基于對稱之美的解題教學*
——以對稱觀念統(tǒng)領(lǐng)下的全等教學為例

☉山東省濱州市北鎮(zhèn)中學初中部 邢成云

基于對稱之美的解題教學*
——以對稱觀念統(tǒng)領(lǐng)下的全等教學為例

☉山東省濱州市北鎮(zhèn)中學初中部 邢成云

一、設(shè)計緣起

通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，單就人教版八年級上冊涉及全等的內(nèi)容（全等三角形與軸對稱）中，具有對稱特征的題目比比皆是，其中有關(guān)軸對稱的題目53個，有關(guān)中心對稱的題目10個，可見其題目之多、遍布之廣.基于此，筆者感覺通過對稱觀念統(tǒng)領(lǐng)全等，可簡約思維，化多為少，真正起到減負增效的功用.因為它擺開了技法之繁，躍進為道法之簡，為此組織了本單元教學.第一課時為本節(jié)，重在形成對稱觀下的基本思路，題目的證明暫不求具體表達；第二課時為觀念統(tǒng)領(lǐng)下的演練，需要規(guī)范表達題目的證明與求解.兩節(jié)課作為一個教學單元，意在引導學生立足“對稱圖式”從審美的角度去審視數(shù)學，發(fā)展學生的幾何直觀，從“形”上的高度去理解數(shù)學，發(fā)展學生的學力、數(shù)學文化及核心素養(yǎng).

二、目標定位

（1）感知兩個三角形若處于軸（中心）對稱位置一定能全等，形成初步認知，提升解題策略.

（2）搭建引橋，通過對圖形的觀察，依靠直覺，幫助學生從圖形中有序、熟練地探尋出呈軸（中心）對稱的全等三角形，并從對稱的角度理解其用，感受對稱美，用之解決相關(guān)問題；進一步培養(yǎng)學生觀察、歸納、猜想和邏輯推理能力.

（3）嘗試應用軸（中心）對稱觀念，在聯(lián)想圖式的基礎(chǔ)上，構(gòu)造出對稱狀態(tài)的全等三角形，解決沒有現(xiàn)成的全等三角形時的幾何問題，進一步領(lǐng)會對稱觀念，發(fā)展幾何直觀，欣賞數(shù)學美，發(fā)展與創(chuàng)造數(shù)學之美.

三、重難點預置

利用軸（中心）對稱，構(gòu)造出全等三角形，既是重點又是難點.

四、教學程序

（一）賞美——先行組織，喚醒模型

問題1：如圖1，OC是∠MON的平分線，請你利用該圖畫一對以O(shè)C所在直線為對稱軸的全等三角形.

圖1

教學預設(shè)：學生嘗試構(gòu)圖，形成角平分線的常用作輔助線的方法（如圖2）.

圖2

（說明：其實“垂兩邊”是“分兩邊”的特例，由于各自形態(tài)均常見，為方便使用故此分列）

問題2：如圖3，請分別在BO與DO的延長線上取一點E，C，使得△OCE與△BOD成軸（中心）對稱.

教學預設(shè)：學生嘗試構(gòu)圖，形成共識，如圖4，如圖5.

圖3

圖4

圖5

設(shè)計意圖：兩個問題共同托出對稱之美，一個是基于角平分線的模型，一個是基于中點的模型，這些均是基本圖式，心中有了這些類似于代數(shù)中“公式”的“圖式”，樹立起運用基本“圖式”的意識，可發(fā)展學生的幾何直觀，面對問題心中就會有譜.這兩個問題就是想法讓學生心中有譜.

（二）尋美——圖中探視，尋出模型

1.初始尋美——探模型

問題3：如圖6，∠1=∠2，AD= AE.求證OB=OC.

圖6

教學預設(shè)：學生嘗試解答，師點睛——指向軸對稱認識，返扣圖2模型，體驗對稱之美.

分析：借助幾何直觀不難發(fā)現(xiàn)本題是對稱圖，要證OB=OC，只要證它們所在的兩個三角形全等即可，而圖中只有一對所在的三角形，但條件不足，有2個角但缺少一組邊的相等，不難聯(lián)想到向其他全等三角形去“借”，根據(jù)對稱性，可確定全等方向——△ADB與△AEC，條件已具備，至此思路打通.

點評：基于圖形的對稱美，聯(lián)想到全等是順乎自然的，圖中客觀存在著，關(guān)鍵在于一雙發(fā)現(xiàn)模型的眼睛，這個過程我們無妨稱之為“尋美”——歷經(jīng)兩個對稱性全等的探索.

2.高階尋美——新高地

問題4：如圖7，在OA、OB上分別截取OC=OD，CF=DE，連接CE、DF交于點P.

圖7

求證：射線OP是∠AOB的平分線.

教學預設(shè)：學生嘗試，阻力大，則組織學生討論，形成思路后，師點睛——指向軸對稱認識，返扣圖2模型，體驗對稱之美.

證明：由條件可知，OC=OD，OF=OE.又∠FOD=∠EOC，所以△ODF≌△OCE，所以∠OFD=∠OEC.又CF=DE，∠CPF=∠DPE，所以△CPF≌△DEP，所以PF= PE.又因為OF=OE，∠OFD=∠OEC，所以△OPF≌△OPE，所以∠FOP=∠EOP，所以O(shè)P是∠AOB的平分線.

點評：本題需要三個全等的支持，每個全等都是基于對稱的，這種對稱之美驅(qū)使著我們的深入探索，同時本題也給出了尺規(guī)作角分線的另外一種方法（在OA、OB上分別截取OC=OD，CF=DE，連接CE、DF交于點P，過點P作射線OP，則射線OP就是∠AOB的平分線）.如此一波三折，我們稱之為“高階尋美”——吹盡黃沙始見金.

設(shè)計意圖：用對稱觀點尋找全等三角形的過程就是尋找美、發(fā)現(xiàn)美的過程，就是幾何直觀發(fā)揮導航作用的過程，在這種意識的引領(lǐng)下，便于學生信心滿滿地去甄別、選擇出可用的條件，思路更容易形成、遷移更容易發(fā)生.

（三）創(chuàng)美——對稱引路，構(gòu)造模型

問題5：如圖8，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且BD=CD，求證：AB=AC.

教學預設(shè)：學生獨立思考，先行嘗試，估計軸對稱思路容易形成，但中心對稱的構(gòu)造可能有阻力，可全班交流，師引導學生返扣圖2模型、圖5模型，體驗構(gòu)造對稱帶來的愉悅情感.

分析：直接證明，限于所學無能為力，若抓住角分線這一關(guān)鍵條件可構(gòu)造對稱圖，讓思路浮出水面.

圖8

圖9

證明：如圖8，過點D分別向兩邊作垂線段DE、DF，可得DE=DF，結(jié)合BD=CD，通過HL可證Rt△DBE≌Rt△DCF，得∠B=∠C，進而AB=AC.或者利用面積，由BD=CD可得△DBA與△DCA等積，結(jié)合前文證明的DE= DF，可證AB=AC.另外，若抓住BD=CD（中點）這一條件，可構(gòu)造中心對稱（如圖9），延長AD至點E，使得DE=AD，連接CE，由于BD=CD，∠BDA=∠CDE，故△DBA≌△DEC，得AB=CE.∠BAD=∠E.又∠BAD=∠CAD，則∠E=∠CAD，即AC=CE，所以AB=AC.

點評：基于角分線構(gòu)造軸對稱，基于中點構(gòu)造中心對稱，都是對稱美的一種應用，是一種審美意識下的創(chuàng)美活動，同時也是一種幾何圖式的靈活應用.我們心中有了這些意識，面對問題思路就會開闊——正所謂“心中有丘壑，筆下生云煙”.

問題6：如圖10，△ABC中，∠A=90°，BD=2CE，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD延長線于點E.求證：AB=AC.

圖10

教學預設(shè)：學生先行嘗試，若阻力大可小組交流后全班交流，師引導學生返扣圖2模型，再次體驗構(gòu)造對稱帶來的數(shù)學之美.

分析：由于“BD平分∠ABC，CE⊥BD”，結(jié)合起來思考我們不難想到構(gòu)造對稱，延長CE交BA的延長線于點F，如圖10，易證△BEF≌△BEC，則FE=CE，又BD=2CE，所以BD= CF，再證△DBA≌△FCA即可.

點評：圖形本身就給人一種殘垣斷壁的感覺，補闕就是審美意識下的產(chǎn)物，化殘缺為圓滿，特別是有了角平分線、垂直等關(guān)鍵條件，我們?nèi)菀茁?lián)想到角分線的基本圖式，這種轉(zhuǎn)化也是對稱之美浸潤下的實踐行為.構(gòu)造圖式，創(chuàng)造圖形之美，美催生出思維的力量.

問題7：如圖11，在△ABC中，AB＞AC，AD是∠A的平分線，P為AD上的任意一點，求證：AB-AC＞PB-PC.

圖11

教學預設(shè)：同問題6（略）.

分析：基于角分線構(gòu)造對稱，在AB上截取線段AC′=AC，連接C′P，易證△AC′P≌△ACP，得C′P=CP，如此一來，求證的問題就成了△BC′P的三邊關(guān)系問題了.

點評：這是典型的角平分線背景下軸對稱的構(gòu)造，化線段不等問題為線段相等的問題，這本身就是一種辯證性轉(zhuǎn)化.

設(shè)計意圖：選擇這三個有代表意義的問題，意在全程展現(xiàn)圖2中角分線三個軸對稱模型的構(gòu)造之力，以及相關(guān)中點的中心對稱的構(gòu)造之諧，全方位地體現(xiàn)了對稱之美、創(chuàng)造之宜.返扣賞美環(huán)節(jié)，形成一節(jié)課的前后關(guān)聯(lián)，突出模型圖式的導航作用.

（四）尚美——活學活用，益美其美

問題8：如圖12，在△ABC中，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F，∠B=60°.請你判斷FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

圖12

教學預設(shè)：教學至此，學生有了一定的對稱意識，但本題有一定難度，嘗試后根據(jù)現(xiàn)場生成或追問或組織交流，及時跟進，把兩個基本思路都擺弄出來，回歸到圖2的模型中去，進一步感悟構(gòu)造對稱方法的可行性，突出其價值，體驗對稱之美.

圖13

圖14

思路1：如圖13，過點F作FG⊥BC于點G，作FH⊥AB于點H，作FM⊥AC于點M.因為AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，所以FG=FH=FM.因為∠B=60°，所以∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°.因為AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，所以∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=×120°=60°，即∠EFH+∠DFH=120°，又∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°.所以∠EFH=∠DFG.在△EFH和△DFG中，所以△EFH≌△DFG（AAS），所以EF=DF.

思路2：如圖14，在AC上截取AG=AE，連接FG.因為AD是∠BAC的平分線，所以∠1=∠2.

順承結(jié)論：AE+DC=AC.

問題9：如圖15，在△ABC中，BE與CD交于點O，并且BO=CO，∠EOC=∠A，OE＞OD，探究BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

教學預設(shè)：這是本節(jié)第一個回歸圖4的模型題，學生嘗試后，要視課堂動態(tài)去把握，最后返扣模型4，揭示出構(gòu)造的作用，體驗對稱之美.

圖15

圖16

分析：如圖16，在OE上截取OF=OD，因為BO=CO，∠FOC=∠DOB，則△DBO≌△FCO（SAS），所以FC=BD，∠FCO=∠DBO.因為∠EFC=∠EOC+∠FCO，∠FEC=∠A+∠DBO，又∠EOC=∠A，所以∠EFC=∠FEC，所以CE=CF，即BD=CE.（另外，本題還可以在左側(cè)構(gòu)圖，即在CD的延長線上截取OF=OE，連接BF，剩下的證明基本思路一）

設(shè)計意圖：選取兩道較大跨度的題目，把學生的思維引向深水區(qū)，但不管題目如何復雜，對稱的意識之下，不難尋到思路，把輔助線勾勒出來.第1題并攏了角平分線的兩個基本思路，第2題演練了課始的另外一個對稱的構(gòu)造，做到了前后照應，便于學生對這一思路的內(nèi)化.

（五）聚美——撿拾圖式，美不勝收

教學預設(shè)：通過集體回顧，形成圖式.

（1）基于角平分線的對稱（如圖2）.

（2）對稱全等三角的其他常見模型（如圖17）：

圖17

設(shè)計意圖：基本圖式恰如代數(shù)中的公式，若能內(nèi)化到學生的心中，就可以為解題帶來諸多方便.

（六）用美——家庭作業(yè)，見證收獲

（1）已知：如圖18，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，BD⊥AD.求證：∠1=∠2+∠C.

圖18

（2）已知：如圖19，AB=DC，AC=DB.求證：∠1=∠2.

圖19

（3）如圖20，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點O，且OB=OC.求證：AE=AD.

圖20

（4）如圖21，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于點E，CE的延長線交AP于點D.求證：AD+BC=AB.

圖21

（5）如圖22，BD平分∠ABC，∠BAD+∠C=180°，且AB＜BC.求證：AD=CD.

圖22

設(shè)計意圖：留5道作業(yè)題，大部分需要構(gòu)造輔助線，是基于對稱的輔助線，是數(shù)學之對稱美的落地，是對課堂成果的課后延伸性鞏固，也是老師診斷學生課堂掌握情況的重要憑證，老師根據(jù)學生完成情況，組織好第二課時的教學，第二課時的例題大部分銜接了本節(jié)的作業(yè)題，這也是前后一致、邏輯連貫的一種體現(xiàn).

五、設(shè)計反思

1.數(shù)學之美助力解題

數(shù)學問題浩如煙海，解題時很難找到一定的程式，也不可能有萬能的程式，可一旦題目提供的信息與學生的審美情感吻合，就會激起學生的審美直覺，在美的感召下，憑借美的直觀感受或深層的求美意識，領(lǐng)悟問題外顯的美或內(nèi)蘊的美，并以此為思維導向，迅速、正確地確定解題思路、解題方法等，或另辟新徑，獲得別開生面之妙解.基于這些認識，作為教師要善于組織起尚美的數(shù)學課堂，讓學生在解題實踐中感悟到數(shù)學解題也可以是一種審美活動，利用對稱三角形模型這些幾何圖式的直觀展開思考，就是在審美情感支配下對數(shù)學美的追求，可以使幾何問題的解決變得簡明，利于發(fā)展學生的幾何直觀和審美意識，有了這種意識，面對數(shù)學問題時，數(shù)學對稱美的直覺可以產(chǎn)生題感經(jīng)驗與審美直覺的諧振，以激發(fā)起數(shù)學思維中的關(guān)聯(lián)因素，激活學生的創(chuàng)新因子，解題思路就會在數(shù)學美的熏陶下汩汩而出.

2.對稱圖式優(yōu)化解題

通過本節(jié)課的解題實踐活動，積累對稱構(gòu)圖經(jīng)驗，在對稱美的內(nèi)力驅(qū)動下，逐步摸索出幾條活動經(jīng)驗，以啟迪學生思維，優(yōu)化解題的思路：

（1）處于對稱位置的三角形一定能證出全等，有了這個意識，便于鎖定圖形，展開定向性搜索思維；

（2）借力尚美心理造美，把非基本圖形化歸為基本圖形，把闕美之圖補益呈和諧之圖，發(fā)揮幾何圖式的引領(lǐng)作用；

（3）對稱直覺下的全等三角形可為其他三角形的全等輸送可用條件，起到鋪路搭橋的貫通作用；

（4）對稱觀點下構(gòu)造出對稱，有時候擺脫了三角形全等的證明，而直奔目標，大大縮短了求解的歷程，因此，本文的“對稱”并不一定是基于全等的應用，而是一種審美心向下的思維走勢，是一種方向性引領(lǐng)，引領(lǐng)我們走出困境、走向澄明.

1.姜琳琳.欣賞操作為激趣，教學用力在性質(zhì)——“軸對稱（第1課時）”教學的評析與商榷［J］.中學數(shù)學（下），2015（7）.

2.李樹臣.注重整體設(shè)計，突出幾何直觀——青島版義務教育教科書數(shù)學八年級下冊第十章“一次函數(shù)”簡介［J］.中學數(shù)學（下），2015（7）.H

*本文系山東省社科聯(lián)人文社會科學課題（基礎(chǔ)教育專項）《“快慢相宜”的整體化教學模式之延伸研究》（課題編號：16-ZX-JC-37）的階段性成果之一：觀念統(tǒng)領(lǐng)下整體化教學模式的教學設(shè)計；也是山東省教學研究課題《全息教學論下的跨越式教學》（課題編號：pt-20120126）的延伸研究成果之一.主持人：邢成云.