxx+(q+1)(q+3)·(8x2)-1ux,方程x3q-7·4ut=(xquux)x的解如下給出：

例2 方程

x-qut=(xquux)x

(8)

允許條件Lie-B?cklund對稱η=uxxx+3q·x-1uxx+(2q-1)qx-2ux．式(6)中的Mx表示方程(8)關(guān)于x的微分序列集．

2) 當(dāng)q=1時，方程的解已在例1中給出．

例3 方程

(9)

允許條件Lie-B?cklund對稱,

3 結(jié)論

本文用線性決定方程方法研究了非齊次非線性擴(kuò)散方程(1)的三階條件Lie-B?cklund對稱特征(3)．方程(1)的三階條件Lie-B?cklund對稱特征(3)由線性決定方程(6)確定．繼而方程(1)的解可由基于不變曲面條件(5)和方程相容性的對稱約化給出．

[1] 馬明書，馬小霞，任禎琴，等．二維變系數(shù)反應(yīng)擴(kuò)散方程的緊交替方向差分格式[J]．信陽師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2009，22(1)：21-24．

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(責(zé)任編輯：方惠敏)

Third-order Conditional Lie-B?cklund Symmetries and Differential Constraits of Inhomogeneous Nonlinear Diffusion Equations

SUN Chengjin, ZHANG Jianjun, WANG Songyu

(CollegeofInformationandManagement,HenanAgriculturalUniversity,Zhengzhou450002,China)

The inhomogeneous nonlinear diffusion equations were studied by using the method of linear determining equations. The inhomogeneous nonlinear diffusion equations, which admit of third-order conditional-Lie-B?cklund symmetries and differential constraints were identified. As a consequence, the exact solutions of the resulting equations were constructed through symmetry reductions due to the compatibilities of the invariant surface condition and the governing equation.

inhomogeneous nonlinear diffusion equation; conditional Lie-B?cklund symmetry; differential constraint; linear determining equation

2016-06-02

國家自然科學(xué)基金聯(lián)合基金資助項(xiàng)目(U1204104)；河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研基金資助項(xiàng)目(15A110028)； 河南省教育廳重點(diǎn)基金資助項(xiàng)目(13A210485)．

孫成金(1978—)，男，山東臨沂人，講師，主要從事微分方程及應(yīng)用研究，E-mail：chjsun@henau.edu.cn．

孫成金，張建軍，汪松玉.非齊次非線性擴(kuò)散方程的三階條件Lie-B?cklund對稱和微分約束[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)，2016,48(4)：20-22.

O175.29

A

1671-6841(2016)04-0020-03

10.13705/j.issn.1671-6841.2016634