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    例說幾何定理教學(xué)的層次
    ——由傅種孫先生數(shù)學(xué)教育思想說起

    2016-12-28 12:19:35江蘇省蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)陳蓓蓓
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年24期
    關(guān)鍵詞:圓周角勾股定理內(nèi)角

    ☉江蘇省蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué) 陳蓓蓓

    例說幾何定理教學(xué)的層次
    ——由傅種孫先生數(shù)學(xué)教育思想說起

    ☉江蘇省蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué) 陳蓓蓓

    近讀《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》,張英伯教授在《傅種孫——中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的先驅(qū)》(詳見文1)一文中,回顧了傅種孫先生在數(shù)學(xué)教育上的貢獻(xiàn),比如:作為中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的先驅(qū),傅種孫先生可謂嘔心瀝血,鞠躬盡瘁.他先后參與了教材的編寫,課程標(biāo)準(zhǔn)的制訂,致力于教師教育,并擔(dān)任《數(shù)學(xué)通報(bào)》總編.特別是,傅先生在《平面幾何教本》(見文2)的開篇就指出“知其然,知其所以然,何由以知其所以然,啟發(fā)學(xué)者,示以思維之道耳!”也就是說,傅先生指出:“幾何所追求的不是要知道它如此,而是要知道它為什么如此;不僅要知道它為什么如此,還得要領(lǐng)會(huì)從什么思路知道它所以如此.”受此啟發(fā),筆者結(jié)合近期教學(xué)實(shí)踐,選取一些幾何定理教學(xué)的片斷例說數(shù)學(xué)概念教學(xué)的層次,提供研討.

    第一層次——知其然

    由于這是最低的層次,幾何中有大量的定理如果僅僅滿足于讓學(xué)生知曉、記熟,也會(huì)簡(jiǎn)單運(yùn)算,則屬于“知其然”的教學(xué).

    比如,勾股定理教學(xué),有些初任教師沒有在勾股定理的發(fā)現(xiàn)、證明上經(jīng)營(yíng)設(shè)計(jì),而是采取避重就輕,簡(jiǎn)單告知勾股定理內(nèi)容,學(xué)生記熟兩直角邊的平方和等于斜邊的平方,然后進(jìn)行大量的機(jī)械練習(xí),鞏固對(duì)勾股定理的記憶.這種低層次的勾股定理,將博大精深的數(shù)學(xué)知識(shí)簡(jiǎn)單化為一個(gè)孤立的知識(shí)點(diǎn)或公式教學(xué),沒有能發(fā)揮其應(yīng)有的教育價(jià)值,只能是一種教學(xué)遺憾.

    再比如,垂徑定理的教學(xué),如果僅僅從圓的軸對(duì)稱性質(zhì)歸納概括出垂徑定理,而缺少對(duì)圓的軸對(duì)稱性質(zhì)進(jìn)行追問和證明,則也只停留在知其然的層次.因?yàn)閷?duì)“圓為什么是軸對(duì)稱圖形”的追問,會(huì)引導(dǎo)學(xué)生將這一邏輯鏈條下的軸對(duì)稱圖形的軸對(duì)稱性質(zhì)進(jìn)行系統(tǒng)思考.我們注意到在文2中,江蘇海安的陶然老師曾做過如下的教學(xué)設(shè)計(jì)(如圖1~4).

    圖1

    圖2

    圖3

    圖4

    教師引導(dǎo)學(xué)生退回最簡(jiǎn)單的線段,思考線段的軸對(duì)稱性質(zhì)如何證明,并一路生長(zhǎng)到等腰三角形、矩形的軸對(duì)稱性質(zhì),最后再讓學(xué)生類比證明圓是軸對(duì)稱圖形,使得垂徑定理的根基更牢固,定理的可信度更強(qiáng).

    第二層次——知其所以然

    從第一層次而來,不僅知道具體的幾何定理的內(nèi)容與應(yīng)用,而且要知道該定理如何證明?如何發(fā)現(xiàn)?到達(dá)知其所以然的層次是很多經(jīng)驗(yàn)教師都能夠達(dá)到的高度.在這個(gè)階段,學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)新學(xué)概念的理解準(zhǔn)確,是一種理解式的概念學(xué)習(xí),而非記憶式的機(jī)械訓(xùn)練所得.

    比如,初中階段的三角形內(nèi)角和定理的教學(xué),不少教學(xué)設(shè)計(jì)是重復(fù)學(xué)生在小學(xué)階段的操作實(shí)驗(yàn),剪拼驗(yàn)證,然后再根據(jù)剪拼的操作示意,作出必要的輔助線實(shí)現(xiàn)證明則可看成是知其然,知其所以然.當(dāng)然,我們也注意到有些老師對(duì)于三角形內(nèi)角和定理的教學(xué)則更顯數(shù)學(xué)味,他們往往引導(dǎo)學(xué)生思考三角形有哪些元素,三條邊、三個(gè)內(nèi)角,三條邊之間的數(shù)量關(guān)系容易發(fā)現(xiàn),而三個(gè)內(nèi)角和為定值則可借助小學(xué)已有經(jīng)驗(yàn),然而小學(xué)并沒有給出證明,初中階段通過恰當(dāng)?shù)妮o助線可以使得零散的三個(gè)內(nèi)角集中到一起轉(zhuǎn)化為一個(gè)平行,實(shí)現(xiàn)問題證明.綜上,兩種不同的處理都達(dá)到了證明三角形內(nèi)角和定理的層次,而非停留在小學(xué)直觀感知的初級(jí)階段.

    再比如,等邊三角形的證明也是十分重要的.需要引導(dǎo)學(xué)生從不同的路徑證明,感受殊途同歸.如果從等腰三角形出發(fā),強(qiáng)化出一個(gè)內(nèi)角為60°后,又需要分兩種可能,即該內(nèi)角是頂角或底角,然后分別證明該等腰三角形三個(gè)內(nèi)角都為60°,實(shí)現(xiàn)命題證明;另外,從一般三角形出發(fā),如果找出兩個(gè)內(nèi)角為60°,則可結(jié)合三角形內(nèi)角和證得三個(gè)內(nèi)角均為60°,于是等邊三角形獲證.這里重要的不是具體的證明路徑,而是證明起始階段學(xué)生針對(duì)不同情況進(jìn)行辨析,做好題設(shè)的識(shí)別,即找準(zhǔn)出發(fā)點(diǎn)是證明等邊三角形的關(guān)鍵.這樣證明思路在后續(xù)學(xué)習(xí)矩形、菱形及正方形時(shí)道理是一致的.這也就是章建躍老師所倡導(dǎo)的要重視“基本套路”教學(xué).

    第三層次——何由以知其所以然

    更高層次的幾何定理教學(xué)則追求將不同的幾何概念或定理、或推理都納入一個(gè)有機(jī)會(huì)整體,讓學(xué)生通過幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)感受到數(shù)學(xué)的整體一致、前后關(guān)系、邏輯連貫.

    比如,圓周角定理的教學(xué),首先引導(dǎo)學(xué)生觀察猜想出同弧所對(duì)的圓內(nèi)角是圓心角的一半,然后引導(dǎo)學(xué)生分類證明圓周角性質(zhì),最后綜合起來得到圓周角定理:一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半.接著將圖形特殊化,出現(xiàn)直徑所對(duì)的圓周角為直角,而在這個(gè)推論中需要引導(dǎo)學(xué)生從“正、反”兩個(gè)角度理解,首先是“正向思考”有直徑所對(duì)的圓周角為直角;“逆向思考”有圓周角為90°時(shí),所對(duì)的弦為直徑,所對(duì)的弧為半圓.在此基礎(chǔ)上還可將圓周角定理的基本圖形拓展成圓內(nèi)接四邊形的問題,得出圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)、圓的內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角.這些知識(shí)都可納入到如下一個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系中,見圖5(PPT截圖).

    圖5

    類似地,我們上面提到的三角形內(nèi)角和定理教學(xué),也可以由三角形內(nèi)角和出發(fā),將三角形特殊化為直角三角形,則研究出兩銳角的互余關(guān)系;將三角形特殊化為等腰三角形,可研究出頂角與底角之間的數(shù)量關(guān)系;將三角形的外角添出來,研究一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和,還可進(jìn)一步得出三角形外角和為定值360°.它們之間的關(guān)系也可設(shè)計(jì)出PPT(如截圖6).

    圖6

    行文至此,想起著名特級(jí)教師、江蘇省南通市啟秀中學(xué)李庾南老師在《自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論》中一篇課例,李老師沒有“理會(huì)”《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中舍去平行線等分線段定理,而直接在相似三角形學(xué)習(xí)時(shí)給出所謂的平行線分線段成比例的“基本事實(shí)”,而是構(gòu)造出下圖(如圖7)這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)路徑:

    圖7

    從圖7中我們對(duì)平行線分線段成比例的源頭、發(fā)展、特殊化都有清楚的表示,給學(xué)生帶來的整體觀、邏輯性、前后連貫性的啟示作用是巨大的.我們常常羨慕專家教師的專業(yè)基本功,感動(dòng)他們的教學(xué)定力,想來,對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的精深獨(dú)到的理解應(yīng)該是專家教師們的特殊專業(yè)基本功吧.

    1.張英伯.傅種孫——中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的先驅(qū)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2008(1).

    2.傅種孫.平面幾何教本[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,1982.

    3.陶然.優(yōu)選“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”,注重變式教學(xué)——以“垂徑定理”教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2015(10).H

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