淺談“條件概率”教學設計

陳曉婕

【摘 要】 條件概率是高中概率教學的一個難點，學生難懂，教師難教，其教學引起了教師們的重視，諸多研究正逐步展開. 其中，王志軍老師的《“條件概率”教學設計》一文從實踐層面，給出了這一內容教學的諸多建議，頗有價值. 筆者根據(jù)其建議，結合自己的教學實踐，再深入談談對條件概率教學設計的三點建議，以就教于同行.

【關 鍵 詞】 條件概率；幾何概型；古典概型

一、設置情境，引入概念

學生在必修三已經學習過古典概型和幾何概型的概念，能夠準確理解隨機試驗、隨機事件的含義，并且能夠靈活運用分類或分步原理求解事件包含的基本事件的個數(shù)，這為本節(jié)學習條件概率做好了知識準備. 但條件概率對于學生是一個全新的概念，根據(jù)隨倩倩老師的研究《評估學生條件概率學習的困難》發(fā)現(xiàn)，學生在對條件概率的理解上存在許多錯誤的認知，如“因果偏見”、“時間順序偏見”、混淆P（AB）和P（AB）、混淆限制條件等[1]. 因此針對學生出現(xiàn)的問題，本文主要從“條件概率”教學中易出現(xiàn)的三個問題入手，再次深入探討了三個問題的解決方法.

從教師的角度分析，本節(jié)教學易出現(xiàn)如下問題：

1. 推導條件概率公式化定義的過程并不完備，此處王志軍老師也有提出，單純從古典概型角度的闡述會略去對幾何概型條件概率的研究[2]；

2. 僅指出0≤P（AB）≤1，教師可對P（AB）=0和1的特殊情況做適當處理，加深學生的理解；

3. 缺少對條件概率本質的闡述和直觀的圖形認識，抓不住概念的本質.

對此，教師可以根據(jù)新課程的要求，創(chuàng)設適當?shù)膯栴}情境，使學生參與到解決數(shù)學問題和發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的活動中去，經歷條件概率公式產生的過程. 例如：

例1：箱子里有紅、黃、白三個小球，現(xiàn)由甲、乙2名同學依次無放回地摸球，問乙同學摸到紅球的概率是多少？

解：B=“乙同學摸到紅球”，則所有可能發(fā)生的結果記為Ω{白紅，白黃，紅白，紅黃，黃白，黃紅}.

由古典概型，得P（B）

問題1：如果已知甲沒有摸到紅球，那么乙摸到紅球的概率又是多少呢？

我們分析問題1，已知甲在沒有摸到紅球的條件下去求乙摸到紅球的概率，這就是一個條件概率問題. 現(xiàn)在給出條件概率定義.

定義：一般地，若有兩個事件A、B，已知在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，記做：P（AB）.

問題1 （方法一）

解：設事件A=“甲沒有摸到紅球”，事件B=“乙摸到紅球”，則A={紅白，紅黃，黃白，黃紅}為我們所要研究的對象.

一方面，由古典概型，P（BA）

另一方面，由古典概型P（AB），代入上式，得到一個與計數(shù)無關的更為一般的公式：

這個公式就是條件概率公式，其中P（AB）表示事件AB同時發(fā)生的概率. 因此問題1還可以直接用條件概率公式求解.

問題1 （方法二）

說明：在問題1的方法二中，我們用條件概率公式 P（BA）=進行解答，清晰明了，言簡意賅，不僅加深學生對概念的理解，而且激發(fā)學生對條件概率公式靈活應用. 接下來我們再來看一個例題：

例2：如圖1，邊長為3的大正方形被平均分成9個部分，向大正方形內隨機投擲一個點（投中且不考慮邊界），記為Ω，設投中左上角的小正方形為事件A，投中陰影部分為事件B，求P（B）和P（BA）.

另一方面，在幾何概型中，若以m（A），m（AB）分別記事件A，AB所對應點集的測度（包括長度、面積和體積），且m（A）>0，則有P（AB）=，P（A）=.

同樣得到P（BA）

在一般情況下，我們把這個算式作為條件概率的定義.

一般地，設A、B為兩個事件，P（A）>0，稱P（BA）=為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率.

說明：問題的設置是為了使學生產生“心理缺口”，激發(fā)對本節(jié)的學習興趣. 同時，引例“摸球”來源于教材，做出改編的目的是為了避免“X1X2Y、X2YX1、YX1X2”等符號的干擾，給學生更加清晰直觀的認識. 從古典概型和幾何概型兩個方面進行歸納，引出條件概率的概念，目的是使學生體會公式的合理性.

二、抓住本質，深入理解

問題2：為什么P（B）≠P（BA）呢？

從韋恩圖的角度，這個公式可以理解為：已知樣本點落在了A中（事件A已經發(fā)生），求落在B中（事件B發(fā)生）的概率. 由于樣本點已經落在A中的條件下，又要落在B中，故要落在AB中（即事件AB發(fā)生）.

在這種觀點的理解下，原來的樣本空間Ω縮減成為了事件A所對應的樣本空間，原來事件B所對應的樣本空間縮減成為了事件AB所對應的樣本空間.[3]

可見，P（BA）與積事件P（AB）是不一樣的，且P（BA）=.

P（B）≠P（BA）的原因是樣本空間發(fā)生了變化.

問題3：樣本空間縮小后，P（BA）一定會大于P（B）嗎？

例3：（2011年湖南卷）如圖3，EFGH是以O為圓心，半徑為1的圓的內接正方形.

將一顆豆子隨機地扔到該圖內，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內”，則

說明：問題3的設置是為了糾正學生常見的認知錯誤，即認為樣本空間縮減后的概率就一定會變得比原來大. 但事實上，P（BA）不一定大于P（B），搞清樣本空間的變化才是把握條件概率的關鍵.

【參考文獻】

[1] 隨倩倩. 評估學生條件概率學習的困難[D]. 上海：華東師范大學，2012.

[2] 王志軍. “條件概率”教學設計[J]. 中小學數(shù)學，2012（6）：34-36.

[3] 朱賢良. 把握“縮減樣本空間”突破條件概率難點[J]. 河北理科教學研究，2015（1）：40-42.