SPGL1算法在地震資料隨機(jī)噪聲壓制中的應(yīng)用?

張博倫， 王林飛??， 蔡正輝， 黃云笛

(1.中國(guó)海洋大學(xué)海底科學(xué)與探測(cè)技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 山東 青島 266100； 2.中國(guó)海洋大學(xué)法政學(xué)院， 山東 青島 266100)

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SPGL1算法在地震資料隨機(jī)噪聲壓制中的應(yīng)用?

張博倫1， 王林飛1??， 蔡正輝1， 黃云笛2

(1.中國(guó)海洋大學(xué)海底科學(xué)與探測(cè)技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 山東 青島 266100； 2.中國(guó)海洋大學(xué)法政學(xué)院， 山東 青島 266100)

為了提高地震資料的信噪比，本文基于稀疏表示理論，將SPGL1算法應(yīng)用到地震資料隨機(jī)噪聲的壓制中，在構(gòu)建過(guò)完備原子庫(kù)時(shí)，以Morlet子波為基礎(chǔ)，應(yīng)用Hilbert變換確定待分解數(shù)據(jù)的瞬時(shí)屬性，并將此作為過(guò)完備原子庫(kù)時(shí)頻參數(shù)選取范圍，提高計(jì)算效率。通過(guò)合成數(shù)據(jù)和實(shí)際資料的處理分析，證明了該方法具有良好的去噪效果。

SPGL1； 稀疏分解； 去噪； Morlet子波； 過(guò)完備原子庫(kù)； Hilbert變換

從野外采集到的地震資料中，一般都含有干擾信號(hào)，隨機(jī)噪聲就是一種常見(jiàn)的干擾信號(hào)。隨機(jī)噪聲在地震記錄中沒(méi)有統(tǒng)一的分布規(guī)律，也沒(méi)有固定的傳播方向，是隨機(jī)出現(xiàn)的，較難去除。為了壓制隨機(jī)噪聲，提高地震資料的信噪比，人們已提出了多種基于信號(hào)分解理論的方法，如傅里葉變換、短時(shí)傅里葉變換、Gabor變換、小波變換等分解變換方法。這些變換通常是根據(jù)信號(hào)自身的特點(diǎn)，將其分解在一組完備的正交基上，得到相應(yīng)的分解系數(shù)，然后利用有效信號(hào)和干擾信號(hào)的差異在系數(shù)域上做相應(yīng)處理，最后通過(guò)反變換達(dá)到去噪的目的。它們的共同點(diǎn)是給定信號(hào)的表示形式唯一，一旦信號(hào)的特征與基函數(shù)不完全匹配，那么所獲得的分解結(jié)果就不一定是信號(hào)的稀疏表示[1]，就很難將有效信號(hào)和干擾信號(hào)區(qū)分開(kāi)來(lái)。近年來(lái)在數(shù)字圖像處理領(lǐng)域越來(lái)越流行的稀疏表示理論恰恰能彌補(bǔ)這些傳統(tǒng)信號(hào)表示方法的不足。

1993年，Mallat和Zhang在小波分析的基礎(chǔ)上提出了信號(hào)在過(guò)完備原子庫(kù)上分解的思想[2]。即將信號(hào)在符合自身特征的過(guò)完備原子庫(kù)上進(jìn)行分解，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)信號(hào)更靈活，更簡(jiǎn)潔和自適應(yīng)的表示，即稀疏表示。根據(jù)稀疏表示理論[3-5]，對(duì)含噪信號(hào)而言，具有一定結(jié)構(gòu)特征的有效信號(hào)能夠在過(guò)完備原子庫(kù)中得到稀疏表示，而隨機(jī)噪聲則不能。用選取的N個(gè)最佳時(shí)頻原子的線性組合表示有效信號(hào)，殘差部分作為噪聲，從而達(dá)到去噪的目的。相比基于傳統(tǒng)信號(hào)表示理論的去噪方法，稀疏分解去噪法能夠最大程度地將有效信號(hào)和干擾信號(hào)區(qū)別開(kāi)來(lái)。近年來(lái)，稀疏表示理論也被人們引入到地震資料的去噪中[6-10]，然而這些應(yīng)用大多是基于MP算法(匹配追蹤)[2]對(duì)地震信號(hào)進(jìn)行稀疏分解的。時(shí)至今日，人們已提出多種稀疏分解算法，主要包括兩大類，一類是以MP和OMP(正交匹配追蹤)為代表的貪婪算法類，這類算法計(jì)算復(fù)雜度低，易于實(shí)現(xiàn)，但是計(jì)算精度不高。另一類是凸松弛法，這類方法通過(guò)將非凸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為凸問(wèn)題求解，從而找到信號(hào)的逼近，如BP(基追蹤)，內(nèi)點(diǎn)法，L1LS(L1范數(shù)罰的最小二乘LS方法)等。SPGL1(spectral projection gradient for L1 minimization，L1范數(shù)約束下譜投影梯度)算法[11]也屬于凸松弛類，其計(jì)算精度高，適用于求解大規(guī)模問(wèn)題以及復(fù)數(shù)域問(wèn)題，在解決大型稀疏矩陣-向量積上有出色的表現(xiàn)，E.Berg和M. Friedlander進(jìn)行的一系列數(shù)值測(cè)試證明了SPGL1算法具有很強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)[12]。

本文將SPGL1算法應(yīng)用到地震數(shù)據(jù)隨機(jī)噪聲壓制中，在構(gòu)建過(guò)完備原子庫(kù)時(shí)，以Morlet子波為基礎(chǔ)，通過(guò)對(duì)Morlet子波伸縮、平移和調(diào)制來(lái)構(gòu)建基于Morlet時(shí)頻原子的過(guò)完備原子庫(kù)。為了使構(gòu)建的原子庫(kù)更有針對(duì)性，本文運(yùn)用Hilbert變換獲得待分解數(shù)據(jù)的瞬時(shí)屬性，并將此作為過(guò)完備原子庫(kù)時(shí)頻參數(shù)選取范圍，以提高計(jì)算效率。并運(yùn)用合成數(shù)據(jù)和實(shí)際地震資料對(duì)該套方法進(jìn)行測(cè)試分析，也同小波閾值去噪法進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 基于SPGL1算法的隨機(jī)噪聲壓制

1.1 SPGL1算法去噪原理

Chen和Donoho等[13]將基于L1范數(shù)的稀疏分解算法稱為基追蹤(Basis Pursuit，BP)，BP是一種凸松弛方法，其數(shù)學(xué)模型為：

BP：min‖x‖1s.t.b=Ax。

(1)

式中:A為過(guò)完備原子庫(kù);x為信號(hào)b在A下的分解系數(shù)。當(dāng)b中含有噪聲時(shí)，基追蹤問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為基追蹤降噪(Basis Pursuit Denoising，BPDN)[14]：

BPDN：min‖x‖1s.t.‖Ax-b‖2≤σ。

(2)

式中σ為信號(hào)b中噪聲水平的估計(jì)，當(dāng)σ=0時(shí)，BPDN問(wèn)題等價(jià)于BP問(wèn)題。此外，L1 范數(shù)方法還包括 LASSO[15](The Least Absolute Shrinkage and Selection,最小絕對(duì)收縮與選擇)：

LASSO：min‖Ax-b‖2s.t.‖x‖1≤τ。

(3)

式中τ為有效信號(hào)稀疏度。

SPGL1算法是由EwoutVanDenBerg和MichaelP.Friedlander于2008年提出的，適用于求解大規(guī)模問(wèn)題。算法核心思想是將BPDN問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列的LASSO子問(wèn)題，然后用梯度投影法求解LASSO問(wèn)題，通過(guò)求解LASSO問(wèn)題達(dá)到求解BPDN的目的。

1.2 基于Morlet子波的過(guò)完備原子庫(kù)

Morlet子波與地震子波具有相似性，在地震資料處理領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用[16-19]，可以通過(guò)Morlet子波(子波)伸縮、平移和調(diào)制來(lái)匹配實(shí)際地震數(shù)據(jù)[20]。本文選取Morlet子波構(gòu)建過(guò)完備原子庫(kù)，Morlet子波在時(shí)域中的表達(dá)為：

(4)

式中：f是頻率參數(shù)；u是時(shí)間延遲；k是尺度參數(shù)；φ是相位參數(shù)。為了降低計(jì)算復(fù)雜度，將尺度參數(shù)k設(shè)置為0.5[21]。如圖1所示，(a)為零相位，主頻20 Hz的Morlet子波M(取實(shí)部)，(b)為它的振幅譜(振幅做歸一化處理)。

((a)20 Hz零相位Morlet子波M；20 Hz zero phase Morlet wavelet M;(b)子波M的振幅譜； Amplitude spectrum of wavelet M.)

(5)

(6)

式中：S為有效信號(hào)；noise為噪聲；mn為S基于原子庫(kù)A分解后的Morlet原子；an為有效信號(hào)S在A中的分解系數(shù)。

圖2 子波M的瞬時(shí)頻率

1.3 SPGL1算法去噪流程

現(xiàn)總結(jié)SPGL1算法去噪流程如下：

(1)運(yùn)用Hilbert變換將實(shí)地震道信號(hào)轉(zhuǎn)換成復(fù)地震道信號(hào)。

(2)求取復(fù)地震道信號(hào)包絡(luò)的峰值處對(duì)應(yīng)的時(shí)間，以及瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)相位信息。

(3)將包絡(luò)的峰值時(shí)間作為Morlet原子庫(kù)的時(shí)間延遲的取值，瞬時(shí)頻率作為頻率參數(shù)的取值，瞬時(shí)相位作為相位參數(shù)的取值。

(4)運(yùn)用SPGL1稀疏分解算法求取地震信號(hào)基于過(guò)完備原子庫(kù)的分解系數(shù)。

(5)計(jì)算過(guò)完備原子庫(kù)(矩陣)與分解系數(shù)(向量)的積，即為去噪后的地震數(shù)據(jù)。

2 效果分析

2.1 合成數(shù)據(jù)測(cè)試

((a)合成地震記錄；Synthetic seismogram;(b)加入噪聲后的記錄;After adding noise.)

圖4 含噪記錄的復(fù)地震道及其峰值包絡(luò)

((a)瞬時(shí)相位；Instantaneous phase;(b)瞬時(shí)頻率；Instantaneous frequency.)

((a)SPGL1算法去噪效果；Denoising effect of SPGL1 algorithm;(b)小波閾值去噪效果；Wavelet threshold denoising effect;(c)誤差；Error contrast.)

2.2 實(shí)際地震資料測(cè)試

同樣的，在將此方法運(yùn)用于實(shí)際地震資料處理前，也需先獲得地震數(shù)據(jù)的瞬時(shí)屬性以構(gòu)建更有針對(duì)性的過(guò)完備原子庫(kù)，然后預(yù)估出噪聲水平σ作為信號(hào)重構(gòu)誤差(噪聲估計(jì)不作為本文討論重點(diǎn))，運(yùn)用SPGL1算法將地震信號(hào)在過(guò)完備原子庫(kù)上分解，獲得稀疏系數(shù)，原子庫(kù)矩陣與系數(shù)向量的積即為去噪后的數(shù)據(jù)。圖7所示為將本文所討論方法和小波閾值去噪法分別運(yùn)用于實(shí)際地震資料處理前后的對(duì)比情況，為便于識(shí)別，在顯示效果上均加入AGC(自動(dòng)增益控制)。

通過(guò)對(duì)比不難看出，應(yīng)用小波閾值法去噪后地震數(shù)據(jù)仍有“毛刺”現(xiàn)象，去噪不徹底，而基于SPGL1的去噪方法效果更好，去噪后同相軸清晰可辨。同時(shí)能最大程度地保護(hù)有效信號(hào)，應(yīng)用效果要優(yōu)于小波閾值去噪法。需要說(shuō)明的是，為了防止原子庫(kù)過(guò)大而影響計(jì)算效率，本文在構(gòu)建基于Morlet子波的過(guò)完備原子庫(kù)時(shí)是將尺度參數(shù)設(shè)置為一固定值0.5，這樣勢(shì)必會(huì)影響有效信號(hào)的重構(gòu)精度。如何選取更合適的尺度參數(shù)以及怎樣優(yōu)化原子庫(kù)的設(shè)計(jì)將是作者在以后學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)研究的內(nèi)容。

3 結(jié)語(yǔ)

SPGL1算法運(yùn)算精度高，適合于求解大規(guī)模問(wèn)題。本文將該算法應(yīng)用于地震資料隨機(jī)噪聲的壓制中。在合成數(shù)據(jù)和實(shí)際資料的去噪中均取得了良好的應(yīng)用效果。相對(duì)于小波閾值去噪，基于SPGL1算法的去噪方法具有明顯優(yōu)勢(shì)。

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責(zé)任編輯 徐 環(huán)

Application of SPGL1 in Random Noise Suppression of Seismic Data

ZHANG Bo-Lun1, WANG Lin-Fei1, CAI Zheng-Hui1, HUANG Yun-Di2

(1.The Key Lab of Submarine Geosciences and Prospecting Techniques, Ministry of Education, Ocean University of China; 2.College of Law and Politics, Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

In seismic exploration, random noise seriously distorts and interferes with seismic signal. In this study, the SPGL1 algorithm of seismic data denoising is adopted based on the sparse representation, which can efficiently suppress random noise and certainly enhance the SNR. During the creation of over-complete dictionary of atoms, instantaneous attributes of undecomposed data are ascertained by Hilbert-Transform with the help of Morlet wavelet, which are regarded as the range of time-frequency parameters of the over-complete dictionary of atoms. Both theoretical analysis and actual results show that, comparison with wavelet threshold denoising method, the proposed method is of strong denoising ability and fast processing rate.

SPGL1； sparsity decomposition； de-noising; morlet wavelet； hilbert-transform； over-complete dictionary of atoms

國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項(xiàng)目(41204087)；教育部高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金新教師類課題(20120132120030)資助 Supported by the Project of National Natural Science Foundation of China (41204087)； the Specialized Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education (20120132120030)

2015-07-03；

2015-10-30

張博倫(1990-)，男，碩士生，主要從事海洋地震信號(hào)處理研究。E-mail: 1129280705@qq.com

?? 通訊作者：E-mail:wanglf@ouc.edu.cn

P631.4

A

1672-5174(2016)12-081-06

10.16441/j.cnki.hdxb.20150273

張博倫， 王林飛， 蔡正輝， 等. SPGL1算法在地震資料隨機(jī)噪聲壓制中的應(yīng)用[J]. 中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2016, 46(12): 81-86.

ZHANG Bo-Lun, WANG Lin-Fei, CAI Zheng-Hui, et al. Application of SPGL1 in random noise suppression of seismic data[J]. Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(12): 81-86.