彎曲斜螺旋線的數(shù)學(xué)模型研究與應(yīng)用

馬建國，姚運(yùn)萍，張小奇，陳惠賢

（1.蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730050；2.中國科學(xué)院近代物理研究所，蘭州 730000）

彎曲斜螺旋線的數(shù)學(xué)模型研究與應(yīng)用

馬建國1，姚運(yùn)萍1，張小奇2，陳惠賢1

（1.蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730050；2.中國科學(xué)院近代物理研究所，蘭州 730000）

針對彎曲斜螺線這類非回轉(zhuǎn)體零件做回轉(zhuǎn)運(yùn)動出現(xiàn)的問題進(jìn)行研究，從空間幾何的角度對斜螺線旋轉(zhuǎn)的要素進(jìn)行分析，由球體，環(huán)面螺旋線的數(shù)學(xué)模型延伸到螺旋線鼓形體，斜螺旋線橢球體，進(jìn)一步得出任意起點(diǎn)斜螺線彎管的數(shù)學(xué)模型，最終提出了彎曲斜螺旋線做回轉(zhuǎn)運(yùn)動的數(shù)學(xué)方程。然后通過MATLAB對其數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證，得到彎曲斜螺旋線的通用數(shù)學(xué)模型。為后續(xù)彎曲斜螺旋線的加工提供理論依據(jù)。

斜螺旋線；鼓形體；數(shù)學(xué)模型；仿真

0　引言

隨著超導(dǎo)技術(shù)的迅猛發(fā)展，超導(dǎo)技術(shù)在高能物理、交通運(yùn)輸、醫(yī)學(xué)影像、航天航海等諸多領(lǐng)域應(yīng)用越來越廣泛[1]。而作為超導(dǎo)技術(shù)核心的超導(dǎo)線圈技術(shù)，因?yàn)槠潆y以估量的應(yīng)用價值，獲得世界各科研組織的重視。

線圈骨架這類零件的形狀隨著超導(dǎo)技術(shù)的發(fā)展而不斷改進(jìn)，從回轉(zhuǎn)體到非回轉(zhuǎn)體，圓柱體到彎曲柱體……總之，形狀、功能復(fù)雜多變，不可一概而論，其數(shù)學(xué)模型更是相差甚遠(yuǎn)[2]。盡管通用柱形線圈骨架的大小不一，種類較多，但總體來說，屬于回轉(zhuǎn)形骨架[3～5]。此類通用線圈骨架的相關(guān)研究已經(jīng)頗為成熟。但是，在某些大型或特殊的超導(dǎo)、核技術(shù)、電力元件等行業(yè)，都需要用到異形線圈，如超導(dǎo)儲能裝置（如圖1所示）、風(fēng)力發(fā)電機(jī)、加速器等。這些線圈的骨架使用較少，加工難度極高，加工效率普遍較低。本文主要研究超導(dǎo)技術(shù)中支撐超導(dǎo)儲能裝置線圈的斜螺線骨架，即線圈龍骨。本文所述的彎曲斜螺線線圈骨架，屬于超導(dǎo)技術(shù)發(fā)展所帶來的新的異形零件，目前還沒有發(fā)現(xiàn)相關(guān)加工工藝的研究，但是研究纏繞機(jī)的部分學(xué)者對彎管纏繞技術(shù)做了大量研究，得出了纏繞時出現(xiàn)打滑，架橋等問題的解決方案。

圖1　超導(dǎo)儲能裝置

本文將對這類非回轉(zhuǎn)體零件做回轉(zhuǎn)運(yùn)動出現(xiàn)的問題進(jìn)行研究，從空間幾何的角度對其數(shù)學(xué)模型逐步推到。得到可靠地?cái)?shù)學(xué)模型。并然后通過MATLAB對其數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證，從而得到可靠正確的非回轉(zhuǎn)體零件做回轉(zhuǎn)運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型。

1　非回轉(zhuǎn)體零件做回轉(zhuǎn)體運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型

1.1球體的數(shù)學(xué)模型

由空間幾何可知，球面可以分解為：母線半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。而球面所圍成的幾何體叫做球體，其中半圓母線的方程為：

以y軸旋轉(zhuǎn)后的球體曲面方程為：

1.2環(huán)面螺旋線數(shù)學(xué)模型的建立

根據(jù)圓柱螺旋線的形成原理，設(shè)在圓K上有一點(diǎn)A（如圖2所示）繞圓K的圓心O1作等角速度旋轉(zhuǎn)時，圓K繞著與其共面的軸OZ作等角速度旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)A的軌跡即為環(huán)面螺旋線[6]。故環(huán)面螺旋線空間方程為：

圖2　環(huán)面螺旋線形成原理

其中R為圓環(huán)半徑，r為螺旋管的半徑，α為圓環(huán)母線自轉(zhuǎn)角度，θ為半徑為r的螺旋線旋轉(zhuǎn)的角度。θ經(jīng)過變形為2πn（n=1,2,3…，表示螺旋線繞過的圈數(shù)）后有如下方程：

1.3鼓型體數(shù)學(xué)模型的建立

由球體數(shù)學(xué)模型方程可知，球體母線方程經(jīng)過偏心移動，然后圍繞O-O軸旋轉(zhuǎn)后便可得到鼓型體方程[7]，如圖3所示。故有鼓形體的母線參數(shù)方程為：

由空間幾何可知，鼓形面可以分解為：鼓形母線以經(jīng)過偏置(y0, z0)的與z軸平行軸為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。所以，鼓形面的方程為：

圖3　鼓形體形成原理

1.4螺旋線彎管數(shù)學(xué)模型的建立

根據(jù)空間解析幾何，聯(lián)立環(huán)面螺旋線數(shù)學(xué)模型（3）和鼓形體的數(shù)學(xué)模型（6），借用鼓形體的成型機(jī)理，將鼓形面的母線換成是環(huán)面螺旋線，便可推導(dǎo)出的螺旋線彎管的數(shù)學(xué)模型方程為：

聯(lián)系式(4)的思想，進(jìn)一步的推導(dǎo)，則有如下方程：

其中，n為螺旋線紋的圈數(shù)，α為環(huán)形螺旋弧長對應(yīng)的角度。

斜螺線彎管模型如圖4所示。

圖4　斜螺線彎管模型

1.5斜螺旋線彎管數(shù)學(xué)模型的建立

斜螺旋線彎管數(shù)學(xué)模型與螺旋線彎管數(shù)學(xué)模型的差別在于：多了一個螺旋線傾斜角β（angle of inclination）。傾斜角是直線與X軸正方向所成的角。而本文中的傾斜角為普通環(huán)面螺旋線與傾斜螺旋線切線的夾角，如圖5中β所示。

圖5　斜螺線傾斜角

由幾何知識，結(jié)合環(huán)形數(shù)學(xué)模型、斜螺線的數(shù)學(xué)模型與鼓形體的數(shù)學(xué)模型，由式(1)至式(8)可知，傾斜螺旋線彎管數(shù)學(xué)模型方程為：

其中，q.sin(α)決定傾斜角β的大小，其系數(shù)q越大，則傾斜角β越大，反之亦然。

1.6任意角度起點(diǎn)斜螺旋線彎管數(shù)學(xué)模型的建立

任意角度起點(diǎn)就是改變空間曲線的起始位置，換言之，將空間曲線起始位置旋轉(zhuǎn)任意φ后，所得到的圖形。由空間幾何知識可知，任意角度起點(diǎn)傾斜螺旋線彎管數(shù)學(xué)模型方程為：

空間曲線旋轉(zhuǎn)45°后的系列組圖如圖6所示。

圖6　任意角度起點(diǎn)圖形模型

1.7斜螺旋線彎管曲線做回轉(zhuǎn)運(yùn)動數(shù)學(xué)模型的建立

聯(lián)立環(huán)面螺旋線數(shù)學(xué)模型(3)、鼓形體的數(shù)學(xué)模型(6)和任意角度起點(diǎn)斜螺旋線彎管數(shù)學(xué)模型(10)，將斜螺旋線彎管曲線建立在y-z平面，圖形中心正好位于z軸上，且關(guān)于y軸對稱的位置，繞y軸做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，便可得到斜螺旋線彎管曲線做回轉(zhuǎn)運(yùn)動時的數(shù)學(xué)模型，故而推出斜螺旋線彎管曲線做回轉(zhuǎn)運(yùn)動時的數(shù)學(xué)模型為：

其中δ為回轉(zhuǎn)體運(yùn)動的角度，若恰好旋轉(zhuǎn)一周時，則δ取為360°。

總結(jié)上面的推導(dǎo)過程，我們已經(jīng)得到了鼓形體、螺旋線彎管曲線、任意角度起點(diǎn)斜螺旋線彎管曲線、斜螺旋線彎管曲線做回轉(zhuǎn)運(yùn)動數(shù)學(xué)模型等多種復(fù)雜曲面的數(shù)學(xué)模型。實(shí)際中，彎曲螺旋線的傾角δ大小由q.sin(α)確定，其系數(shù)q，p，δ的取值都要根據(jù)零件的具體情況酌情而定，不可一概論之。

2　斜螺旋線彎管曲線做回轉(zhuǎn)運(yùn)動數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用

隨著超導(dǎo)技術(shù)的迅猛發(fā)展，超導(dǎo)技術(shù)在諸多領(lǐng)域應(yīng)用越來越廣泛。而作為超導(dǎo)技術(shù)關(guān)鍵部件的超導(dǎo)線圈骨架，也隨著超導(dǎo)技術(shù)的發(fā)展，形狀也越來越復(fù)雜。某超導(dǎo)技術(shù)的線圈形狀方程接近斜螺旋線彎管曲線，經(jīng)過近似處理后得到如下數(shù)據(jù)：

由將以上參數(shù)代入斜螺旋線彎管數(shù)學(xué)模型方程(9)，可得此超導(dǎo)線圈形狀方程如式(12)所示。

當(dāng)t取32π××?xí)r，該超導(dǎo)線圈的圖形顯示如圖7所示。

圖7　某超導(dǎo)線圈t=32π××?xí)r的空間模型

依第二部分?jǐn)?shù)學(xué)模型知識可知，要使該斜螺旋線空間曲線在空間旋轉(zhuǎn)，進(jìn)一步了解曲線上的點(diǎn)的軌跡，以斜螺旋線彎管曲線做回轉(zhuǎn)運(yùn)動時的數(shù)學(xué)模型可知，必須將圖形按任意角度起點(diǎn)數(shù)學(xué)模型旋轉(zhuǎn)90°。使得斜螺旋曲線關(guān)于y軸對稱，才滿足式(10)的數(shù)學(xué)模型條件，進(jìn)而圍繞z軸旋轉(zhuǎn)。將式(12)按式(10)改變圖形后得到圖8所示。

圖8　超導(dǎo)斜螺線改變圖形起點(diǎn)后的模型

此圖形的數(shù)學(xué)模型如式(13)所示。

超導(dǎo)線圈的空間曲線圍繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的空間方程如式(14)所示。

以式(13)便可得到此超導(dǎo)線圈的空間曲線的運(yùn)動軌跡如圖9所示。

圖9　超導(dǎo)斜螺線圈數(shù)為3時的軌跡

超導(dǎo)線圈的空間曲線圍繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的空間旋轉(zhuǎn)軌跡如圖10所示。

圖10　超導(dǎo)斜螺線圈數(shù)為3做轉(zhuǎn)空間旋轉(zhuǎn)的軌跡

得到的超導(dǎo)線圈繞z軸旋轉(zhuǎn)曲面的空間造型如圖11所示。

圖11　超導(dǎo)斜螺線圈數(shù)為3時的旋轉(zhuǎn)空間曲面圖

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3　結(jié)論

通過對斜螺線彎管為代表的非回轉(zhuǎn)體零件做回轉(zhuǎn)運(yùn)動出現(xiàn)的問題進(jìn)行研究，從空間幾何學(xué)的角度對斜螺線旋轉(zhuǎn)的要素進(jìn)行分析，從橢球體，鼓形體的數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步延展到螺旋線鼓形體，斜螺旋線橢球體，進(jìn)一步得出任意起點(diǎn)斜螺線彎管的數(shù)學(xué)模型，從而得到非回轉(zhuǎn)體零件做回轉(zhuǎn)運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型。然后通過MATLAB對其數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證，從而得到斜螺線彎管做回轉(zhuǎn)運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型。為后續(xù)二次開發(fā)的研究提供了理論基礎(chǔ)。

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Research on the mathematical model of bending oblique spiral

MA Jian-guo1, YAO Yun-ping1, ZHANG Xiao-qi2, CHEN Hui-xian1

TH126；TP301

A

1009-0134(2016)07-0089-04

2016-03-18

馬建國（1990 -），男，甘肅定西人，碩士，研究方向?yàn)镃AD/CAM、數(shù)控復(fù)雜型面精密加工技術(shù)。