基于歐拉梁的準零剛度隔振系統(tǒng)動力特性分析

高 雙 朱 翔 諶宗琦 李天勻

華中科技大學(xué)，武漢，430074

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基于歐拉梁的準零剛度隔振系統(tǒng)動力特性分析

高 雙 朱 翔 諶宗琦 李天勻

華中科技大學(xué)，武漢，430074

將兩端受軸向壓力的歐拉梁和線性彈簧并聯(lián)，組成一個具備高靜剛度和低動剛度的準零剛度隔振器。通過對隔振系統(tǒng)進行靜力分析，給出系統(tǒng)具備準零剛度特性所需的條件。利用諧波平衡法求解系統(tǒng)的振動微分方程，分析系統(tǒng)的幅頻特性，給出了系統(tǒng)的力傳遞率，討論了阻尼、激勵力等參數(shù)對系統(tǒng)傳遞率的影響。最后分析了該隔振系統(tǒng)的跳躍頻率。研究結(jié)果表明：激勵力以及初始偏移量的增大會使系統(tǒng)的隔振效果變差，因此要控制激勵力的大小并盡量避免超載；阻尼比的選取需要綜合考慮高頻的隔振效果和有效隔振頻率范圍。

歐拉梁；準零剛度系統(tǒng)；諧波平衡法；力傳遞率；跳躍頻率

0 引言

本文以兩端受壓的歐拉梁為負剛度機構(gòu)，將它和線性彈簧并聯(lián)，在一定條件下組成一個準零剛度隔振系統(tǒng)，對該系統(tǒng)進行了靜力和動力特性分析，評價其隔振性能并分析系統(tǒng)參數(shù)對于隔振性能的影響。

1 準零剛度隔振系統(tǒng)的靜力分析

準零剛度隔振系統(tǒng)由兩端受壓的歐拉梁和線性彈簧并聯(lián)構(gòu)成，兩端受軸向壓力的歐拉梁模型如圖1所示，假設(shè)壓桿長為l，彈性模量為E，慣性矩為I，垂向力為Fs，軸向壓力為F。則該歐拉梁的彎曲微分方程為

(1)

圖1 兩端受壓的歐拉梁模型

F→π2EI/l2時，梁中點撓度趨于無窮大，無法描述歐拉梁的后屈曲行為，因此將上述系統(tǒng)等效為由2根剛性桿和中間的扭轉(zhuǎn)彈簧組成、具有幾何非線性特點的系統(tǒng)[13]，如圖2所示。

圖2 等效的非線性系統(tǒng)

對于梁的小變形，根據(jù)能量等效原則可以求得扭轉(zhuǎn)彈簧的剛度ke=3EI/l。當梁的中點撓度為d時，系統(tǒng)的總位能為

(2)

由位能駐值原理可知?V(d)/?d=0，從而得到垂向力Fs的表達式，量綱一化后可以得到：

(3)

求導(dǎo)得到歐拉梁的垂向量綱一剛度：

(4)

圖3 不同值時的不同特性

mg=kVd0

(5)

2 準零剛度隔振系統(tǒng)的動力特性分析

結(jié)合隔振系統(tǒng)的靜力特性分析，建立系統(tǒng)動力分析模型，推導(dǎo)并分析準零剛度隔振系統(tǒng)的幅頻特性、力傳遞率和跳躍頻率特性，考慮不同參數(shù)對隔振性能的影響。

2.1 準零剛度隔振系統(tǒng)的幅頻特性分析

根據(jù)式(3)可以得到系統(tǒng)的回復(fù)力(垂向力)：

(6)

再根據(jù)式(5)，可以得到梁中點撓度為x時整個隔振系統(tǒng)的回復(fù)力(垂向力)：

(7)

考慮阻尼作用，引入線性阻尼(阻尼系數(shù)為c)，若承載的物體受到簡諧力FAcosωt的作用(FA為簡諧力幅值)，建立動力分析系統(tǒng)，則準零剛度隔振系統(tǒng)的受迫振動方程為

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

從式(12)可以看出：歐拉梁變形較小時，無論是否超載，歐拉梁與線性彈簧并聯(lián)形成的準零剛度隔振系統(tǒng)都具備Duffing振子的特點，超載會使得系統(tǒng)回復(fù)力中二次項的系數(shù)不為零，即系統(tǒng)關(guān)于平衡點不具備對稱形式。

(13)

利用諧波平衡法近似求解式(13)，假設(shè)式(13)的解X(τ)=A0+A1cos (Ωτ+φ)，即認為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值為A1，同時還有一個附加的位移A0。將X(τ)的表達式代入式(13)并整理，得到[14]:

(14)

忽略式(14)中的二次諧波、三次諧波，由等式兩邊的諧波系數(shù)相等，可以得到：

(15)

整理式(15)，得到關(guān)于A0的一元九次方程：

(16)

根據(jù)式(16)不難得到：

(17)

根據(jù)式(17)、式(15)的第三式可以得到關(guān)于A1的方程：

(18)

根據(jù)式(16)、式(18)，作出A0-Ω和A1-Ω幅頻響應(yīng)圖(圖4、圖5)。從圖4a可以看出：系統(tǒng)的幅頻曲線具有多值性，即一個激勵力頻率可能對應(yīng)著多個穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值A(chǔ)1，因此系統(tǒng)會出現(xiàn)頻率跳躍現(xiàn)象；幅頻曲線是向右彎曲的，并且γ越大，曲線彎曲程度越大，這說明系統(tǒng)的回復(fù)力具有漸硬特性；共振峰值隨著量綱一激勵力γ的增大而增大，對應(yīng)共振頻率也隨之增大。從圖4b可以看出：隨著量綱一阻尼系數(shù)δ的增大，幅頻曲線向右彎曲的程度變小，并且共振峰值和共振頻率都隨之減小，當δ增大到一定程度時，曲線不再具有多值性，此時系統(tǒng)不再會發(fā)生頻率跳躍現(xiàn)象。

(c) γ=0.05,δ=0.1

分析該系統(tǒng)受迫振動的幅頻曲線可以發(fā)現(xiàn)：在某些頻率段，一個激勵力頻率對應(yīng)多個振動的幅值，這種多值性會引起系統(tǒng)發(fā)生頻率跳躍現(xiàn)象，如量綱一阻尼系數(shù)δ的變化會影響系統(tǒng)的共振峰值和共振頻率，改變幅頻曲線的彎曲程度，甚至使得多值性特點消失。

2.2 準零剛度隔振系統(tǒng)的力傳遞率分析

傳遞率是評價隔振系統(tǒng)的一個十分重要的指標，通常采用的傳遞率有力傳遞率和位移傳遞率，它們能很好地描述振動通過隔振器后減小的程度。力傳遞率Tf為

式中， Ft1、Ft2分別為彈性力和阻尼力的幅值；Fe為激勵力。

本文需要分析的是準零剛度隔振系統(tǒng)的力傳遞率。

對于超載的準零剛度系統(tǒng)，式(12)的解可以由式(13)的解表示：

(19)

(20)

因為主要考慮的是動態(tài)力中的一次諧波分量，所以取彈性力的幅值[10]

將式(19)代入系統(tǒng)的阻尼力表達式，得到阻尼力幅值Ft2=δA1Ω，于是得到系統(tǒng)的力傳遞率：

(21)

(22)

圖6 不同γ時系統(tǒng)的力傳遞率曲線

圖7 不同δ時系統(tǒng)的力傳遞率曲線

圖8 不同時系統(tǒng)的力傳遞率曲線(δ=0.1,γ=0.05)

從圖6可以看出：保持其他參數(shù)不變，當量綱一激勵力幅值γ增大時，系統(tǒng)的力傳遞率峰值也隨之增大，并且對應(yīng)的頻率同時增大，在圖中表現(xiàn)為峰值向右上方移動。另外，系統(tǒng)的跳躍頻率也隨γ的增大而增大。這說明激勵力會影響系統(tǒng)的隔振性能，而且激勵力增大會使得系統(tǒng)的隔振性能變差。

從圖7可以看出：保持其他參數(shù)不變，當阻尼比δ增大時，系統(tǒng)的力傳遞率峰值會變小，對應(yīng)的頻率(下跳頻率)也會減小，即峰值向左下方移動，阻尼比增大到一定程度如δ=0.3時，可能會使得曲線不具備多值性，頻率跳躍現(xiàn)象消失。此外，應(yīng)注意到阻尼的增大減小了力傳遞率峰值并拓寬了有效隔振的頻率范圍，但是這會使得系統(tǒng)在高頻段的隔振效果變差，因此選取阻尼時，需要綜合考慮高頻的隔振效果和系統(tǒng)的有效隔振頻率范圍。

2.3 準零剛度隔振系統(tǒng)的跳躍頻率分析

跳躍是非線性振動中很重要的一個特性，由2.2節(jié)分析可知，當系統(tǒng)的阻尼比增大到一定程度時，可能會使系統(tǒng)的跳頻現(xiàn)象消失，激勵力的大小也會影響系統(tǒng)的跳躍頻率。因此需要分析該系統(tǒng)在未超載時的跳躍現(xiàn)象。根據(jù)式(15)很容易得到系統(tǒng)未超載時的幅頻關(guān)系式：

(23)

從式(23)求解得到：

(24)

從式(24)可以看出，在一定范圍內(nèi)，有兩支A1-Ω曲線，如圖9所示。當激勵力頻率比Ω從點1開始減小到點2時，幅值A(chǔ)1沿著下方的曲線向左上移動；當Ω繼續(xù)減小時，A1仍然沿著下方的曲線向左上移動直到點3；當頻率再減小時，A1會從點3直接跳躍到點4，此時的Ω稱為上跳頻率，記為Ωu。隨后A1會隨著Ω的減小沿著上方曲線移動到點5。如果是從點5開始增大Ω，A1則是從點5經(jīng)點4到點6，隨后從點6向下跳躍到點2，隨后從點2移動到點1。點6對應(yīng)的頻率稱為下跳頻率，記為Ωd。點3和點6之間的這一段曲線代表的是不穩(wěn)的運動狀態(tài)，通常是觀察不到的。

圖9 γ=0.1,δ=0.1時系統(tǒng)的幅頻曲線

下面根據(jù)式(23)、式(24)來求解上跳頻率Ωu和下跳頻率Ωd。從圖9易知，Ω的增大，A1由點6下跳至點2；Ω減小，A1由點1至點2，兩曲線在Ωd相交，即下跳頻率Ωd就是式(24)代表的兩支曲線的交點：

(25)

式中，A1d為系統(tǒng)在下跳頻率Ωd下的響應(yīng)幅值A(chǔ)1。

從式(25)求得：

(26)

(27)

圖10 Ωd-δ曲線

圖11 Ωd-γ曲線

系統(tǒng)的上跳頻率Ωu就是dΩ/dA1=0對應(yīng)的頻率。根據(jù)式(24)求解導(dǎo)數(shù)為零的條件：

(28)

式中，A1u為系統(tǒng)在上跳頻率Ωu下的響應(yīng)幅值A(chǔ)1。

顯然式(28)中取負號才可能有解，由式(28)得到δ關(guān)于γ、A1u的解，代入到式(24)中取正號的表達式，化簡可以得到：

(29)

圖12 Ωu-δ曲線

圖12中，實際有效的只是水平的那一部分(顯然δ→0+時，Ωu→∞是不可能的)。從Ωu-δ曲線中有效的那一部分可以看出，當保持其他參數(shù)不變時，δ對Ωu的影響很微小，甚至可以忽略。所以可以令δ=0代入式(28)求得A1u，進而代入式(29)求得Ωu：

(30)

(31)

當上跳頻率和下跳頻率相等時，系統(tǒng)的跳躍現(xiàn)象消失，利用Ωd=Ωu可以得到此時的關(guān)系式：

(32)

根據(jù)式(32)作出Ωd=Ωu時的γ-δ曲線，如圖13所示。

圖13 跳躍現(xiàn)象剛好消失時的γ-δ曲線

由上文分析可知，γ很小時，系統(tǒng)的跳躍現(xiàn)象可能消失，再結(jié)合γ對Ωd和Ωu影響的分析，不難知道：在圖13中的曲線上，對于某一給定的δ，對應(yīng)的γ正好是系統(tǒng)的跳躍現(xiàn)象出現(xiàn)的臨界值，曲線左上方的區(qū)域表示量綱一激勵力γ超過了臨界值，此時系統(tǒng)會出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象；曲線右下方的區(qū)域表示量綱一激勵力γ小于臨界值，此時系統(tǒng)不會出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。如果要抑制跳躍現(xiàn)象，可以通過增大阻尼比δ來實現(xiàn)，而且阻尼比越大，γ允許變化的范圍也越大。前文力傳遞率的分析指出，阻尼比的增大會降低隔振器高頻范圍的隔振性能，因此阻尼比δ并不是越大越好，仍然需要綜合考慮多個方面的因素。

3 結(jié)論

(1)該隔振系統(tǒng)具有漸硬彈簧的特點，承載質(zhì)量未超載時，可以看作是彈性力中一次項系數(shù)為零的Duffing振子；超載時，可以轉(zhuǎn)化為受常力和簡諧力共同作用的Duffing振子。此外，由于非線性的特點，系統(tǒng)會出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，但在一定條件下，跳躍現(xiàn)象會消失。

(2)該隔振系統(tǒng)的力傳遞率峰值和跳躍頻率隨量綱一激勵力γ的增大而增大。激勵力太大會使系統(tǒng)的隔振效果變差，因此要控制激勵力的大小。

(3)阻尼比的增大可以有效降低系統(tǒng)的傳遞率峰值并拓寬有效隔振的頻率范圍，但會使高頻段的隔振效果變差，因此阻尼系數(shù)的選取需要綜合考慮高頻的隔振效果和有效隔振頻率范圍。

(4)系統(tǒng)初始的偏移量是不利于隔振的，因此要盡量避免超載。

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(編輯 張 洋)

Analyses on Dynamics Characteristics of a Quasi-zero-stiffness Vibration Isolation System Based on Euler Beam

Gao Shuang Zhu Xiang Shen Zongqi Li Tianyun

Huazhong University of Science and Technology，Wuhan，430074

Combining the Euler beam under axial pressures with a positive stiffness spring, a quasi-zero-stiffness vibration isolation system was obtained, which had high static stiffness and low dynamic stiffness characteristics. The requirements of the quasi-zero-stiffness system were achieved through the static characteristic analyses. The harmonic balance method was used to solve the dynamic differential equations. The steady state and amplitude frequency response of the system were also analysed. The influences of parameters such as damping and exciting forces on the force transmissibility of the system were discussed. At last, the jumping frequencies of the system were analysed. The results show that the increase of the exciting force and the initial offset make the effects of vibration isolation of system worse, therefore the amplitude of the exciting force should be controlled, and the overload should be avoided. To choose the proper damping ratio, the vibration isolation effect at high frequencies and the effective isolation frequency range should be considered comprehensively.

Euler beam; quasi-zero-stiffness system; harmonic balance method; force transmissibility; jumping frequency

2015-09-10

國家自然科學(xué)基金資助項目(51479079)

O328

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.21.006

高 雙，男，1990年生。華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院碩士研究生。主要研究方向為結(jié)構(gòu)振動與噪聲控制。發(fā)表論文2篇。朱 翔，男，1980年生。華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院副教授。諶宗琦，男，1989年生。華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院碩士研究生。李天勻，男，1969年生。華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。