圓錐曲線綜合問(wèn)題解答中需注意的幾個(gè)細(xì)節(jié)

◇ 山東 房 超

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圓錐曲線綜合問(wèn)題解答中需注意的幾個(gè)細(xì)節(jié)

◇ 山東 房 超

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容,此類(lèi)命題綜合性較強(qiáng),對(duì)學(xué)生的推理、論證、計(jì)算能力要求較高,解題中雖然部分同學(xué)能夠順利找到解題思路,但因計(jì)算煩瑣,常使解題半途而廢．本文以一道高考綜合題為例,就解題中需要注意的幾個(gè)細(xì)解進(jìn)行說(shuō)明．

(1) 當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時(shí),求△AMN的面積;

(2) 當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí),求k的取值范圍.

本題充分地考查了解析幾何本質(zhì)——用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題.考查的基礎(chǔ)知識(shí)有直線方程的引入方法、直線與曲線的位置關(guān)系等，考查的思想方法有方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，較強(qiáng)的計(jì)算、變形能力是正確解題的關(guān)鍵.

1 認(rèn)真審題,善于挖掘隱含條件

隱含條件也是已知條件,但題目中并沒(méi)有明確說(shuō)明,是需要我們深入分析挖掘才能得出的條件．

如本題中曲線方程中含有參數(shù)t,但指出橢圓焦點(diǎn)在x軸上,故可得t>3;由條件MA⊥NA,知2直線斜率之積為-1;由條件2|AM|=|AN|可知問(wèn)題的求解中要利用到弦長(zhǎng)公式等等．這些信息都為后面的解題奠定了基礎(chǔ)．

2 基礎(chǔ)題的解答不驕不躁

此類(lèi)問(wèn)題通常設(shè)置2或3問(wèn),第(1)問(wèn)較為基礎(chǔ),只要規(guī)范解答、準(zhǔn)確計(jì)算,即可順利得出所求結(jié)論．

(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,

因?yàn)锳M⊥AN,所以

因?yàn)閨AM|=|AN|,k>0,所以

整理得(k-1)(4k2-k+4)=0,而4k2-k+4=0無(wú)實(shí)根,所以k=1.

所以△AMN的面積為

3 明確問(wèn)題的解答通法,找到解題切入點(diǎn)

此類(lèi)問(wèn)題通常以直線和曲線位置關(guān)系為背景,處理問(wèn)題的常用方法：通過(guò)坐標(biāo)法將幾何問(wèn)題代數(shù)化后,引入直線方程后利用代入消元法、判別式法及根與系數(shù)的關(guān)系求解．

圖1

(注意對(duì)判別式的檢驗(yàn))

利用弦長(zhǎng)公式得

(對(duì)于|AN|的求解,可利用直線AM與AN斜率的關(guān)系進(jìn)行代換,進(jìn)而簡(jiǎn)化計(jì)算．)

因?yàn)?|AM|=|AN|,所以

綜上,對(duì)于圓錐曲線綜合問(wèn)題的處理,通過(guò)本題的探究歷程來(lái)看,在習(xí)題教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化,提煉歸納解題策略及數(shù)學(xué)思想方法,完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，深刻領(lǐng)悟解題原則,從而在錯(cuò)綜復(fù)雜的變化中,抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征,培養(yǎng)學(xué)生研究、探索問(wèn)題的能力.簡(jiǎn)化解題過(guò)程是我們追求的目標(biāo),由于圓錐曲線問(wèn)題運(yùn)算量大、綜合性較強(qiáng),很多問(wèn)題可能會(huì)因?yàn)槿唛L(zhǎng)的運(yùn)算、煩瑣的推理而導(dǎo)致無(wú)法進(jìn)行到底,從而半途而廢.因此,在解答圓錐曲線問(wèn)題時(shí)必須研究技巧與策略,尋求突破點(diǎn),選用適當(dāng)方法,以求做到簡(jiǎn)潔、合理解題.

山東省濟(jì)南市長(zhǎng)清第一中學(xué))