橢圓和雙曲線共焦點(diǎn)問(wèn)題規(guī)律探尋

◇ 甘肅 馬俊杰

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橢圓和雙曲線共焦點(diǎn)問(wèn)題規(guī)律探尋

◇ 甘肅 馬俊杰

當(dāng)橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)時(shí),借助焦點(diǎn)三角形及有關(guān)解三角形知識(shí),可順利考查二者離心率之間的關(guān)系.此類(lèi)問(wèn)題因涉及知識(shí)的交匯、體現(xiàn)綜合運(yùn)用能力,所以值得關(guān)注.

1 探究規(guī)律

圖1

例1如圖1,中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1、F2,點(diǎn)P是橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),已知∠F1PF2=θ,試探究橢圓和雙曲線的離心率e1、e2滿足的關(guān)系式.

①

設(shè)|F1F2|=2c,則在△PF1F2中由余弦定理得

(2c)2=m2+n2-2mncosθ.

②

將式①代入②,化簡(jiǎn)得

2c2=a2+a′2-(a2-a′2)cosθ,

即

2c2=a2(1-cosθ)+a′2(1+cosθ),

點(diǎn)評(píng)上述求解的關(guān)鍵在于將橢圓和雙曲線的“定義”與解三角形中的“余弦定理”綜合應(yīng)用.

2 應(yīng)用舉例

A 1/2; B 1; C 2; D 不確定

點(diǎn)評(píng)一般地,遇到“平方和”為定值,可靈活利用三角換元法求解有關(guān)代數(shù)式的最值.此外,本題還可借助柯西不等式求解,請(qǐng)讀者自行思考.

解析在例1所得關(guān)系式中取θ=60°,可得

于是

點(diǎn)評(píng)一般地,靈活利用基本不等式,可巧求有關(guān)代數(shù)式的最值以及取得最值的具體情景.此外,本題還可借助三角換元求解,請(qǐng)讀者自行思考.

甘肅省臨夏回民中學(xué))