對(duì)初中數(shù)學(xué)開(kāi)放題編制的幾點(diǎn)思考

☉福建省廈門(mén)市廈門(mén)一中海滄分校 王旭輝

對(duì)初中數(shù)學(xué)開(kāi)放題編制的幾點(diǎn)思考

☉福建省廈門(mén)市廈門(mén)一中海滄分校 王旭輝

初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求：“為了考查學(xué)生的創(chuàng)造能力，可以設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題.”這里的“開(kāi)放性問(wèn)題”就是本文所說(shuō)的開(kāi)放題.關(guān)于開(kāi)放題的概念，沒(méi)有唯一的答案，在我們初中數(shù)學(xué)中答案不固定或者條件不完備；具有多種不同的解法或有多種可能的解答；條件多余需選擇，條件不足需補(bǔ)充或答案不固定及答案不唯一的問(wèn)題等都可以稱(chēng)為開(kāi)放題.開(kāi)放題是種非常靈活的新題型，它的開(kāi)放性主要在于它的問(wèn)題的條件可以具有不完備性，答案可以具有不確定性，解題策略具有創(chuàng)新性等特點(diǎn).

在實(shí)施素質(zhì)教育的今天，培養(yǎng)初中生對(duì)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度，使學(xué)生體驗(yàn)做數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，提高初中生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)十分重要的任務(wù)，同時(shí)，近些年在中考中考查開(kāi)放性題目所占的比重也越來(lái)越大.因此，加強(qiáng)對(duì)初中數(shù)學(xué)開(kāi)放題編制的研究就顯得十分重要和有意義.

一、編制數(shù)學(xué)開(kāi)放題的必要性分析

（一）有助于培養(yǎng)學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力

由于學(xué)生在解答開(kāi)放題時(shí)，會(huì)表現(xiàn)出不同層次、多種水平的解答方案：有的學(xué)生可能只找到一種答案，有的學(xué)生能找到多種答案.不同的解答方案和結(jié)果會(huì)表現(xiàn)出不同的思維水平.學(xué)生通過(guò)探索的過(guò)程、尋找方法和計(jì)算的過(guò)程，變簡(jiǎn)單機(jī)械模仿過(guò)程逐步上升為深化提高知識(shí)的過(guò)程.在這樣的解題過(guò)程中，學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力得到培養(yǎng)和提高.

（二）有助于強(qiáng)化學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)

傳統(tǒng)的封閉性題目答案是唯一的，學(xué)生往往找到一個(gè)答案就不必再進(jìn)一步思考了.而開(kāi)放題的答案一般需要根據(jù)不同的條件選擇不同的結(jié)果.這樣，可以培養(yǎng)學(xué)生不斷進(jìn)取的精神，強(qiáng)化學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生養(yǎng)成創(chuàng)新習(xí)慣的自覺(jué)性.

（三）有助于形成寬松的教學(xué)氛圍

由于開(kāi)放題可達(dá)到教學(xué)形式的開(kāi)放，使學(xué)生的學(xué)習(xí)可以是個(gè)別競(jìng)爭(zhēng)，也可以合作完成；可以是暢所欲言，也可以是實(shí)踐操作.在這一過(guò)程中，師生之間的教學(xué)關(guān)系已開(kāi)放為平等的合作伙伴關(guān)系，學(xué)生可以懷著輕松、愉快的心情進(jìn)行學(xué)習(xí)，有利于形成寬松和諧的課堂教學(xué)氛圍.

（四）有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)

開(kāi)放題的教學(xué)，變單一的由教師講解提問(wèn)為師生共同研究問(wèn)題的知識(shí)與能力的綜合訓(xùn)練，變個(gè)體操作為集中交流合作，并觸發(fā)思維的火花.這樣，把開(kāi)放性問(wèn)題融入課堂教學(xué)中，可有效地激發(fā)學(xué)生敢于從多角度去思考問(wèn)題，主動(dòng)參與知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，從而培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生思維的深刻性、廣闊性、靈活性和創(chuàng)造性等良好品質(zhì).

（五）有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值

由于開(kāi)放題題材多數(shù)貼近學(xué)生生活實(shí)際，吸收并引進(jìn)與現(xiàn)代工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、科技等密切相關(guān)的具有時(shí)代性、地方性的數(shù)學(xué)信息資料，以豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí).使學(xué)生把學(xué)習(xí)延伸到與之聯(lián)系的現(xiàn)實(shí)生活中，并拓寬獲得相關(guān)領(lǐng)域的新知識(shí)，從而認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的價(jià)值，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì).

二、數(shù)學(xué)開(kāi)放題的編制類(lèi)型

（一）從構(gòu)成數(shù)學(xué)題系統(tǒng)的四要素出發(fā)來(lái)編制

從構(gòu)成數(shù)學(xué)題系統(tǒng)的四要素出發(fā)，開(kāi)放題的編制主要包括四類(lèi)：條件開(kāi)放題、策略開(kāi)放題、結(jié)論開(kāi)放題和綜合開(kāi)放題.

1.條件開(kāi)放題

如果一個(gè)數(shù)學(xué)開(kāi)放題，其未知的要素是假設(shè)，則稱(chēng)為條件開(kāi)放題.這類(lèi)開(kāi)放題給出了結(jié)論，要求從多種不同角度去尋求這個(gè)結(jié)論成立的條件.

例1如圖1，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母與輔助線(xiàn)，要使△ABC≌△DCB，則還需增加一個(gè)條件是________.

此題可以根據(jù)三角形全等的判定方法，從邊、角等多方面去補(bǔ)充條件.

圖1

圖2

2.策略開(kāi)放題

如果一個(gè)數(shù)學(xué)開(kāi)放題，其未知的要素是推理，則稱(chēng)為策略開(kāi)放題.這類(lèi)開(kāi)放題一般都給出了條件和結(jié)論，而怎樣由條件去推斷結(jié)論，或怎樣根據(jù)條件去判斷結(jié)論是否成立的策略未知，或者解法有多種.

例2小蕓在為班級(jí)辦黑板報(bào)時(shí)遇到了一個(gè)難題，在版面設(shè)計(jì)過(guò)程中需將一個(gè)半圓面三等分（圖2），請(qǐng)你幫助她設(shè)計(jì)一個(gè)合理的等分方案.要求用尺規(guī)作出圖形，保留作圖痕跡，并簡(jiǎn)要寫(xiě)出作法.

此題可以通過(guò)三等分圓周角，或者把直徑四等分等方法去解決.

3.結(jié)論開(kāi)放題

如果一個(gè)數(shù)學(xué)開(kāi)放題，其未知的要素是判斷，則稱(chēng)為結(jié)論開(kāi)放題.結(jié)論開(kāi)放題就是給出了一定的條件，滿(mǎn)足條件的答案有多個(gè).

例3已知點(diǎn)P在第二象限，它的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的和為1.則點(diǎn)P的坐標(biāo)是______（寫(xiě)出符合條件的一個(gè)點(diǎn)即可）.

題目的結(jié)論很多，比如（-1，2）、（-3，4）等.

4.綜合開(kāi)放題

如果一個(gè)數(shù)學(xué)開(kāi)放題，只給出一定的情境，其條件、解題策略和結(jié)論都要求解題者自行設(shè)定和尋找，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為綜合開(kāi)放題.

例4某家庭裝飾廚房需用480塊某品牌的同一種規(guī)格的瓷磚，裝飾材料商場(chǎng)出售的這種瓷磚有大、小兩種包裝，大包裝每包50片，價(jià)格為30元；小包裝每包30片，價(jià)格為20元，若大、小包裝均不拆開(kāi)零售，那么怎樣制定購(gòu)買(mǎi)方案才能使所付費(fèi)用最少？

此題的解決方法和瓷磚大小的選擇都要由解題者來(lái)選擇，答案雖然是唯一，但是過(guò)程卻是開(kāi)放的.

（二）從開(kāi)放題答案的開(kāi)口情況出發(fā)來(lái)編制

從開(kāi)放題答案的開(kāi)口情況出發(fā)，數(shù)學(xué)開(kāi)放題可以分成三類(lèi)：弱開(kāi)放題、中開(kāi)放題和強(qiáng)開(kāi)放題.

1.弱開(kāi)放題

弱開(kāi)放題是指答案情況（包括可能情況）只有兩種的開(kāi)放題.

例5等腰三角形的兩邊長(zhǎng)是4和6，則它的周長(zhǎng)是_______.

這里要求我們分4為腰和6為腰兩種情況去討論.

2.中開(kāi)放題

中開(kāi)放題是指答案情況（包括可能情況）超過(guò)兩種，但其數(shù)目是有限種的開(kāi)放題.

例6桌上擺著一個(gè)由若干個(gè)相同正方體組成的幾何體，其主視圖和左視圖如圖3所示，則這個(gè)幾何體可以由______個(gè)這樣的正方體組成.

圖3

滿(mǎn)足條件的結(jié)論是有3種以上的，答案可以是8個(gè)、9個(gè)、10個(gè)或者以上，但是答案有限.

3.強(qiáng)開(kāi)放題

強(qiáng)開(kāi)放題是指只能給出部分答案情況，答案情況（包括可能情況）總數(shù)難以確定的開(kāi)放題.

例7有一塊邊長(zhǎng)為10米的正方形空地，現(xiàn)在要在空地上設(shè)計(jì)一個(gè)花壇，使花壇的面積是空地面積的二分之一，該如何設(shè)計(jì)？

此題的答案?jìng)€(gè)數(shù)就難以確定了，因?yàn)榛▔男螤钋ё內(nèi)f化，只要面積是空地面積的二分之一就可以了.

三、數(shù)學(xué)開(kāi)放題的設(shè)計(jì)方法

好的數(shù)學(xué)開(kāi)放題，能夠充分體現(xiàn)出新的教育教學(xué)理念，加大教改力度，對(duì)教學(xué)的目標(biāo)和學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)展方向具有指導(dǎo)意義.現(xiàn)行教材中開(kāi)放題數(shù)量較少，因此教師應(yīng)該掌握開(kāi)放題的設(shè)計(jì)方法.本文總結(jié)了如下四種方法：

（一）弱化成題的條件，使其結(jié)論多樣化

把原題目的條件減少一個(gè)或兩個(gè)，可以使題目的結(jié)論呈現(xiàn)開(kāi)放性.

例8已知等腰三角形的底角比頂角大15°，求各內(nèi)角的度數(shù).

可以將條件改為：等腰三角形的兩個(gè)內(nèi)角之差為15°.這樣就可以讓學(xué)生考慮到等腰三角形的內(nèi)角有底角和頂角之分，達(dá)到分類(lèi)討論思想訓(xùn)練的目的.

（二）在既定的條件或關(guān)系下，探討多種結(jié)論

對(duì)于一些題目，在其條件不變的前提下，可以把題目的結(jié)論刪去，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，從不同的角度去考慮，得到的結(jié)果往往不同，從而達(dá)到開(kāi)放的目的.

圖4

圖5

例9如圖4，矩形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O，且∠AOD=120°，你能說(shuō)明AC=2AB嗎？

可以將結(jié)論改為：你能從中得到什么結(jié)論？（至少寫(xiě)出三個(gè)）這樣改變就可以讓學(xué)生從邊、角、對(duì)角線(xiàn)、三角形等多方面去考慮題目的結(jié)論了.

（三）給出結(jié)論，尋求使結(jié)論成立的充分條件

給出題目的結(jié)論，讓學(xué)生尋找使結(jié)論成立的條件，同樣可以達(dá)到題目開(kāi)放的目的.

例10如圖5，在平行四邊形ABCD中，已知M和N分別是AB、DC邊上的中點(diǎn)，試說(shuō)明四邊形BMDN也是平行四邊形.

可以改為：如圖5，在平行四邊形ABCD中，要使四邊形BMDN也是平行四邊形，只需添加一個(gè)什么條件？

（四）加強(qiáng)結(jié)論，追加條件

對(duì)一個(gè)命題，對(duì)其結(jié)論進(jìn)行加強(qiáng)，以研究得到這個(gè)結(jié)論需增加些什么條件，可得到一些開(kāi)放題.

例11如圖6，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)G，CE與BF相交于點(diǎn)H，證明四邊形EHFG是平行四邊形.

圖6

可以把題目進(jìn)一步補(bǔ)充：當(dāng)添加什么條件時(shí)，可以使四邊形EHFG變?yōu)榱庑危?/p>

數(shù)學(xué)開(kāi)放題是一種能很好地培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的新題型，它的編制還有很多奧妙的地方，有待在以后的題目編制中進(jìn)一步的發(fā)掘.

1.中華人民共和國(guó)教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2001.

2.曾黃淑芳.初中數(shù)學(xué)開(kāi)放性題目初探［J］.考試周刊，2015（45）.

3.錢(qián)麗娟.數(shù)學(xué)開(kāi)放題研究及啟示［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（11）.H