解析幾何中的思維方法

王朝璇

整體考慮、一氣呵成

例1 已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的一個(gè)焦點(diǎn)為[（5，0）]，離心率為[53].

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)[P（x0，y0）]為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)[P]到橢圓[C]的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)[P]的軌跡方程.

解析 （1）[x29+y24=1.]

（2）思考一：如何求橢圓的切線方程；思考二：由于橢圓C的兩條切線相互垂直，其斜率之積為[-1]，尋找關(guān)于斜率[k]的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理整體解決問題.

解決問題時(shí)，要先從特殊情況入手，若一條直線垂直于[x]軸，另一條直線垂直于[y]軸，這樣的點(diǎn)一共有四個(gè)，其坐標(biāo)為[-3，2，-3，-2，3，2，3，-2]，四點(diǎn)都在圓[x2+y2=13]上.

再考慮一般情況，當(dāng)兩條切線不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)切線方程為[y-y0=k（x-x0），]將其代入橢圓方程[x29+y24=1]，整理得，

[ （9k2+4）x2+18k（y0-kx0）x+9（y0-kx0）2-4=0].

由于直線與橢圓相切，所以

[Δ=（18k）2（y0-kx0）2][-36（y0-kx0）2-4 （9k2+4）=0].

整理得，[（x02-9）k2-2x0y0k][+y02-4=0].

由于兩條切線互相垂直，

所以[k1k2=y02-4x02-9=-1]，即[x02+y02=13].

又四點(diǎn)[-3，2，-3，-2，3，2，3，-2]也滿足方程，

故點(diǎn)[P]的軌跡方程為[x2+y2=13].

點(diǎn)評(píng) 本題看似簡(jiǎn)單，但是計(jì)算量比較大，很多同學(xué)中途棄筆，無(wú)功而返，得分極低.

合理配湊、渾然一體

例2 如圖，設(shè)橢圓[C：x2a2+y2b2=1a>b>0]，動(dòng)直線[l]與橢圓[C]只有一個(gè)公共點(diǎn)[P]，且點(diǎn)[P]在第一象限. 若過(guò)原點(diǎn)[O]的直線[l1]與[l]垂直.

證明：點(diǎn)[P]到直線[l1]的距離的最大值為[a-b].

解析 思考：“最值問題，函數(shù)思想”，即將點(diǎn)[P]到直線[l1]的距離表示為某一個(gè)變量的函數(shù). 圓錐曲線中的最值問題的解決方法一般有兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.

由題意知，直線[l]與橢圓[x2a2+y2b2=1]相切，[P]為切點(diǎn)，設(shè)[P（x0，y0）]，[x0>0，y0>0].

則橢圓[x2a2+y2b2=1]在[P]點(diǎn)處的切線[l]的方程為[x0xa2+y0yb2=1].

則直線[l1]的方程為[a2y0x-b2x0y=0].

則[P]點(diǎn)到直線[l1]的距離為[d=a2y0x0-b2x0y0a4y20+b2x20].

對(duì)照證明目標(biāo)的模式，我們將其進(jìn)行變形，[d=a2-b2a4x20+b4y20]，考查其分母， 注意到[x20a2+y20b2=1]，采用1的代換進(jìn)行整體配湊.

則[a4x20+b4y20=a4x20+b4y20x20a2+y20b2]

[=a2+b2+a4y20b2x20+b4x20a2y20]

[≥a2+b2+2ab=a+b2].

當(dāng)[a4y20b2x20=b4x20a2y20]，即[y20x20=b3a3]時(shí)，等號(hào)成立.

所以[d≤a2-b2a+b=a-b].

所以當(dāng)[y20x20=b3a3]時(shí)，[d]的最大值為[a-b].

點(diǎn)評(píng) 解決此題的關(guān)鍵是合理配湊，這樣可以化繁為簡(jiǎn).

特殊探路、以退為進(jìn)

例3 已知拋物線[C：y2=2px（p>0）]的焦點(diǎn)為[F]，[A]為拋物線[C]上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)[A]的直線[l]交拋物線[C]于另一點(diǎn)[B]，交[x]軸的正半軸于點(diǎn)[D]，且有[|FA|=|FD|]. 當(dāng)點(diǎn)[A]的橫坐標(biāo)為3時(shí)，[△ADF]為正三角形.

（1）求拋物線[C]的方程；

（2）若直線[l1//l]，且[l1]和拋物線[C]有且只有一個(gè)公共點(diǎn)[E]，證明：直線[AE]過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

解析 （1）[y2=4x].

（2）根據(jù)直覺，定點(diǎn)一般是直線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn). 可以先考慮特殊情況，點(diǎn)[A]的橫坐標(biāo)為3，[△ADF]為正三角形時(shí)，求出直線[AE]與x軸的交點(diǎn)，然后在一般形式中進(jìn)行證明.

①由題意知，當(dāng)點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為[3，23]時(shí)，[kl=-3].

由[l1∥l]知，在點(diǎn)[E][xE，yE]處的切線的斜率為[k=2yE=-3]，即[E][13，-233].

因此直線[AE]的方程為[y-23=3x-3]，即直線過(guò)點(diǎn)[1，0].

②在一般形式中進(jìn)行證明.

設(shè)點(diǎn)[A（x0，y0）（x0y0≠0），D（xD，0）（xD>0）.]

由（1）得，[F（1，0）].

由[|FA|=|FD|]得，[x0+1=xD-1]，即[Dx0+2，0]，此時(shí)[kAD=-y02].

因?yàn)樵邳c(diǎn)[E][xE，yE]處的切線的斜率為[k=2yE]，

由[l1∥l]得，[2yE=-y02].

所以[E][4y20，-4y0].

直線[AE]的方程為[y-y0=y0+4y0x0-4y20x-x0].

注意到[x0=y204]，當(dāng)[y20≠4]時(shí)，直線[AE]的方程為[y-y0=4y0y20-4x-y204]，即[y=4y0y20-4（x-1）].

顯然，直線過(guò)定點(diǎn)[1，0].

當(dāng)[y20=4]時(shí)，直線[AE]的方程為[x=1]，也過(guò)點(diǎn)[F（1，0）.]

故直線[AE]過(guò)定點(diǎn)[F（1，0）.]

點(diǎn)評(píng) 這樣解題，看似有些重復(fù)，但是，有了特殊的結(jié)論，鎖定目標(biāo)，有的放矢.

設(shè)而不求、借水行舟

例4 在直角坐標(biāo)系[xOy]中，曲線[C：y=x24]與直線[y=kx+a（a>0）]交于[M，N]兩點(diǎn). 在[y]軸上是否存在點(diǎn)[P]，使得當(dāng)[k]變動(dòng)時(shí)，總有[∠OPM=∠OPN]？說(shuō)明理由.

解析 這是個(gè)探索性問題，先假設(shè)結(jié)論存在，再結(jié)合已知條件進(jìn)行推理求解. 若能推出合理結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)證成立即可肯定結(jié)論正確；若推出矛盾，即否定假設(shè).

假設(shè)[點(diǎn)P0，b]符合題意. 設(shè)[Mx1，y1，Nx2，y2]，直線[PM，PN]的斜率分別為[k1，k2]，

將[y=kx+a]代入曲線[C]的方程得，

[x2-4kx-4a=0].

故[x1+x2=4k，x1x2=-4a.]

[從而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+（a-b）（x1+x2）x1x2]

[=k（a+b）a.]

當(dāng)[b=-a]時(shí)，有[k1+k2=0].

則直線[PM，PN]的傾角互補(bǔ).

所以[∠OPM=∠OPN.]

[故點(diǎn)P0，b符合條件.]

點(diǎn)評(píng) 在這里，我們?cè)O(shè)出[M，N]坐標(biāo)，但是不求出它們的坐標(biāo)，而是利用韋達(dá)定理，將其代入[k1+k2]中，從而得出相關(guān)結(jié)論. 此法通常稱為“設(shè)而不求法”.

變換坐標(biāo)、出奇制勝

例5 已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]）的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

（1）求橢圓[C]的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)F為橢圓[C]的左焦點(diǎn)，[T]為直線[x=-3]上任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線交橢圓[C]于點(diǎn)P，Q，當(dāng)[|TF||PQ|]最小時(shí)，求點(diǎn)[T]的坐標(biāo).

解析 （1）[x26+y22=1].

（2）涉及過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題，用圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程求解比較簡(jiǎn)單.

如上圖，以橢圓[C]的焦點(diǎn)為極點(diǎn)，以[FX]為極軸建立極坐標(biāo)系.

則橢圓[C]的極坐標(biāo)方程為[ρ=26-2cosθ]，其中[∠XFQ=θ].

則[PQ=ρ1+ρ2=26-2cosθ+26-2cosθ+π]

[=261+2sin2θ.]

設(shè)原題中的直線[x=-3]為直線[l]，反向延長(zhǎng)[FX]，交[l]于點(diǎn)[S].

在[△TSF]中，[TF⊥PQ]，[∠TFS=π2-θ]，[SF=1].

則[TF=1cosπ2-θ=1sinθ].

所以[|TF||PQ|=1261sinθ+2sinθ≥33]，當(dāng)且僅當(dāng)[sinθ=±22]時(shí)，[|TF||PQ|]取得最小值[33].

此時(shí)點(diǎn)T的坐標(biāo)為[（-3，1）]或[（-3，-1）].

點(diǎn)評(píng) 我們的教材有坐標(biāo)系和參數(shù)方程的選修內(nèi)容，各地的高考題也將極坐標(biāo)和參數(shù)方程作為選考內(nèi)容. 考綱中，要求“理解用方程表示平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義”. 但是很多學(xué)校是為考試而選取課本上的內(nèi)容進(jìn)行講授，其內(nèi)容一般是直線、圓的極坐標(biāo)方程以及直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程的互化等，而沒有講授圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程. 我認(rèn)為，圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程這一節(jié)的內(nèi)容比較簡(jiǎn)單，用它解決圓錐曲線中的焦點(diǎn)弦問題格外奏效，花一些時(shí)間去學(xué)習(xí)是值得的.