例談幾何圖形中的排列組合問題

徐銳

排列組合是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，它對培養(yǎng)邏輯思維能力、分析解決實際問題的能力有著重要的意義. 排列組合與幾何圖形的整合問題是高考常見的題型，因為解決這類問題不僅要具備排列組合的有關(guān)知識，而且還要具備較強的空間想象能力與邏輯思維能力. 這是一類綜合性強、靈活性高、難度頗大的挑戰(zhàn)性問題. 本文通過對典型例題的剖析，歸納總結(jié)出解決此類問題的常用方法，以期對同學們的學習有所幫助.

分步、分類求解

例1 用5種不同的顏色給圖中的四個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，若要求相鄰（有公共邊）的區(qū)域不同色，則共有多少種不同的涂色方法.

[1 3 2 4 ]

解析 完成該事件可分步進行. 第一步，涂區(qū)域1，有5種顏色可選. 第二步，涂區(qū)域2，有4種顏色可選. 第三步，涂區(qū)域3，可先分類：若區(qū)域3的顏色與區(qū)域2相同，則區(qū)域4有4種顏色可選；若區(qū)域3的顏色與區(qū)域2不同，則區(qū)域3有3種顏色可選，此時區(qū)域4有3種顏色可選. 故不同的涂色方法共有5×4×（1×4+3×3）=260種.

點撥 對于常規(guī)問題，正面入手比較方便時，可直接采用兩個計數(shù)原理求解，但要注意條理清晰、不重不漏的原則. 本題的關(guān)鍵是對區(qū)域3的涂色進行分類，因為區(qū)域2與區(qū)域3同色和區(qū)域2與區(qū)域3異色對區(qū)域4的涂色選擇是有影響的，應把握本質(zhì)，注重技巧，有序分步，全面考慮，防止出現(xiàn)“重復”與“疏漏”的錯誤.

例2 將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法種數(shù)是 種（以數(shù)字作答）.

解析 分三類：①若涂5種顏色，有[A55]種涂法.

②若涂4種顏色，只能是底面四邊形相對頂點同色.

如圖，若A，C同色，只要考慮涂S，A，B，D四頂點，有[A45]種涂法. 同理，B，D同色仍有[A45]種涂法，故共有2[A45]種涂法.

③若涂3種顏色，則A，C同色且B，D同色，只要考慮涂S，A，B三個頂點，有[A35]種涂法.

由加法原理知，共有[A55]+[2A45]+[A35]=420種涂法.

點撥 本題以涂完整個模型需要用的顏色數(shù)作為討論的標準，涂5色怎么涂、涂4色怎么涂、涂3色怎么涂，標準清晰，不重不漏. 熟練掌握分類、分步的標準是解決排列組合問題的重中之重.

正難則反求解

例3 將3種植物全部種植在5塊試驗田里（如圖），要求每塊種植一種且相鄰的試驗田不能種植同一植物，不同的種植方法共 種（以數(shù)字作答）.

[1 2 3 4 5 ]

解析 將3種作物種植在5塊試驗田里，每塊種一種作物，且相鄰的試驗田不能種同一種作物，就是第一塊可以種3種不同的植物，第二塊與第一塊不同，就只能種2種不同的植物，余下的幾塊都只能種2種不同的植物. 但這樣會造成5塊田只種2種植物的情況，所以不同的種植方法共有3×2×2×2×2-2[C23]=42.

點撥 當所涉及的問題數(shù)量較大或從正面分類（列舉）比較困難時，可以先計算出滿足一個大標準的所有可能情況，再排除不符合題意的情況，即利用“正難則反”的方法求解.

例4 以一個正五棱柱的頂點 為頂點的四面體共有（ ）

A. 200個 B. 190個

C. 185個 D. 180個

解析 正五棱柱共有10個頂點，若每四個頂點構(gòu)成一個四面體，共可構(gòu)成[C410]=210個四面體，其中四點在同一平面內(nèi)的情形有三類：

①每一底面內(nèi)的5點中任選4點的方法有[2C45]種；

②5條側(cè)棱中，任選兩條側(cè)棱共面，共有[C25]種；

③一個底面的一邊與另一個底面相應的一條對角線平行（例如[AB∥E1C1]），這樣的四點共面的情形共有[2C15]種.

故四面體的個數(shù)為[C410-2C45-C25-2C15]=180個.

答案 D

點撥 本題的難點在四點共面情況的剔除上. 剔除時，使用了立體幾何中有關(guān)共面的知識. 在具體的解題過程中，綜合使用了正難則反與分類討論兩大法寶，清晰、自然. 正所謂“解題有法，但法無定法，貴在得法”. 只有平時在學習中善于思考、善于挖掘、善于總結(jié)，才能將“方法”在解題中運用自如.

聯(lián)系模型求解

例5 不共面的四個定點到平面[α]的距離都相等，這樣的平面[α]共有 個.

解析 由題設條件，空間不共面的四點可構(gòu)成四面體. 考慮四面體[A-BCD]的四個頂點在所求平面兩側(cè)的分布情況，易知當所求平面位于三棱錐的頂點與底面之間（如平面[EFG]）時有4個. 當所求平面位于三棱錐相對棱之間（如平面[EMHF]）時有3個. 故所求平面共有7個.

點撥 本題把不共面的四個點看作一個四面體來分析，讓思考的問題背景更加貼近常見的模型，降低了思維難度. 平時的學習過程中留心各種小結(jié)論，在解題的時候注意聯(lián)系化歸，常常會有意想不到的效果.

例6 以長方體的八個頂點中的任意3個為頂點的所有三角形中，銳角三角形共有 個.

解析 聯(lián)想課本習題：“將正方體截去一角，求證：截面是銳角三角形”，易知從長方體的一個頂點出發(fā)的三條棱的另3個端點可構(gòu)成銳角三角形. 長方體有8個頂點，從而可構(gòu)成8個銳角三角形.

點撥 長方體與正方體有相似的幾何性質(zhì). 根據(jù)平行的相關(guān)知識，截長方體和截正方體形成的截面的形狀是可以類比的，因此本題借助正方體的性質(zhì)來解決長方體的問題是一個不錯的觀察角度.

綜合利用相關(guān)知識求解

例7 已知直線[xa+yb=1][（a]，[b]是非零常數(shù)）與圓[x2+y2=100]有公共點，且公共點的橫坐標和縱坐標均為整數(shù)，那么這樣的直線共有（ ）

A. 60條 B. 66條

C. 72條 D. 78條

解析 圓[x2+y2=100]上的整數(shù)點有（10，0），（-10，0），（0，10），（0，-10），（6，8），（8，6），（6，-8），（8，-6），（-6，8），（-8，6），（-6，-8），（-8，-6），共12個. 每兩點構(gòu)成一條直線共[C212=66]條，過整點的圓的切線有[C112=12]條；去掉其中的14條平行于坐標軸的直線，再去掉6條過原點的直線；最后加上既平行于坐標軸又過原點的兩條直線，則滿足題意的直線共有66+12-14-6+2=60條.

答案 A

點撥 本題綜合運用了平面幾何知識、圓的切線、直線的截距式概念，以及集合的交、并、補的思想等內(nèi)容. 由于知識點較多，問題較復雜，因此，在考慮問題時既要概念清晰，又要邏輯嚴密，更要全面考慮，做到不重不漏. 在知識的交匯處做文章是高考命題的特點，需要同學們在平時的學習中深刻體會.