構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò),做到心中有數(shù)
經(jīng)過高一、高二分章節(jié)的學(xué)習(xí)和高三分章節(jié)復(fù)習(xí),大腦所積累的知識往往是零碎的、凌亂的和不成體系的,如果不對其有序建構(gòu),解題時(shí)就很難把握其切入點(diǎn),經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“似曾相識,但又千呼萬喚不出來”的情況.下面是解析幾何模塊的知識網(wǎng)絡(luò).
[空間坐標(biāo)系與向量][直線][圓][直線與圓、圓錐曲線][函數(shù)與導(dǎo)數(shù)][橢 圓][雙曲線][拋物線][參數(shù)方程與極坐標(biāo)][定義、方程、性質(zhì)][圓 錐 曲 線]
例1 在直角坐標(biāo)系[xOy]中,曲線[C: y=x24]與直線[l:y=kx+a(a>0)]交于[M,N]兩點(diǎn).
(1)當(dāng)[k=0]時(shí),分別求曲線[C]在點(diǎn)[M,N]處的切線方程;
(2)在[y]軸上是否存在一點(diǎn)[P],使得當(dāng)[k]變動(dòng)時(shí),總有[∠OPM=∠OPN]?說明理由.
答案 (1)[ax-y-a=0]和[ax+y+a=0]
(2)點(diǎn)[P(0,-a)]符合題意
點(diǎn)評 本題涉及直線的傾斜角與斜率、圓錐曲線(拋物線)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、推理與證明等知識,缺少任何一個(gè)點(diǎn),都會(huì)使本題半途而廢. 只有建立起各知識點(diǎn)之間的聯(lián)系,形成知識網(wǎng)絡(luò),才能在解決問題時(shí)做到有條不紊、對號入座,才能快速、準(zhǔn)確地提取到有關(guān)知識,實(shí)現(xiàn)知識的遷移和綜合應(yīng)用.
構(gòu)建方法網(wǎng)絡(luò),做到一題多解
解題是檢驗(yàn)復(fù)習(xí)效果的有效途徑,而高效解題離不開解決問題的方法. 對同一問題從不同的角度(如“數(shù)”“形”等)去分析,則可得到不同的解法. 通過比較,可選擇最優(yōu)的解法,這樣不僅能看透問題的本質(zhì),更有助于提高分析問題以及綜合、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.
例2 已知橢圓[C:x24+][y23=1],過其右焦點(diǎn)[F]的直線[l]與該橢圓交于[A,B]兩點(diǎn),若[AF=2FB],求直線[l]的方程.
解析 方法一(普通方程):設(shè)直線[l]的方程為[x=ky+1],直線與橢圓的交點(diǎn)為[A(x1,y1),][B(x2,y2)],
則由[AF=2FB]得,[(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2)].
故[y1=-2y2]. (1)
將[x=ky+1]代入[x24+y23=1]得,
[(3k2+4)y2+6ky-9=0].
則[y1+y2=-6k3k2+4], (2) [y1y2=-93k2+4]. (3)
由(1)(2)(3)消去[y1,y2]得,[k=±255].
故所求直線的方程為[y=±255(x-1)].
方法二(參數(shù)方程):設(shè)直線[l]的方程為[x=1+tcosα,y=tsinα](其中[t]為參數(shù),[α]為[l]的傾斜角).
代入[x24+y23=1]得,[(3+sin2α)t2+6tcosα-9=0].
則[t1+t2=-6cosα3+sin2α], (1) [t1t2=-93+sin2α]. (2)
又由[AF=2FB]得,[t1=-2t2]. (3)
由(1)(2)(3)消去[t1,t2]得,[cosα=±23],故[tanα=±52.]
從而直線的方程為[y=±52(x-1)].
方法三(極坐標(biāo)方程):由[x24+y23=1]得,橢圓的離心率為[12],焦準(zhǔn)距為3. (如上圖)以[F]為極點(diǎn)的該橢圓的極坐標(biāo)方程為[ρ=321+12cosθ],即[ρ=32+cosθ].
設(shè)直線的傾斜角為[α],由[AF=2FB]得,
[32+cosα=2×32+cos(π+α)],
或[2×32+cosα=32+cos(π+α)].
從而[cosα=±23],則[tanα=±52].
從而直線的方程為[y=±52(x-1)].
點(diǎn)評 知識是方法的基礎(chǔ),構(gòu)建解題方法網(wǎng)絡(luò),是構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)的延拓.本題從直線“方程”形式層面另辟蹊徑,實(shí)現(xiàn)了“焦點(diǎn)弦”問題的一題多解.
構(gòu)建題型網(wǎng)絡(luò),做到多題一解
直線與圓錐曲線問題幾乎是高考命題不變的旋律,盡管其題型較多,但其解決問題的方法幾乎只有一個(gè),那就是“設(shè)而不求”,下面是解析幾何題型網(wǎng)絡(luò),僅供參考.
[直線與曲線位置關(guān)系][弦長、面積問題][定(中)點(diǎn)弦、定長弦][定點(diǎn)、定值問題][范圍、最值問題][設(shè)而不求法][探究性問題]
例3 設(shè)圓[x2+y2+2x-15=0]的圓心為[A],直線[l]過點(diǎn)[B(1,0)]且與[x]軸不重合,[l]交圓[A]于[C,D]兩點(diǎn),過[B]作[AC]的平行線交[AD]于點(diǎn)[E].
(1)證明:[EA+EB]為定值,并寫出點(diǎn)[E]的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)[E]的軌跡為曲線[C1],直線[l]交曲線[C1]于[M,N]兩點(diǎn),過[B]且與[l]垂直的直線與圓[A]交于[P,Q]兩點(diǎn),求四邊形[MPNQ]面積的取值范圍.
解析 (1)[|EA|+|EB|=4],[x24+y23=1(y≠0)].
(2)①當(dāng)[l]與[x]軸不垂直時(shí),設(shè)[l]的方程為[y=k(x-1)(k≠0)],[M(x1,y1),N(x2,y2)].
由[y=k(x-1),x24+y23=1]得,[(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0].
則[x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3].
所以[MN=1+k2x1-x2=12(k2+1)4k2+3].
過點(diǎn)[B(1,0)]且與[l]垂直的直線[m:y=-1k(x-1)],[A]到[m]的距離為[21+k2].
所以[PQ=242-(21+k2)2=44k2+31+k2].
故四邊形[MPNQ]的面積
[S=12MN?PQ=121+14k2+3].
所以四邊形[MPNQ]面積的取值范圍為[(12,83)].
②當(dāng)[l]與[x]軸垂直時(shí),其方程為[x=1,][MN=3,][PQ=8],四邊形[MPNQ]的面積為[12].
綜上,四邊形[MPNQ]面積的取值范圍為[[12,83)].
點(diǎn)評 “設(shè)而不求法”幾乎是解決直線與圓錐曲線各種題型的萬能鑰匙,具體來說就是設(shè)直線(曲線)的方程以及直線與曲線交點(diǎn)的坐標(biāo),但不求該交點(diǎn)坐標(biāo). 解題途徑一般有:一是“代點(diǎn)作差法”(點(diǎn)差法),二是“代線消元法”(將直線方程代入曲線方程,消元后得到二次方程,再利用判別式與韋達(dá)定理,最后將待求問題坐標(biāo)化求解).