三項式展開式系數(shù)的求解策略

劉忠君

在二項式定理的內(nèi)容中，經(jīng)常涉及三項式展開式的問題，如求三項式展開式中的某一項或某一項的系數(shù)等. 對特殊類型的三項式而言，可轉(zhuǎn)化為二項式問題求解，而對于一般三項式，則問題顯得較為復(fù)雜. 本文將通過具體例子來說明三項式展開式問題的求解方法，并在二項式展開式問題的基礎(chǔ)上，推廣得出求三項式展開式中系數(shù)問題的一般方法.

轉(zhuǎn)化為二項式求解

例1 求[（x2+1x+2）5]的展開式中的常數(shù)項.

解析 方法一：∵[（x2+1x+2）5]=[[12（x+2x）2]5=2-5×（x+2x）10]，

其通項為[Tr+1=Cr10·xr2-10-r2·210-r2].

令[r2-10-r2=0]，解得，[r=5].

∴所求常數(shù)項為[2-5·C510·252=6322].

方法二：∵[（x2+1x+2）5]=[（x2+22x+22x）5=[（x+2）2]5（2x）5=（x+2）10（2x）5]，

對于二項式[（x+2）10]，其通項為[Tr+1=Cr10·x10-r·2r2]，要得到原展開式中的常數(shù)項，則只須[10-r=5]，即[r=5].

∴所求常數(shù)項為[C510·25225=6322].

點撥 求三項式展開式中的系數(shù)問題，其解題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化思想方法，將三項式轉(zhuǎn)化為二項式問題求解. 上述方法一和方法二對特殊類型的三項式來說，是較實用又簡捷的一種思考方法，但對一般的三項式來說卻行不通，需另行他法.

例2 求[（x-1+1x）5]的展開式中含[x]的項.

解析 ∵[（x-1+1x）5=1x5[（x2-x）+1]5]，

∴要求展開式中含[x]的項，只須求[[（x2-x）+1]5]中含[x6]的項.

∵[[（x2-x）+1]5][=（x2-x）5+5（x2-x）4+10（x2-x）3+10（x2-x）2+5（x2-x）+1]，

∴只有[（x2-x）5]，[5（x2-x）4]和[10（x2-x）3]中才有可能含有[x6]的項.

又[（x2-x）5=x5（x-1）5]的展開式中[x6]的系數(shù)為[C45=5]，

[5（x2-x）4=5x4（x-1）4]的展開式中[x6]的系數(shù)為[5C24=30]，

[10（x2-x）3=10x3（x-1）3]的展開式中[x6]的系數(shù)為10，

∴[（x-1+1x）5]展開式中含[x]的項為[（5+30+10）x=][45x].

點撥 顯然，對此例用例1中的兩種方法求解是較復(fù)雜的，對此，不妨將其變形、展開，再轉(zhuǎn)化為二項式的情形求解. 另外，此例也可轉(zhuǎn)化為[（x-1+1x）5=][[x2+（1-x）]5x5]，再展開求解. 同學(xué)們不妨試一試，看能否找到解題的“捷徑”.

回歸定義（或課本）求解

例3 題目見例2.

解析 ∵[（x-1+1x）5]可看作五個[（x-1+1x）]相乘，由多項式乘法法則，從以上五個括號中一個括號內(nèi)取[x]，其他四個括號內(nèi)取常數(shù)項，則積為[x]的一次項，此時系數(shù)為[C15?1?C44（-1）4=5].

同理，從以上五個括號中兩個括號內(nèi)取[x]，一個括號內(nèi)取[1x]，兩個括號內(nèi)取常數(shù)項，其積也為[x]的一次項，此時系數(shù)為[C25?C13?C22（-1）2=30].

再從以上五個括號中三個括號內(nèi)取[x]，兩個括號內(nèi)取[1x]，其積也為[x]的一次項，此時系數(shù)為[C35?C22=10].

綜上知，展開式中含[x]的項為[（5+30+10）x=45x].

點撥 上述方法實際上是一種“回歸法”，即回歸到課本中的定義、概念上去，通過對定義、概念等的透徹理解，從而得到解題的方法. 此種方法在數(shù)學(xué)解題中非常重要，應(yīng)深刻領(lǐng)會，熟練掌握.

例4 求[（x2+3x-1）9·（2x+1）4]展開式中含[x2]的項的系數(shù).

解析 由題意得，前一式子中的[x2]、[3x]及后一式子中的[2x]取出的個數(shù)有以下幾種情況：1，0，0；0，2，0；0，1，1；0，0，2.

所以展開式中含[x2]的項為

[C19x2C88（-1）8C44+C29（3x）2C77（-1）7C44+C19（3x）1C88（-1）8C14（2x）C33+]

[+C99（-1）9C24（2x）2C22=-123x2].

故展開式中含[x2]的項的系數(shù)為-123.

點撥 顯然，此例轉(zhuǎn)化為二項式問題求解是很困難的. 為此，考慮用回歸課本的方法求解則較為方便. 注意，回歸課本并不是要拘泥于教材，而是在充分理解的基礎(chǔ)上熟練地駕馭教材，并用“另一雙眼睛”去解讀和處理教材，讀出“味道”，“用活”知識，“構(gòu)建”網(wǎng)絡(luò)，從而達(dá)到提升能力之目的.

利用公式（定理）求解

我們知道，二項式[（a+b）n]的展開式的通項為[Tr+1=Crnan-rbr]. 令[p+r=n]，則[Tr+1=Crnapbr]，其系數(shù)[Crn=n！r！（n-r）！=n！p！r！]. 由此得到如下結(jié)論：[（a+b）n]的展開式中含[apbr]的系數(shù)為[n！p！r！]，其中[p]，[r∈N]，且[p+r=n]. 將此結(jié)論推廣，可得到如下定理：

定理 [（a+b+c）n]的展開式中含[apbqcr]項的系數(shù)為[n！p！q！r！]，其中[p]，[q]，[r∈N]，且[p+q+r=n]. （證明略）

例5 求[（x+y2-2z）8]展開式中含[x6yz]項的系數(shù).

解析 由定理知，[p=6]，[q=r=1]，則所求系數(shù)為[8！6！1！1！·（12）1（-2）1=-56].

點撥 此例屬一般三項式問題，可直接用定理求解.

對于更一般的三項式，有以下的推論.

推論 三項式[（axt+bxk+c）n]的展開式中含[xm]的系數(shù)為[n！p！q！r！apbqcr]，其中[p]，[q]，[r∈N]，[tp+kq=m]，且[p+q+r=n]（∑表示對所有的[p]，[q]，[r]求和）. （證明略）

例6 （1）求[（1+x+x2）8]的展開式中[x5]的系數(shù)；

（2）求[（|x|+1x-2）3]的展開式中的常數(shù)項.

解析 （1）由推論得，[p+q+r=8，q+2r=5，]

即[p=3，q=5，r=0，]或[p=4，q=3，r=1，]或[p=5，q=1，r=2.]

∴展開式中[x5]的系數(shù)為

[8！p！q！r！=8！3！5！0！+8！4！3！1！+8！5！1！2！=504].

（2）由推論得，[p+q+r=3，p-q=0，] 即[p=0，q=0，r=3，]或[p=1，q=1，r=1.]

∴展開式中的常數(shù)項為

[3！p！q！r！·（-2）r=3！0！0！3！·（-2）3+3！1！1！1！·（-2）1=-20].

點撥 （1）中[x5]可看作[1p?xq?（x2）r]，由此得[q+2r=5]（其中[p+q+r=8]）. （2）中要求常數(shù)項，可將[（|x|+1x-2）3]中的一般項轉(zhuǎn)化為[|x|p?（|x|-1）q?（-2）r]，由題意和推論知，[p+q+r=3]，且[p-q=0].