矩形永磁鐵的磁力計算及其應用

柴 凱，楊慶超，朱石堅，樓京俊

（1.海軍工程大學 動力工程學院，武漢 430033；2.海軍工程大學 船舶振動噪聲重點實驗室，武漢 430033）

矩形永磁鐵的磁力計算及其應用

柴 凱1，楊慶超2，朱石堅2，樓京俊2

（1.海軍工程大學 動力工程學院，武漢 430033；2.海軍工程大學 船舶振動噪聲重點實驗室，武漢 430033）

負剛度結構可用于系統(tǒng)的低頻隔振，依據等效磁荷法建立矩形永磁鐵的磁力和剛度解析模型，得到實現(xiàn)負剛度的最優(yōu)磁鐵布置和充磁方向，并設計三磁體型準零剛度隔振系統(tǒng)。仿真結果表明，矩形磁鐵磁力和剛度計算模型準確，三磁體型準零剛度隔振器在不影響載荷性能的前提下具有優(yōu)越的低頻隔振性能。

振動與波；矩形磁鐵；負剛度；準零剛度；低頻隔振

機械設備振動是潛艇輻射噪聲的主要來源，隔振是控制振動向艇體傳遞的常用手段。降低固有頻率和實現(xiàn)共振峰附近振動的高效隔離是提高隔振系統(tǒng)性能的關鍵[1]，傳統(tǒng)的方法是通過降低系統(tǒng)剛度，但較低的剛度會使彈簧的靜態(tài)位移增大，導致系統(tǒng)的承載能力降低。準零剛度隔振器是通過合理選擇負剛度機構的幾何和剛度參數，將正負剛度彈性元器件并聯(lián)在靜平衡位置附近獲得零剛度的組合隔振器，系統(tǒng)的承載力由正剛度彈簧決定，負剛度元件用以減少系統(tǒng)動剛度，高靜低動的特性能有效解決低頻隔振下穩(wěn)定性和隔振效果之間的矛盾，并顯著擴大了隔振頻帶范圍[2]。準零剛度隔振技術實現(xiàn)的關鍵在于負剛度機構的設計和計算，基于永久磁鐵或電磁鐵的負剛度機構因為無機械摩損、噪聲小、無需潤滑、可引入半主動控制調節(jié)系統(tǒng)剛度和承載能力不受負剛度機構影響等優(yōu)點，引起了諸多學者的極大關注。Zhou等將結構梁、電磁鐵和永久磁鐵并聯(lián)設計了隔振器，通過調節(jié)電流的方向實現(xiàn)隔振器的半主動控制[3]；Li等通過磁環(huán)與橡皮膜結合設計了負剛度隔振器[4]；Tao等設計了六自由度的磁懸浮型準零剛度隔振系統(tǒng)[5]；Shan等利用氣囊和磁環(huán)結合設計了一種新型空氣彈簧減振器[6]；Zheng等對基于永磁鐵和電磁鐵的準零剛度隔振器進行了深入研究[7]；Yu等采用垂直線性線圈彈簧和兩個對稱的磁力彈簧組合設計了磁力準零剛度隔振器[8]。但上述文獻主要采用環(huán)形磁鐵，文中通過建立矩形磁鐵的磁力和剛度解析模型，并分析其負剛度特性，通過仿真優(yōu)化矩形磁鐵的布置方式、充磁方向和尺寸參數，將其應用于三磁體型準零剛度隔振器。

1 矩形磁鐵的磁力解析模型

1.1 點磁荷磁場強度的計算

對于面積為2a×2b矩形磁面，見圖1，磁荷面密度為σ，依據等效磁荷理論[9]，任意一點P的標量磁位的二維泊松方程

圖1 矩形磁面對P點的磁標量勢

其中Ui=x-(-1)ia，Vj=y-(-1)jb，W=z，

圖2 矩形磁體對P點的磁標量勢

對于體積為2a×2b×2c矩形磁鐵，被磁化后各磁偶極子在磁鐵內部均勻排列，N，S極首尾相連，只在兩個端面出現(xiàn)單一的正或負磁荷，見圖2。由靜磁學理論[10]，當充磁方向與磁鐵表面法線重合，釹鐵硼永磁材料的介質極化強度J、面磁荷密度σ和剩余磁感應強度Br三者相等，令Wk=-(-1)kc，根據H=- φP，在場點P對φP求梯度，可得P點磁場強度

其中εx=ln(r-V)，εy=ln(r-U)，

1.2 矩形磁鐵的磁力和剛度解析模型

設上下磁鐵均均勻充磁，下磁鐵尺寸為2a×2b×2c，介質極化強度為J，所在坐標系為O-XYZ；上磁鐵尺寸為介質極化強度為方向與下磁鐵相同，所在坐標系為坐標原點為見圖3。

圖3 上下矩形磁鐵的幾何模型

根據等效磁荷理論，兩塊磁鐵間的磁力由上、下磁鐵的上、下端面相互作用產生，兩塊充磁方向平行的靜磁能

當上下磁鐵充磁方向相同時F取正，反之則F取負，省略多重求和為零的項，可得

其中α=ln(r-U)，β=ln(r-V)，剛度可表示為力對位移的負導數，對式(10)分別在不同方向求導，并省略多重求和為零的項，可得

其中τx=Ulnβ+r，τy=Vlnα+r，τz=-2r-Ulnβ-Vlnα。

2 磁鐵布置方式和充磁方向的選擇

由上述分析可知，矩形磁鐵磁力與磁鐵的相對位置、磁鐵充磁方向、磁鐵幾何參數和剩余磁感應強度等密切相關。

實現(xiàn)準零剛度隔振器的負剛度曲線應滿足平衡位置某個鄰域內剛度小于零，關于平衡位置兩邊對稱且可微，且對于曲線2而言，由于負剛度系統(tǒng)不穩(wěn)定，還應將其位移控制在-a和a之間，如圖4所示。

圖4 負剛度的特征曲線

研究矩形磁鐵的負剛度機構的相對安裝位置和充磁方向條件。設三塊磁鐵的尺寸均為20 mm×20 mm×10 mm，磁鐵上下間隔h=20 mm，磁鐵左右間隔l=30 mm，根據磁鐵相對位置和充磁方向不同，分以下情況對中間磁鐵的剛度進行分析。

圖5(a)中三塊磁鐵沿Z軸間隔h布置，充磁方向相同，兩兩之間的磁力表現(xiàn)為吸引力。當上、下磁鐵固定，中間磁鐵沿Z軸上下運動時，kz=Kz(0,0,z-h)+Kz(0,0,z+h)，剛度曲線如圖6(a)所示，滿足負剛度曲線特征，但有位移限制；沿Y軸左右運動時，ky=2Ky(0,y,h)，剛度曲線見圖6(b)，具有正剛度特性，需將中間磁鐵的充磁方向改為垂直向下；沿X軸前后運動時，kx=Kx(x,0,h)=Ky(0,y,h)，也需將中間磁鐵的充磁方向改為垂直向下后才能用于準零剛度隔振器的設計。

圖5 矩形磁鐵的布置方式

圖6 垂直布置結構的剛度-位移曲線

圖5(b)中三塊磁鐵沿Y軸間隔l布置，充磁方向兩邊磁鐵相同，中間磁鐵與兩邊磁鐵相反。中間磁鐵沿Z軸上下運動時，磁鐵kz=-2Kz(0,l,z)，剛度曲線見圖7(a)，具有正剛度特性，需將中間磁鐵充磁方向改為垂直向上；沿Y軸左右運動時，ky=-Ky(0,y+l,0)-Ky(0,y-l,0)，剛度曲線見圖7(b)，具有負剛度特性，但有位移限制；沿X軸前后運動時，kx=-2Kx(x,l,0)，剛度曲線見圖7(c)，具有正剛度特性，需將中間磁鐵的充磁方向改為垂直向上，才能用于準零剛度隔振器的設計。

綜上分析，充磁方向平行時可用于準零剛度隔振器設計的組合有六種，如圖8所示。

3 磁鐵的尺寸優(yōu)化

以圖8中組合1為例，探究磁鐵間距和磁鐵幾何尺寸對負剛度曲線的影響。由圖9可知，h過大會導致剛度較小，無法抵消正剛度，不能降低系統(tǒng)固有頻率；h過小會導致負剛度非線性特征增大，無法與正剛度匹配，分析中給定h=20 mm。為了在具有較大負剛度的同時還有較好的線性特征，磁鐵組在X或Y方向可以并聯(lián)布置，相應方向上尺寸應較小，假設X方向并聯(lián)，故可將中間磁鐵尺寸定為10 mm×30 mm×15 mm。

圖7 垂直布置結構中的剛度-位移曲線

圖8 不同矩形磁鐵的負剛度結構組合

圖9 不同h下的剛度曲線

為了使結構緊湊，設上下磁鐵尺寸相同且滿足a＞5 mm，b＞15 mm，c＜7.5 mm，下面依次分析a、b和c的變化對Z向剛度的影響。令b=20 mm，c=6 mm，a在6mm-12 mm內間隔0.5取值，由圖10(a)可知，剛度隨著a的增加而減小，線性特征變好，但當a超過9 mm后，剛度減小但線性改善程度并不明顯，故取a=9 mm。令a=9 mm，c=6 mm，b在16 mm-22 mm內間隔0.5取值，由圖10(b)可知，剛度隨著b的增加而減小，線性特征變好，但當b超過20 mm后，剛度減小但線性改善程度并不明顯，故取b=20 mm。令a=9 mm，b=20 mm，c在1 mm-7 mm內間隔0.5取值，由圖10(c)可知，剛度隨著c的增加而增加，線性特征變化程度較小，取c=5 mm。

4 基于三磁體的準零剛度隔振器設計

基于磁引力的三磁體型準零剛度隔振器原理如圖11所示，永磁鐵C1和C3固定于基座上，中間磁鐵C2與隔振質量塊相連，通過約束使其只能上下運動，C2和C1、C3呈吸引力布置。設M=2.5 kg，K=600 N/m，三塊永磁鐵的充磁方向相同，上下磁塊尺寸為18 mm×40 mm×10 mm，中間磁塊尺寸為10 mm×30 mm×15 mm，Br=1.1 t，μr=1.05 t，h=30 mm。

圖12是三磁體Maxwell有限元仿真結構圖。由圖13可知，C2在平衡位置所受磁力為0，故將C2與質量塊連接不會影響彈簧的載荷性能；三磁體組成的負剛度元件能產生與載荷位移相同的力，使得系統(tǒng)的回復力和剛度減?。挥邢拊抡娼Y果與三磁體磁力解析模型結果吻合較好，驗證了文中采用磁力解析模型的準確性。由圖14可知，通過正負剛度的并聯(lián)，使得系統(tǒng)在位移區(qū)間-10 mm和10 mm內總剛度趨于0，從而能在小幅振動范圍內達到系統(tǒng)穩(wěn)定以實現(xiàn)低頻隔振。

圖10 尺寸參數對負剛度的影響

圖11 三磁體型準零剛度隔振器

圖12 三磁體有限元結構圖

圖13 三磁體型隔振器的力-位移曲線

圖14 三磁體型隔振器的剛度-位移曲線

5 結語

通過矩形磁鐵與機械彈簧并聯(lián)設計了三磁體型準零剛度隔振器。

（1）利用基于磁極化強度與磁偶極子之間的關系，計算出單位長度兩塊磁體之間的靜磁能，通過對靜磁能求導得到兩磁體間磁力。

（2）采用矩形磁鐵作為負剛度元件，通過合理選擇磁鐵布置方式和充磁方向，可使其負剛度區(qū)間范圍擴大，且在區(qū)間內剛度變化平緩。

（3）將磁鐵尺寸參數作為對象，對充磁方向相同的上、中、下磁鐵的剛度進行了優(yōu)化，并通過有限元分析驗證了解析模型的有效性。

（4）設計了三磁體型準零剛度隔振器，實現(xiàn)了高靜低動的剛度特性，能有效解決低動剛度和失穩(wěn)的矛盾，具有一定的工程應用價值。

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Magnetic Force Calculation of Rectangular Permanent Magnets and ItsApplication

CHAI Kai1,YANG Qing-chao2,ZHU Shi-jian2,LOU Jing-jun2
(1.College of Power Engineering,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China; 2.National Key Laboratory on Ship Vibration and Noise,Naval University of Engineering, Wuhan 430033,China)

Negative stiffness mechanism can be used to isolate low frequency vibration of systems.In this paper, analytical expressions of the magnetic force and stiffness of rectangular permanent magnets are derived by using the equivalent magnetic charge method.Meanwhile,the optimal arrangement and magnetization of the rectangular permanent magnets are obtained to accomplish the negative stiffness.Finally,the tri-magnet quasi-zero stiffness vibration isolation is designed.The simulation results show that the theoretical analysis is correct and the excellent low frequency vibration isolation performance is achieved without affecting the load ability.

vibration and wave;rectangular permanent magnets;negative stiffness;quasi-zero stiffness;low frequency vibration isolation

O328

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.06.010

1006-1355(2016)06-0051-05+66

2016-07-11

國家自然科學基金資助項目(51579242)；國家自然科學基金青年科學基金資助項目(51509253)

柴凱(1989-)，男，湖南省益陽市人，博士研究生，研究方向為艦船動力裝置振動噪聲控制。

朱石堅(1955-)，男，湖南省雙峰市人，教授，博士生導師。E-mail:hjcckll@sina.com