《結(jié)構(gòu)力學(xué)》內(nèi)容總結(jié)及難點(diǎn)分析

劉宗發(fā)+王慧萍+李一凡+徐紅玉

摘要：《結(jié)構(gòu)力學(xué)》既是材料力學(xué)等課程的延伸和深化，又是后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的重要基礎(chǔ)，是一門(mén)較為難學(xué)的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課。本文通過(guò)對(duì)比分析的方式，明確結(jié)構(gòu)力學(xué)基本概念和原理，理清各部分內(nèi)容間的關(guān)系，指出每種方法學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，以指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)力學(xué)；內(nèi)力圖；力法；位移法

《結(jié)構(gòu)力學(xué)》是土木工程專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，要求學(xué)生掌握桿件體系內(nèi)力與位移計(jì)算。學(xué)習(xí)該課程不能靠死記硬背，必須在吃透概念的基礎(chǔ)上熟練掌握結(jié)構(gòu)的分析能力。下面歸納總結(jié)各部分內(nèi)容的基本概念、重點(diǎn)和難點(diǎn)，希望能對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)起指導(dǎo)作用。

一、結(jié)構(gòu)的幾何組成分析

總體上，可通過(guò)下面兩種方法來(lái)分析平面體系的幾何組成特點(diǎn)。

（一）通過(guò)計(jì)算自由度來(lái)進(jìn)行幾何組成分析

需要提醒W≤ 0只是保證平面體系為幾何不變的必要條件，此時(shí)確定體系是否幾何不變，尚需運(yùn)用幾何組成規(guī)則進(jìn)行進(jìn)一步分析。同時(shí)要注意：當(dāng)只考慮結(jié)構(gòu)體系本身，不存在或不考慮結(jié)構(gòu)的支座時(shí)，則體系為幾何不變的必要條件是W≤ 3。

（二） 運(yùn)用幾何不變體系的組成規(guī)則進(jìn)行幾何組成分析

要掌握并能靈活運(yùn)用三個(gè)組成規(guī)則。實(shí)際上三規(guī)則為同一規(guī)則（鉸結(jié)三角形規(guī)律），只是表述方式不同。對(duì)體系進(jìn)行幾何組成分析時(shí)，要注意：1.三個(gè)組成規(guī)則對(duì)應(yīng)的限制條件；2.剛片可以是單個(gè)桿件，也可以是一幾何不變結(jié)構(gòu)部分；3.特別注意復(fù)鉸、虛鉸及無(wú)窮遠(yuǎn)虛鉸的特性。

二、靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移計(jì)算

靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析和位移計(jì)算是超靜定結(jié)構(gòu)及其他問(wèn)題的分析和計(jì)算基礎(chǔ)。

（一）靜定梁及鋼架

1. 內(nèi)力及內(nèi)力圖。要求熟練計(jì)算內(nèi)力，并掌握用分段疊加法快速繪制內(nèi)力圖。因?yàn)檫@也是結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度計(jì)算、位移計(jì)算、超靜定問(wèn)題的求解、結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算等方面的基礎(chǔ)。

要學(xué)會(huì)分段疊加法，必須根據(jù)荷載和內(nèi)力間的微分關(guān)系，熟練掌握每種典型荷載（無(wú)荷載、均布荷載、集中力及集中力偶）作用下的梁段內(nèi)力圖特征。彎矩圖要畫(huà)在桿件受拉纖維的一側(cè)，不標(biāo)注正負(fù)號(hào)；而剪力圖和軸力圖可畫(huà)在桿件任一側(cè)，但必須標(biāo)注正負(fù)號(hào)。尤其要熟練掌握彎矩圖的繪制，因?yàn)楦鶕?jù)靜力平衡條件，若取桿件為隔離體，由彎矩圖可求出剪力并作剪力圖；而由剪力圖可求出軸力并作軸力圖，所以作內(nèi)力圖（桁架結(jié)構(gòu)除外）最終可歸結(jié)為作彎矩圖。另外，內(nèi)力求解時(shí)要注意定向支座的特性。

2. 位移計(jì)算。對(duì)于梁和鋼架，其主要的內(nèi)力是彎矩。忽略軸力和剪力的影響，在荷載作用下其位移計(jì)算的便捷方法是圖乘法。而且在用力法求解超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，力法方程中系數(shù)和自由項(xiàng)也是位移量，也要通過(guò)圖乘法進(jìn)行計(jì)算。但要注意圖乘法的應(yīng)用條件，同時(shí)要特別注意以下幾種情況：（1）若有折線(xiàn)段，在轉(zhuǎn)折點(diǎn)處將M圖分段來(lái)求解；（2）要注意構(gòu)件剛度的變化；（3）當(dāng)MP圖為復(fù)雜圖形時(shí)，要用疊加法將其拆分開(kāi)來(lái)，依次與M圖進(jìn)行圖乘，但要注意正負(fù)號(hào)的選取。

（二）桁架

在求桁架結(jié)構(gòu)內(nèi)力時(shí)應(yīng)注意兩個(gè)問(wèn)題：一、正確選擇結(jié)點(diǎn)法或截面法；二是零桿的判斷。排查零桿主要有三個(gè)步驟：1. 先根據(jù)四類(lèi)特殊結(jié)點(diǎn)（L、T、K、X型結(jié)點(diǎn)）判斷；2. 看題目中結(jié)構(gòu)是否為對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，利用對(duì)稱(chēng)性的三個(gè)結(jié)論判斷；3. 從有已知力的結(jié)點(diǎn)（包括支座與結(jié)構(gòu)連接的結(jié)點(diǎn)）進(jìn)行排除判斷。

三、超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算

力法和位移法是超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算的兩大基本方法。力法分析的思路是將超靜定結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為熟悉的靜定結(jié)構(gòu)來(lái)計(jì)算，它是位移法的基礎(chǔ)。位移法是將結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為單跨超靜定梁的一種計(jì)算方法，它是后續(xù)漸進(jìn)法（如力矩分配法等）和矩陣位移法的基礎(chǔ)。

（一）力法和位移法比較

雖然用力法和位移法去計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)所依據(jù)的原理不同，但二者總體思路和求解步驟類(lèi)似，建議通過(guò)對(duì)比分析來(lái)加深理解，見(jiàn)表1。

注意在應(yīng)用力法時(shí)，同一超靜定結(jié)構(gòu)可以采用不同的方式來(lái)解除多余約束，即具有多個(gè)不同的基本結(jié)構(gòu)。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可將荷載和單位未知力加于不同的基本結(jié)構(gòu)。

位移法的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)角位移數(shù)等于全部剛結(jié)點(diǎn)和半鉸結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)角位移數(shù)目；而獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線(xiàn)位移可以由如下兩個(gè)方法來(lái)確定：1. 附加鏈桿法；2. 鉸化法。

學(xué)習(xí)位移法時(shí)，要記憶和理解形常數(shù)和載常數(shù)，以及桿端力及附加約束反力的正負(fù)號(hào)規(guī)定。

（二）位移法方程的兩種建立方法

結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法的典型方程的建立有兩種方法：基本體系法和直接平衡法。前者借助基本體系來(lái)建立典型方程，和力法的步驟一致；而后者利用桿端力平衡條件直接建立典型方程。

兩類(lèi)典型方程有不同的含義：在基本體系法中，為了消除基本體系與原結(jié)構(gòu)的差別（原結(jié)構(gòu)中無(wú)附加約束），需要補(bǔ)充附加約束反力為零的條件，其典型方程中的系數(shù)和自由項(xiàng)分別是基本結(jié)構(gòu)在附加約束發(fā)生單位位移和荷載單獨(dú)作用下產(chǎn)生的附加約束處的反力。此時(shí)要先利用各桿形常數(shù)或載常數(shù)分別畫(huà)出基本體系的單位彎矩圖和荷載彎矩圖，然后由剛結(jié)點(diǎn)的力矩平衡或截面力的平衡方程求得對(duì)應(yīng)系數(shù)；而直接平衡法則是利用等截面直桿的剛度方程直接得到基本結(jié)構(gòu)的各個(gè)桿件在結(jié)點(diǎn)位移和荷載作用下的桿端內(nèi)力，其典型方程是以桿件為隔離體的力的投影方程、或以結(jié)點(diǎn)為隔離體的力矩平衡方程。

（三）位移法與力矩分配法比較

力矩分配法是以位移法為基礎(chǔ)的一種漸近解法，求解只有獨(dú)立結(jié)點(diǎn)角位移結(jié)構(gòu)，不需要建立和聯(lián)立求解方程組。

位移法的思路是先在所有獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移處施加上附加約束，為消除這些各附加約束上由此而產(chǎn)生的附加反力，同時(shí)放松各結(jié)點(diǎn)（相當(dāng)于同時(shí)去掉所有附加約束）。當(dāng)有兩個(gè)以上的附加約束時(shí)，就必須聯(lián)立求解對(duì)應(yīng)的位移法典型方程。與位移法為同時(shí)消除各結(jié)點(diǎn)附加約束反力而同時(shí)放松各結(jié)點(diǎn)，從而必須聯(lián)立求解典型方程的做法不同，力矩分配法每次只放松一個(gè)結(jié)點(diǎn)（或同時(shí)放松若干個(gè)不相鄰結(jié)點(diǎn)），而仍然暫時(shí)固定其它結(jié)點(diǎn)，這樣可消除該結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩（通過(guò)力矩的分配和傳遞運(yùn)算），按此方法依次輪流放松各結(jié)點(diǎn)，從而逐漸消除各結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩，得到桿端的實(shí)際彎矩。

力矩分配法的關(guān)鍵在于利用形常數(shù)和載常數(shù)求出固端彎矩以及由分配系數(shù)得到傳遞彎矩。

（四）位移法與矩陣位移法比較

矩陣位移法即“矩陣+位移法”，它是為了適應(yīng)電算應(yīng)用而產(chǎn)生的一種結(jié)構(gòu)計(jì)算方法。矩陣位移法中的所有公式及運(yùn)算都以矩陣的形式來(lái)表示。矩陣位移法計(jì)算桿件結(jié)構(gòu)的總體思路與傳統(tǒng)的位移法類(lèi)似，但具體做法和概念有所區(qū)別，見(jiàn)表2。

原始剛度矩陣形成常采用單元集成法，即利用單元定位向量，通過(guò)換碼重排得到。由于原始剛度矩陣是奇異矩陣，故還需對(duì)已知約束進(jìn)行處理（在位移法中無(wú)此內(nèi)容），主要采用“先處理”做法。結(jié)構(gòu)所受的荷載分為結(jié)點(diǎn)荷載和非結(jié)點(diǎn)荷載。首先將非結(jié)點(diǎn)荷載轉(zhuǎn)換成等效結(jié)點(diǎn)荷載，再與對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)荷載疊加，形成總的結(jié)點(diǎn)荷載。非結(jié)點(diǎn)荷載的計(jì)算仍然用載常數(shù)，但要注意其正方向的設(shè)定。鉸結(jié)點(diǎn)上各桿具有相同的線(xiàn)位移，但截面的轉(zhuǎn)角位移不同；相應(yīng)地，鉸結(jié)點(diǎn)連接的桿端不承受彎矩，即桿端彎矩為零。

（五）對(duì)稱(chēng)性的利用

要熟練利用對(duì)稱(chēng)性來(lái)簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)內(nèi)力的求解，掌握以下結(jié)論：對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在對(duì)稱(chēng)荷載作用下，對(duì)稱(chēng)軸處只有對(duì)稱(chēng)的未知力，反對(duì)稱(chēng)的未知力為零，且結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖為對(duì)稱(chēng)；對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱(chēng)荷載作用下，對(duì)稱(chēng)軸處只有反對(duì)稱(chēng)未知力，對(duì)稱(chēng)的未知力為零，且結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖為反對(duì)稱(chēng)。

四、虛功原理

力和位移是功的兩個(gè)要素，當(dāng)力或位移為虛設(shè)量時(shí)，力在其相應(yīng)的位移上所作的功能稱(chēng)為虛功，由此導(dǎo)出虛功原理。根據(jù)研究對(duì)象的變形特性，可分為剛體系虛功原理和變形體虛功原理，它們的虛功方程有所不同。

虛功原理可有兩種應(yīng)用 ：一種是虛設(shè)位移，求未知力（虛位移原理）；另一種是虛設(shè)力系，求未知位移（虛力原理）。至于虛設(shè)位移或力的大小可任意確定，因此可虛設(shè)為單位位移或單位荷載，相應(yīng)地得到單位位移法或單位荷載法。

利用剛體單位位移法把平衡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)考慮，從而得到求靜定結(jié)構(gòu)影響線(xiàn)的機(jī)動(dòng)法。

利用變形體單位荷載法推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式。當(dāng)具體到梁、剛架在荷載下的位移計(jì)算時(shí)，可略去了剪力、軸力兩項(xiàng)位移量，計(jì)算公式進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：■。當(dāng)梁或剛架的構(gòu)件滿(mǎn)足條件：構(gòu)件軸線(xiàn)為直線(xiàn)、EI為常數(shù)、M圖和MP圖中至少有一個(gè)為直線(xiàn)圖形，此時(shí)可用圖乘法，使得位移計(jì)算由積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，這也是力法求超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的基礎(chǔ)。

虛設(shè)的力的性質(zhì)必須與位移的性質(zhì)保持一致才能保證乘積是功。廣義力可以是集中力、集中力偶、一對(duì)等值反向的集中力或集中力偶等；而與之相對(duì)應(yīng)的廣義位移依次是：線(xiàn)位移、角位移、相對(duì)線(xiàn)位移或相對(duì)角位移等。

五、影響線(xiàn)

影響線(xiàn)研究移動(dòng)荷載作用下，結(jié)構(gòu)支座反力或內(nèi)力隨荷載位置變化的規(guī)律。影響線(xiàn)的基本作法有靜力法和機(jī)動(dòng)法。

靜力法作靜定梁支座反力和內(nèi)力的影響線(xiàn)時(shí)，以單位荷載的位置為變量，通過(guò)隔離體的平衡條件建立影響線(xiàn)方程。熟練掌握靜定梁支座反力和內(nèi)力的影響線(xiàn)間的規(guī)律和特征。機(jī)動(dòng)法繪制彎矩影響線(xiàn)時(shí)，要撤去截面與彎矩相應(yīng)的約束（將剛結(jié)點(diǎn)變成鉸結(jié)點(diǎn)），讓該截面兩側(cè)產(chǎn)生單位相對(duì)轉(zhuǎn)角；而繪制剪力影響線(xiàn)時(shí)，要撤去截面與剪力相應(yīng)的約束（將剛結(jié)點(diǎn)換成定向支座），讓該截面兩側(cè)產(chǎn)生單位相對(duì)豎向位移，此時(shí)要保證截面兩側(cè)的剪力影響線(xiàn)平行。另外，無(wú)論是單位相對(duì)轉(zhuǎn)角還是相對(duì)豎向位移，都要設(shè)置成它們的正方向。

本文通過(guò)對(duì)比分析結(jié)構(gòu)力學(xué)重要內(nèi)容，指出學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，以加深學(xué)生對(duì)基本概念的理解，提高對(duì)重點(diǎn)和難點(diǎn)重視，促進(jìn)對(duì)該課程的學(xué)習(xí)和內(nèi)容的掌握。

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