矢量法求解矩形電流激發(fā)的磁場空間分布

毛杰鍵，楊建榮，郭 敏，張騰平，饒欣欣

(1.上饒師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院，江西 上饒 334001；2. 上饒縣尊橋小學(xué)，江西 上饒 334115)

矢量法求解矩形電流激發(fā)的磁場空間分布

毛杰鍵1，楊建榮1，郭 敏2，張騰平1，饒欣欣1

(1.上饒師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院，江西 上饒 334001；2. 上饒縣尊橋小學(xué)，江西 上饒 334115)

磁感應(yīng)強(qiáng)度是電磁學(xué)中重要的物理矢量，運(yùn)用矢量運(yùn)算方法求解磁場，可提高學(xué)生解決物理問題的能力和空間想象力，對學(xué)生學(xué)好物理、用好物理規(guī)律具有重要的意義。用矢量運(yùn)算，求得矩形電流線圈激發(fā)的磁場在空間分布的精確解，形象地表明了在導(dǎo)線所在位置處，存在奇點(diǎn)；在線圈平面內(nèi)，中間的磁場小，靠近線圈導(dǎo)線的磁場大；導(dǎo)線二側(cè)的磁場方向相反；線圈外側(cè)磁場，隨距離的增大，很快趨于零；在矩形線圈二導(dǎo)線交點(diǎn)處的磁場大于等距離的它處；在線圈平面附近，z方向的磁場大，x，y方向的磁場?。痪€圈內(nèi)的磁場大于線圈外的磁場；磁場方向遵循右手螺旋定則。

矢量；矩形電流；磁場

求解直導(dǎo)線電流在平面內(nèi)激發(fā)的磁場是畢奧-薩法爾定律應(yīng)用的經(jīng)典例子，目前的教材中均采用標(biāo)量積分法，局限于求垂直于平面的磁場[1-2]。本文利用矢量運(yùn)算法，求解由直導(dǎo)線組成的矩形電流在空間激發(fā)的磁場分布。一是提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，學(xué)會(huì)矢量運(yùn)算方法解決電磁學(xué)中的實(shí)際問題；二是引導(dǎo)學(xué)生推廣應(yīng)用畢奧-薩伐爾定律解決實(shí)際工程中復(fù)雜的問題；三是由直導(dǎo)線可構(gòu)成矩形線圈、多邊形線圈，而矩形電流線圈作為磁體，在電工電子工程、儀器儀表中具有廣泛的應(yīng)用。本文結(jié)果為利用矩形電流線圈解決電工電子工程中的問題，提供精確解。

1 矩形電流線圈在空間任意點(diǎn)激發(fā)的磁場的精確解

圖1 直角坐標(biāo)系中的矩形電流線圈

如圖1所示,設(shè)矩形電流線圈放置在直角坐標(biāo)系的xoy平面內(nèi)，z軸垂直矩形線圈平面，并經(jīng)過矩形對角線交點(diǎn)。設(shè)線圈中的電流為I，線圈的長為|AB|=|CD|=2b,與y軸平行；寬為|BC|=|DA|=2a，與x軸平行，空中任意一點(diǎn)為P(x,y,z)。根據(jù)畢奧-薩伐爾定律

①

由①式可知，求解B的關(guān)鍵一是矢量運(yùn)算，二是求積分。

對于AB邊，設(shè)Q=Q(a,y1,0),則Q點(diǎn)電流源矢量Idl中的dl=0i+dy1j+0k=dy1j , 電流源到場點(diǎn)P的矢量為rp=QP=(x-a)i+(y-y1)j+z k,則

②

式中i,j,k分別為空間直角坐標(biāo)x,y,z的單位矢量。將②式代入①式，得AB邊在P點(diǎn)激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

③

上式積分結(jié)果利用了積分關(guān)系式

④

同理，對于BC邊，設(shè)Q=Q(x1,b,0),則矢量

dl=-dx1i+0j+0k=-dx1i, rp=QP=(x-x1)i+(y-b)j+z k，

⑤

⑥

將⑥式代入①式，并利用④式，可得BC邊在P點(diǎn)激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

⑦

對于CD邊，設(shè)Q=Q(-a,y1,0),則矢量

dl=0 i-dy1j+0k=-dy1j , rp=QP=(x+a)i+(y-y1)j+zk ,

⑧

⑨

將⑨式代入①式，并利用④式，可得CD邊在P點(diǎn)激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

⑩

對于DA邊，設(shè)Q=Q(x1,-b,0), 則矢量

dl=dx1i+0j+0k=dx1i, rp=QP=(x-x1)i+(y+b)j+zk,

取出j的系數(shù)，可得y方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

取出k的系數(shù)，可得z方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

Bp=Bxi+Byj+Bzk 。

2 分析討論

2.1 一段直導(dǎo)線電流在平面內(nèi)激發(fā)的磁場

考慮AB段電流在yoz平面內(nèi)激發(fā)的磁場。此時(shí)AB在yoz平面內(nèi)，有a=0，x=0，磁場只有垂直于yoz平面的x方向分量，由式可得

結(jié)果與教材中利用標(biāo)量積分法所得結(jié)論相同[1-2]。有的文獻(xiàn)根據(jù)一段直導(dǎo)線的磁場分布式，推導(dǎo)矩形電流在空間的分布，存在復(fù)雜的運(yùn)算[3]，沒有上述矢量運(yùn)算簡單明了。

2.2 矩形線圈所在位置z方向的磁場空間分布

μ=1, π=3.14, I=1, a=0.1, b=0.08,

2.2 矩形線圈激發(fā)的磁場空間分布

圖2 z=0平面，z方向的磁場分布 圖3 矩形電流激發(fā)的磁場空間分布

3 結(jié)論

磁感應(yīng)強(qiáng)度是電磁學(xué)中重要的物理矢量，掌握矢量運(yùn)算方法，提高矢量運(yùn)算解決物理問題的能力，對學(xué)生學(xué)好物理、用好物理規(guī)律具有重要的意義?？墒窃诮鉀Q物理問題的思維上，學(xué)生往往習(xí)慣于標(biāo)量運(yùn)算，這對后繼課程，如電動(dòng)力學(xué)的學(xué)習(xí)會(huì)帶來不利的影響。本文介紹了用矢量運(yùn)算、④式所示的積分關(guān)系和畢奧-薩伐爾定律，求得矩形電流線圈激發(fā)的磁場在空間分布的精確解。結(jié)果表明：在導(dǎo)線所在位置處，存在奇點(diǎn)。在線圈平面內(nèi)，中間的磁場小，靠近線圈導(dǎo)線的磁場大；導(dǎo)線二側(cè)的磁場方向相反；線圈外側(cè)磁場，隨距離的增大，很快趨于零；在矩形線圈二導(dǎo)線交點(diǎn)處的磁場大于等距離的它處；在線圈平面附近，z方向的磁場大，x，y方向的磁場小，遠(yuǎn)離線圈平面磁場減小，線圈內(nèi)的磁場大于線圈外的磁場；磁場方向遵循右手螺旋定則。

[1] 趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué)(第三版)[M].北京:高等教育出版社，2012:245.

[2] 梁燦彬，秦光戎，梁健.電磁學(xué)(第二版)[M].北京:高等教育出版社，2010:178.

[3] 鄺向軍，矩形載流線圈的空間磁場計(jì)算[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2006(2)，19(1):17-20.

Magnetic Field Distribution of Rectangle Coil by Vector Method

MAO Jie-jian1, YANG Jian-rong1, GUO Min2, ZHANG Teng-ping1, RAO Xin-xin1

(1.School of Physics and Electronic Information, Shangrao Normal University, Shangrao Jiangxi 334001, China; 2. Zunqiao Primary School of Shangrao County, Shangrao Jiangxi 334115, China)

Electric field and magnetic field are two important physical vectors in electromagnetics. It has important meanings that students enhance the ability using vector operation to solve physics problems. This paper applies vector method to obtain the exact solution for space distribution of magnetic field excited by rectangle coil. The plots show that there exists singularity in the coil position; in the coil plane, the middle magnetic field is small but big near wire; the magnetic field possesses opposite direction at the two sides of coil ; the outside magnetic field tends quickly to zero with the increasing distance; at the intersection points of two coils, the magnetic field is greater than the other equidistance; near the coil plane, the magnetic field in z direction is big but small along x and y; the magnetic field within the coil is greater than outer; and the magnetic field direction follows the right-hand screw rule.

vector method; rectangle coil; magnetic field

2016-09-01

江西省教育廳科技落地計(jì)劃項(xiàng)目(KJLD13086)；江西省教改課題(JXJC-13-16-4)；國家級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目(201510416003，201510416004)

毛杰鍵(1962一)，男，江西廣豐人，教授，主要從事物理學(xué)的教學(xué)和研究。E-mail：maojj2006@163.com

O441

A

1004-2237(2016)06-0028-05

10.3969/j.issn.1004-2237.2016.06.006