尋找突破口，挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)中的綜合性試題

李姣中

綜合性試題是一道多知識點(diǎn)、探究型試題，它對學(xué)生的要求極高，考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力、正確理解問題的能力、整體分析問題和解決問題的能力及對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法得心應(yīng)手的駕馭能力和較強(qiáng)的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。另外，還必須具有強(qiáng)大的心理素質(zhì)。

一、以動(dòng)態(tài)問題為例，客觀理性分析，尋找變與不變量

初中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)問題包括動(dòng)點(diǎn)問題、動(dòng)線問題、動(dòng)面問題，體現(xiàn)了軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形變換，動(dòng)態(tài)問題審題過程中要求學(xué)生用運(yùn)動(dòng)和變化的眼光觀察和研究問題，把握運(yùn)動(dòng)變化的全過程，尋求運(yùn)動(dòng)變化中的不變量，立足于不變關(guān)系及特殊關(guān)系，動(dòng)中求靜，以靜制動(dòng)，窺視變量與不變量間的關(guān)聯(lián)，找出解決問題的突破口。為尋找問題的切入點(diǎn)和突破口，學(xué)生在審題時(shí)應(yīng)注重量與量間存在的聯(lián)系，從而挖掘出解題思路和方法，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

二、綜合性試題中蘊(yùn)含的常見數(shù)學(xué)思想方法

1.分類討論思想。

分類討論思想是將問題可能出現(xiàn)的情況按一定原則，一一進(jìn)行研究討論，匯總結(jié)果，得出正確答案的重要思想方法，能確保解題的完整性，以免掉進(jìn)題目設(shè)計(jì)的陷阱中。如直角三角形的存在性問題，要考慮三個(gè)頂點(diǎn)都有可能是直角頂點(diǎn)，大方向可分為三類：（1）∠A為直角，（2）∠B為直角，（3）∠C為直角；兩個(gè)三角形相似時(shí)，要注意點(diǎn)間的對應(yīng)關(guān)系，相等角所對的頂點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)。

2.數(shù)形結(jié)合思想。

數(shù)形結(jié)合思想是指把問題中的數(shù)量關(guān)系與形象直觀的幾何圖形有機(jī)結(jié)合起來，并充分利用這種結(jié)合尋找解題的思路，使問題得到解決的思想方法。在分析問題過程中，把圖形性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題，或者把數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)問題，通過建立點(diǎn)與數(shù)即坐標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系，一方面可用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)，另一方面可借助幾何直觀，得到某些代數(shù)問題的解答。

3.化歸與轉(zhuǎn)化思想。

化歸與轉(zhuǎn)化思想是化未知為已知，把復(fù)雜的問題簡單化，把生疏的問題熟悉化，把非常規(guī)問題化為常規(guī)問題，把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，實(shí)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)問題間的相互轉(zhuǎn)化。

4.方程與函數(shù)思想。

結(jié)合函數(shù)圖像和性質(zhì)，加以分析，把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題。如求直角坐標(biāo)系中，拋物線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組的求解問題，方程組的解即為兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)；確定函數(shù)解析式需要用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為方程或方程組求解。

三、教學(xué)反思和建議

針對綜合性試題的解決，筆者提出幾點(diǎn)觀點(diǎn)和建議：

1.注重自信心培養(yǎng)，克服恐懼感。

考試中，絕大多數(shù)學(xué)生做綜合性試題時(shí)，不認(rèn)真審題，易放棄，導(dǎo)致學(xué)生未批先失分。原因?yàn)閷W(xué)生在較短時(shí)間里難以理清各種關(guān)系，在問題轉(zhuǎn)化上，在解題策略選擇上難以一下子找到合理途徑，從而內(nèi)心存在對此類題的恐懼感，擔(dān)心浪費(fèi)時(shí)間。因此，平常訓(xùn)練中注意常規(guī)題和高頻考題訓(xùn)練和加強(qiáng)，由易到難、由淺到深地進(jìn)行訓(xùn)練，給予數(shù)學(xué)思想方法的引導(dǎo)和充分的肯定，使學(xué)生形成做題的模型和思路，加強(qiáng)做正確的決心，培養(yǎng)學(xué)生的成就感和自信心。

2.注重審題分析過程，嘗試大膽猜想。

正確審題是做好試題的關(guān)鍵，分析問題是做好試題的思路導(dǎo)向。認(rèn)真審題、理解題意、探究解題思路，才能正確解答。審題要全面審視題目的所有條件和答題要求，在整體上把握試題特點(diǎn)、結(jié)構(gòu)，以利于解題方法的選擇和解題步驟的設(shè)計(jì)。解數(shù)學(xué)壓軸題要善于總結(jié)題目中隱含的數(shù)學(xué)思想，如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想及方程思想等。認(rèn)識條件和結(jié)論之間的關(guān)系、圖形的幾何特征與數(shù)、式的數(shù)量、結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系，確定解題思路和方法。當(dāng)思維受阻時(shí)，要及時(shí)調(diào)整思路和方法，并重新審視題意，注意挖掘隱蔽的條件和內(nèi)在聯(lián)系，由此大膽猜測結(jié)論，用所學(xué)知識進(jìn)行分析歸納，進(jìn)而嚴(yán)密地推理論證。

3.重基礎(chǔ)和計(jì)算能力，不要盲目追新求難。

盲目追新求難，忽視基礎(chǔ)，其結(jié)果必然是得不償失的。事實(shí)證明：相當(dāng)一部分學(xué)生在壓軸題上的失分，并不是沒有解題思路，而是錯(cuò)在非?；镜母拍钌匣蜉斣诤唵蔚挠?jì)算上，因此復(fù)習(xí)過程中，要重基礎(chǔ)知識間的串聯(lián)和計(jì)算能力培養(yǎng)，對特定題講解并要求學(xué)生打上重點(diǎn)符號，造成學(xué)生思維上的刺激，強(qiáng)化記憶。把工夫和時(shí)間花在夯實(shí)基礎(chǔ)、總結(jié)歸納、打通思路、總結(jié)規(guī)律、提高分析能力上。

4.注重知識間的銜接，適當(dāng)補(bǔ)充高中知識。

5.注重一題多解的灌輸，讓學(xué)生對知識和方法融會貫通。

綜合性試題不宜過多盲目訓(xùn)練，不僅不會促進(jìn)學(xué)生思維能力發(fā)展、技能形成，反而易使學(xué)生疲勞，興趣降低。對于同一道題，從不同角度分析研究，可能會得到不同啟示，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多解訓(xùn)練，通過廣泛聯(lián)想，學(xué)生思維觸角伸向不同方向、不同層次，不僅能鞏固所學(xué)知識，而且能較好地培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和靈活性。

6.注意書寫的規(guī)范性。

書寫規(guī)范不僅字要寫得美觀，還要注意書寫步驟規(guī)范，明確寫完這一步后下一步怎么寫，嚴(yán)防重結(jié)果輕過程。對于常規(guī)題的書寫過程要求學(xué)生先寫，對于復(fù)雜的過程則要求學(xué)生和我一起寫，然后學(xué)生再自己書寫一遍，隨機(jī)抽查。

總之，綜合性題覆蓋知識面廣、綜合性強(qiáng)，平時(shí)訓(xùn)練中要重視基礎(chǔ)知識間的聯(lián)系、基本技能訓(xùn)練和數(shù)學(xué)思想方法培養(yǎng)，充分發(fā)揮學(xué)生自主能動(dòng)性，讓學(xué)生以自信樂觀的心態(tài)面對數(shù)學(xué)問題。