魅力七巧板

眭亞燕

七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造，是一千多年前的古代人民創(chuàng)造出來的益智游戲.它是把一塊正方形的木板分成七塊（如圖1），其中有五個直角三角形，一個平行四邊形和一個正方形.用七巧板可以拼出很多種圖形，如能拼出個數字（如圖2）或英文字母（如圖3），也能拼出幾何圖形、動物、建筑物等.

七巧板既是玩具又是學具，大家能在“玩”中學習，“玩”中開動腦筋，“玩”中動手操作.在拼擺活動中，挖掘七巧板游戲背后那些有價值的數學思想，會讓你獲得終身受益的思維方式.

一、七巧板的發(fā)展歷史

1.歷史淵源——從家具到玩具

宋朝有個叫黃伯思的人，對幾何圖形很有研究，他熱情好客，發(fā)明了一種用6張小桌子組成的“宴幾”——宴席用的矮腳桌.有趣的是每張幾形狀都不同，它們有一定的尺寸，既可單獨使用，又可根據所要拼成的桌面大小來調整，可大可小，圖形變化無窮.后來有人把它改進為7張桌組成的宴幾，可以根據吃飯人數的不同，把桌子拼成不同的形狀，比如3人拼成三角形，4人拼成四邊形，6人拼成六邊形……這樣用餐時人人方便，氣氛更好.再后來，有人把宴幾縮小到只有七塊板，并用它拼圖，演變成了一種玩具.因為它巧妙好玩，所以人們叫它“七巧板”.

到了明末清初，皇宮里經常用“七巧板”來慶賀節(jié)日和娛樂，拼成各種吉祥圖案和文字，故宮博物院至今還保存著當時的七巧板呢！18世紀，七巧板傳到國外，立刻引起了當地人極大的興趣，有些外國人通宵達旦地玩它，并叫它“唐圖”（Tangram），意思是“來自中國的拼圖”，它是世界公認的中國人創(chuàng)造的智慧游戲.1978年荷蘭人JoosfElffers編寫了一本有關七巧板的書，書中收集了1600種圖形，并被譯成多國文字出版.

2.數理淵源——從“矩”認識到勾股法

中國最權威的七巧板專家傅起鳳經過30多年的考據證明，認為七巧板的文化數理淵源來自人們對“矩”（直角三角形）的認識.桑下客在《正續(xù)七巧板圖合璧》序言中說：“七巧之妙，亦名合巧圖，其源出于勾股法.”傅起鳳考證：“七巧板最顯著的特點，是全部圖形都以矩為基礎構成，七巧游戲可以說是矩的游戲.”“我們的祖先對矩情有獨鐘，認識、研究、應用矩非常之早.中國古代的數學經典《周髀算經》和《九章算術》中，最早討論了矩的性質和勾股定理的應用問題，在世界科學史上具有極其重要的作用.”迄今為止，關于勾股定理的證明已有500余種，七巧板的歷史也許應該追溯到我國先秦的古籍《周髀算經》，其中有正方形切割術，并由之證明了勾股定理.但當時是將大正方形切割成四個同樣的三角形和一個小正方形，如圖4所示，當時還不是七巧板，僅僅是五巧板，現(xiàn)在的七巧板是經過一段歷史演變而來的.這個拼圖簡潔、明了，整個大正方形的面積等于其中四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，從而建立等式.經過簡單的代數推導過程，就能證明勾股定理了.

3.清朝改良——從七巧板到益智板

我們知道利用七巧板可以拼出許多巧妙的圖形.但是，由于七巧板的塊數較少，而且都是多邊形，因此拼出來的花樣必然會受到一定限制.清朝同治元年（1862年），有一個叫童葉庾的數學家將七巧板加以改進，發(fā)明了“益智板”.益智板有15塊，有些塊含有圓弧，其結構如圖5所示.15塊組件的形狀分別是：一個平行四邊形、兩個半圓、四個帶圓弧的L字形、四個三角形、兩個梯形和兩個L形.用益智板可以拼出一些造型復雜的圖案，如圖6所示，由于它拼出的圖形比七巧板更多、更美觀自然，因此能引起人們更大的興趣.

二、七巧板的拼圖悖論

所謂“悖論”就是有這樣一種命題：你說它是真的，那么它是假的；你說它是假的，那么它又是真的.歷史上出現(xiàn)過一些著名的悖論，如說謊者悖論，說的是公元前6世紀，古希臘克里特島的哲學家艾皮米尼蒂斯說：“所有克里特人都是說謊者.”如果這句話是真的，那么也就是說，克里特人艾皮米尼蒂斯說了一句真話，但是卻與他的真話——所有克里特人都是說謊者相悖；如果這句話不是真的，那么克里特人艾皮米尼蒂斯就不是說謊者，他說的話就應該是正確的，但顯然這與他說的那句話矛盾.所以無論怎樣也難以自圓其說，這就是著名的說謊者悖論.

簡簡單單的七巧板蘊含著許多有趣的數學問題，在數學和邏輯學中出現(xiàn)悖論，是科學家歷來十分關注的一個問題，也是一個十分有趣的問題.在七巧板的研究中，人們也發(fā)現(xiàn)了有趣的拼圖悖論.下面就讓我們來欣賞一下吧.為了便于表達，不妨設原正方形的邊長為2，則七巧板中的每條邊長都可以表示出來，如圖7所示，用這副七巧板拼出以下四幅圖形：

拼法一、二和拼法三、四分別所對應的圖形，外形看起來幾乎一模一樣，但實際上面積是不相等的.事實上，這些悖論曾引起過科學界的熱烈討論，隨著問題的解決，也極大地推動了科學，尤其是科學和邏輯學的發(fā)展.最后，聰明的你能否拼出圖8和圖9中的悖論圖呢？

（作者單位：江蘇省常州市新北區(qū)浦河實驗學校）