2024年新高考卷立體幾何解答題的分析及對作業(yè)命制的啟示

2 試題特征分析

2.1 相同點分析

（1）空間關(guān)系的綜合考查

新課標(biāo)Ⅰ卷中的四棱錐P-ABCD涉及到點、線、面之間的垂直與平行關(guān)系，考生需要靈活運用平行和垂直的定義與性質(zhì)對空間圖形的三維位置關(guān)系進(jìn)行合理推導(dǎo).新高考Ⅱ卷的題目則通過對平面四邊形ABCD的分析，引入了折疊變換，將二維問題轉(zhuǎn)化為三維問題，通過對△AEF的折疊，問題的解答涉及到了空間中不同平面元素間的關(guān)系，如EF與PD之間的垂直關(guān)系，這同樣考查了考生對空間圖形關(guān)系的理解與掌握.

（2）二面角的考查

二面角是立體幾何的重要內(nèi)容，兩道真題都涉及到了這一考點.新課標(biāo)Ⅰ卷要求考生根據(jù)二面角A-CP-D的正弦值求AD，這是對空間幾何中的一個經(jīng)典問題的考查.類似地，新高考Ⅱ卷也涉及到二面角的考查，題目要求求解面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值.盡管題目背景有所不同，但兩道題目均考查了考生對二面角的理解以及計算能力.這種考查方式不僅要求考生掌握二面角的定義與性質(zhì)，還要求他們能夠靈活運用三維空間中的幾何關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)與計算.

（3）向量法與幾何推理的結(jié)合

兩道題目都隱含了向量法與幾何推理的結(jié)合應(yīng)用.雖然題目本身可能并未明確要求使用向量法，但在解答過程中，考生可以選擇通過向量的方式來簡化計算與推理.在新課標(biāo)Ⅰ卷中，考生可以借助向量分析來證明AD∥平面PBC，或者計算二面角的正弦值.而在新高考Ⅱ卷中，考生同樣可以利用向量法分析EF與PD的垂直關(guān)系，或者推導(dǎo)出二面角的正弦值.

2.2 不同點分析

（1）空間圖形的復(fù)雜性與多樣性

新課標(biāo)Ⅰ卷的立體幾何題目主要圍繞四棱錐展開，這是一個典型的立體幾何模型，涉及到空間中點、線、面之間的關(guān)系.而新高考Ⅱ卷的題目則從平面圖形出發(fā)，通過折疊操作將問題延展到三維空間，這種設(shè)計使得題目在考查立體幾何知識的同時，兼顧了平面幾何的基本內(nèi)容，考生不僅要掌握基本的空間幾何知識，還需要在圖形變化的過程中保持清晰的空間想象力.

（2）變換與動態(tài)幾何的引入

新高考Ⅱ卷的題目通過折疊操作將原本的平面幾何問題轉(zhuǎn)化為立體幾何問題，這引入了動態(tài)幾何的概念，這種動態(tài)幾何的考查要求考生具備較強的空間想象能力，能夠預(yù)見圖形變換后的結(jié)果，并準(zhǔn)確判斷新的幾何關(guān)系.相比之下，新課標(biāo)Ⅰ卷的題目在解題過程中并未涉及動態(tài)幾何的內(nèi)容，主要考查的是靜態(tài)的空間關(guān)系.

（3）綜合應(yīng)用與創(chuàng)新思維的不同

通過將平面幾何問題延伸到立體幾何，并引入折疊變換的元素，新高考Ⅱ卷的題目在考查考生幾何能力的同時，也強調(diào)了他們在新情境下的應(yīng)變能力與創(chuàng)新思維.這種創(chuàng)新性考查不僅要求考生具備扎實的幾何基礎(chǔ)，還要求他們能夠靈活運用所學(xué)知識，在復(fù)雜多變的題目情境中作出準(zhǔn)確的推理與判斷.而新課標(biāo)Ⅰ卷則更注重對傳統(tǒng)幾何知識的考查，要求考生在固定的空間圖形中進(jìn)行較為直接的推導(dǎo)與證明.

3 關(guān)于作業(yè)命制的啟示

3.1 結(jié)合立體幾何與平面幾何，加強空間思維訓(xùn)練

在立體幾何解答題的作業(yè)設(shè)計中，應(yīng)充分結(jié)合平面幾何與立體幾何的內(nèi)容，通過多角度、多層次的作業(yè)設(shè)計，促進(jìn)學(xué)生的空間思維能力的發(fā)展.像新高考Ⅱ卷的題目設(shè)計不僅考查了學(xué)生對空間關(guān)系的理解，還強化了他們在立體幾何中的思維轉(zhuǎn)換能力.因此，作業(yè)命制時應(yīng)設(shè)計一些能夠從平面幾何延伸到立體幾何的問題，讓學(xué)生在不同的幾何維度之間進(jìn)行思維遷移.此類作業(yè)可以包括通過折疊、旋轉(zhuǎn)等幾何變換，將平面幾何問題轉(zhuǎn)換為立體幾何問題的題目，幫助學(xué)生自如地運用平面幾何的知識進(jìn)行推導(dǎo)與驗證，從而提高空間想象力和幾何思維能力.

3.2 強化二面角與幾何關(guān)系的綜合應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)作業(yè)的命制應(yīng)注重二面角與多種幾何元素的綜合應(yīng)用，幫助學(xué)生掌握空間幾何中的核心概念和復(fù)雜關(guān)系.本文中的兩道題目均涉及二面角的求解，分別在四棱錐與折疊后立體幾何體中展現(xiàn)了二面角的計算過程.作業(yè)命制時，教師應(yīng)設(shè)計一些涉及二面角的題目，不僅要考查學(xué)生對二面角定義及計算的掌握，還要結(jié)合垂直、平行等幾何關(guān)系，要求學(xué)生在解答過程中綜合運用立體幾何、三角函數(shù)以及向量等知識進(jìn)行推理.這類題目應(yīng)當(dāng)注重場景的多樣性，如不同幾何體間的二面角計算、結(jié)合向量法進(jìn)行幾何關(guān)系的推導(dǎo)等，提高應(yīng)對復(fù)雜幾何背景的能力，從而提升學(xué)生的綜合解題能力和應(yīng)用能力.

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