高中數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)

常言道：劈柴不照紋累死劈柴人。這就是告訴我們解決問題要找對方法。數(shù)學(xué)作為解決實際問題的重要工具，包括的知識面比較廣，如果我們不能系統(tǒng)地歸納、總結(jié)，學(xué)習(xí)起來就感到紊亂。高中數(shù)學(xué)中有很多思想方法，在解題中我們經(jīng)常用其中一種或多種方法結(jié)合來解題，下面我把函數(shù)方程思想，函數(shù)方程思想，分類討論的數(shù)學(xué)思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想等四個常用的思想方法進(jìn)行總結(jié)，以便我們在教學(xué)中加以突出。

㈠函數(shù)方程思想

函數(shù)方程思想就是用函數(shù)、方程的觀點和方法處理變量或未知數(shù)之間的關(guān)系，從而解決問題的一種思維方式，是很重要的數(shù)學(xué)思想。

⒈函數(shù)思想：把某變化過程中的一些相互制約的變量用函數(shù)關(guān)系表達(dá)出來，并研究這些量間的相互制約關(guān)系，最后解決問題，這就是函數(shù)思想；

⒉應(yīng)用函數(shù)思想解題，確立變量之間的函數(shù)關(guān)系是一關(guān)鍵步驟，大體可分為下面兩個步驟：⑴根據(jù)題意建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式，把問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題；⑵根據(jù)需要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)知識解決問題；⑶方程思想：在某變化過程中，往往需要根據(jù)一些要求，確定某些變量的值，這時常常列出這些變量的方程或（方程組），通過解方程（或方程組）求出它們，這就是方程思想；

⒊函數(shù)與方程是兩個有著密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，它們之間相互滲透，很多方程的問題需要用函數(shù)的知識和方法解決，很多函數(shù)的問題也需要用方程的方法的支援，函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系，形成了函數(shù)方程思想。

㈡數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中四種重要思想方法之一，對于所研究的代數(shù)問題，有時可研究其對應(yīng)幾何的性質(zhì)使問題得以解決（以形助數(shù)）；或者對于所研究的幾何問題，可借助于對應(yīng)圖形的數(shù)量關(guān)系使問題得以解決（以數(shù)助形），這種解決問題的方法稱之為數(shù)形結(jié)合。

⒈數(shù)形結(jié)合與數(shù)形轉(zhuǎn)化的目的是為了發(fā)揮形的生動性和直觀性，發(fā)揮數(shù)的思路的規(guī)范性與嚴(yán)密性，兩者相輔相成，揚(yáng)長避短。

⒉恩格斯是這樣來定義數(shù)學(xué)的：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)”。這就是說：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，宇宙間萬事萬物無不是數(shù)和形的和諧的統(tǒng)一。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中突出數(shù)形結(jié)合思想正是充分把握住了數(shù)學(xué)的精髓和靈魂。

⒊數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是：幾何圖形的性質(zhì)反映了數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì)。

⒋華羅庚先生曾指出：“數(shù)缺性時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非?！睌?shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用大致分為兩種情形：或借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助于形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系.

⒌把數(shù)作為手段的數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)在解析幾何中，歷年高考的解答題都有關(guān)于這個方面的考查（即用代數(shù)方法研究幾何問題）。而以形為手段的數(shù)形結(jié)合在高考客觀題中體現(xiàn)。

⒍我們要抓住以下幾點數(shù)形結(jié)合的解題要領(lǐng)：

⑴對于研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進(jìn)行求解即可；

⑵對于研究函數(shù)、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數(shù)的圖象求解（函數(shù)的零點，頂點是關(guān)鍵點），作好知識的遷移與綜合運用；

⑶對于以下類型的問題需要注意： 可分別通過構(gòu)造距離函數(shù)、斜率函數(shù)、截距函數(shù)、單位圓x2+y2=1上的點 及余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化達(dá)到解題目的。

㈢分類討論的數(shù)學(xué)思想

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)問題的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，就需要對研究的對象進(jìn)行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結(jié)果，最終綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答。

⒈有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)問題需要運用分類討論思想來解決，引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種：

⑴涉及的數(shù)學(xué)概念是分類討論的；

⑵運用的數(shù)學(xué)定理、公式、或運算性質(zhì)、法則是分類給出的；

⑶求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能性；

⑷數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的不同取值導(dǎo)致不同的結(jié)果的；

⑸較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，需要采取分類討論的解題策略來解決的。

⒉分類討論是一種邏輯方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有極廣泛的應(yīng)用。根據(jù)不同標(biāo)準(zhǔn)可以有不同的分類方法，但分類必須從同一標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，做到不重復(fù)，不遺漏 ，包含各種情況，同時要有利于問題研究。

㈣化歸與轉(zhuǎn)化思想

所謂化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。一般總是將復(fù)雜的問題通過變化轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題。

立體幾何中常用的轉(zhuǎn)化手段有：

⒈通過輔助平面轉(zhuǎn)化為平面問題，把已知元素和未知元素聚集在一個平面內(nèi)，實現(xiàn)點線、線線、線面、面面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化；

⒉平移和射影，通過平移或射影達(dá)到將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，化未知為已知的目的；

⒊等積與割補(bǔ)；

⒋類比和聯(lián)想；

⒌曲與直的轉(zhuǎn)化；

⒍體積比，面積比，長度比的轉(zhuǎn)化；

⒎解析幾何本身的創(chuàng)建過程就是“數(shù)”與“形”之間互相轉(zhuǎn)化的過程。解析幾何把數(shù)學(xué)的主要研究對象數(shù)量關(guān)系與幾何圖形聯(lián)系起來，把代數(shù)與幾何融合為一體。

總之，數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的根本準(zhǔn)則和方向指導(dǎo)，它有利于學(xué)生通過科學(xué)的方法掌握知識，提升技能。隨著教學(xué)實踐的探索和發(fā)展，數(shù)學(xué)思想方法也會不斷汲取新的營養(yǎng)，這就要求高中數(shù)學(xué)教師必須與時俱進(jìn)，不斷更新教學(xué)理念、改進(jìn)教學(xué)方法來努力培養(yǎng)更加優(yōu)秀的學(xué)生，追求完美的高效課堂。

（作者單位：河北泊頭市第一中學(xué)）