基于POD和代理模型的熱氣防冰性能預(yù)測(cè)方法

楊倩，郭曉峰，李芹，董威

上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240

在結(jié)冰氣象條件下飛行時(shí)，飛機(jī)部件表面會(huì)產(chǎn)生積冰，嚴(yán)重危害飛行安全［1-2］。近些年，飛機(jī)結(jié)冰及由此引發(fā)的飛行事故越來(lái)越受到關(guān)注［3-4］。民用航空飛行器廣泛采用熱防冰系統(tǒng)將部件表面加熱至0 ℃以上，以達(dá)到防冰目的。其中，熱氣防冰系統(tǒng)是大型民用飛機(jī)上常見(jiàn)的熱防冰手段。從壓氣機(jī)某級(jí)引出的熱空氣經(jīng)由管道輸送到機(jī)翼、進(jìn)氣道等部件前緣，再經(jīng)由笛形管表面開有的射流孔流入防冰腔，并沿蒙皮內(nèi)表面流動(dòng)，將熱量通過(guò)蒙皮傳導(dǎo)到外表面，保證機(jī)翼、進(jìn)氣道等部位不發(fā)生結(jié)冰。

防冰腔內(nèi)部結(jié)構(gòu)是影響防冰表面溫度、溢流水分布等性能的主要因素。在防冰系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中需對(duì)內(nèi)部結(jié)構(gòu)進(jìn)行多輪迭代，以保證在一定引氣溫度和熱氣流量下達(dá)到最優(yōu)的防冰效果和最高的能量利用效率。評(píng)估防冰系統(tǒng)性能的方法有冰風(fēng)洞試驗(yàn)、數(shù)值仿真等。其中冰風(fēng)洞試驗(yàn)準(zhǔn)備周期長(zhǎng)，實(shí)施成本高，縫翼、全尺寸短艙等部件還需進(jìn)行模型縮比或試驗(yàn)條件縮比［5-6］，在設(shè)計(jì)階段不適用。利用數(shù)值仿真評(píng)估防冰性能包括蒙皮內(nèi)外流場(chǎng)計(jì)算［7-8］，防冰性能計(jì)算［9］等多個(gè)過(guò)程，迭代求解速度仍舊較慢。特別是當(dāng)采用遺傳算法等方法開展優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，需要上千、甚至上萬(wàn)次性能評(píng)估，數(shù)值仿真所需的時(shí)間成本也是不能接受的。

代理模型是基于給定的描述客觀事實(shí)的數(shù)據(jù)集進(jìn)行插值或者回歸構(gòu)造出的近似替代模型，用以表達(dá)復(fù)雜系統(tǒng)，被廣泛應(yīng)用于多個(gè)研究領(lǐng)域［10-14］。代理模型需要比原始模型計(jì)算量小、計(jì)算時(shí)間短、且能保證計(jì)算精度不顯著降低。代理模型的結(jié)構(gòu)大多是多變量輸入，單目標(biāo)值輸出。例如輸入防冰腔內(nèi)笛形管射流孔間距、射流孔角度，輸出防冰表面平均溫度或總溢流水流量。但是，在熱氣防冰系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中僅僅知道表面平均溫度或總溢流水流量并不能有效指導(dǎo)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化方向。全面描述防冰系統(tǒng)性能需要建立的代理模型個(gè)數(shù)為防冰表面總網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)和選定防冰性能參數(shù)總個(gè)數(shù)的乘積，這無(wú)疑會(huì)增加構(gòu)建代理模型的成本。

本征正交分解（Proper Orthogonal Decom?position，POD）能夠?qū)?fù)雜系統(tǒng)分解為若干個(gè)基模態(tài)來(lái)捕捉系統(tǒng)的主要特征，并利用線性疊加基模態(tài)實(shí)現(xiàn)復(fù)雜系統(tǒng)重構(gòu)［15-18］。利用本征正交分解能夠?qū)⑷S防冰表面溫度、溢流水等性能參數(shù)分解為表達(dá)其特征的基模態(tài)，并得到利用基模態(tài)重構(gòu)防冰性能所需的線性擬合系數(shù)，從而將復(fù)雜的三維表面性能參數(shù)樣本降階為可以用于代理模型訓(xùn)練的擬合系數(shù)樣本。但是，防冰表面溢流水分布受到外部結(jié)冰環(huán)境、內(nèi)部防冰結(jié)構(gòu)的多重影響，流動(dòng)存在干、濕間斷分區(qū)，需要合理選擇基模態(tài)階數(shù)、擬合系數(shù)維度才能實(shí)現(xiàn)高效的性能預(yù)測(cè)。

基于本征正交分解和代理模型提出了一種實(shí)現(xiàn)熱氣防冰性能快速預(yù)測(cè)的方法。首先在熱氣防冰結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量空間內(nèi)進(jìn)行拉丁超立方抽樣［19］（Latin Hypercube Sampling，LHS），得到均勻分層的笛形管結(jié)構(gòu)參數(shù)樣本，并求解結(jié)構(gòu)參數(shù)樣本對(duì)應(yīng)表面溫度、溢流水分布等防冰性能。之后，利用本征正交分解找出表達(dá)防冰性能主導(dǎo)特征的基模態(tài)以及重構(gòu)防冰性能所需擬合系數(shù)。最后，基于支持向量機(jī)回歸［20-21］（Support Vector Regression，SVR）機(jī)器學(xué)習(xí)方法建立結(jié)構(gòu)參數(shù)樣本和擬合系數(shù)間的代理模型，實(shí)現(xiàn)笛形管熱氣防冰優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中對(duì)防冰性能的預(yù)測(cè)與評(píng)估。針對(duì)三維縫翼笛形管熱氣防冰系統(tǒng)所開展的驗(yàn)證表明該方法對(duì)熱氣防冰表面溫度和溢流水均有較好的預(yù)測(cè)效果。

1 本征正交分解方法

本征正交分解可以在觀測(cè)所得復(fù)雜物理場(chǎng)的基礎(chǔ)上獲得一系列基模態(tài)。借助Sirovich［22-24］引入的方法，令線性無(wú)關(guān)向量集合中的每一個(gè)元素均為l維空間Ω∈Rl中的一個(gè)向量，稱之為“快照（Snapshot）”。找出快照所張空間Ψ中的一組規(guī)范正交基，使 得 集 合中的元素在這組基上的投影最大：

式 中：( · ， · )表 示 內(nèi) 積 運(yùn) 算。規(guī) 范 正 交 基中的基向量可以用向量之間的線性疊加來(lái)表示，即求得系數(shù)即可求得規(guī)范正交基Φ(j)。對(duì)于規(guī)范正交基Φ(j)，其第j個(gè)基模態(tài)中的第i個(gè)系數(shù)為快照間協(xié)方差矩陣Rn×n的第j個(gè)特征值對(duì)應(yīng)特征向量的第i個(gè)元素，即：令λ(1)，λ(2)，???，λ(n)為矩陣Rn×n的從大到小排列的n個(gè)互異特征值，其中Rn×n的 第i行 第j列 元 素 為為λ(i)對(duì)應(yīng)的特征向量。第i個(gè)POD基模態(tài)可以表示為

n個(gè)快照可以分解得到n個(gè)基模態(tài)。理論證明，保留少量POD基模態(tài)就可以有效捕捉原始數(shù)據(jù)的主要特征。特征值的大小表征了POD基模態(tài)對(duì)原始數(shù)據(jù)特征的代表程度，前m個(gè)基模態(tài)所包含的廣義能占總能量的比率為

可以按照特征值λ由大到小衰減、能量占比E由小到大增加的序列選擇適當(dāng)?shù)腜OD基模態(tài)階數(shù)。

2 支持向量機(jī)回歸模型

支持向量機(jī)是基于統(tǒng)計(jì)學(xué)理論的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，可以用于回歸分析。該方法使用結(jié)構(gòu)最小化原則，可以更好地解決小樣本學(xué)習(xí)問(wèn)題，同時(shí)使用核函數(shù)將非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題，降低了算法的復(fù)雜程度。假定訓(xùn)練樣本集首 先考慮用線性回歸函數(shù)：

式中：w和b為回歸函數(shù)f(x)的權(quán)值和閾值。采用最小化歐幾里德空間的范數(shù)來(lái)尋找最小的w。假定所有訓(xùn)練數(shù)據(jù)(xi，yi)都可以在精度ε下用線性函數(shù)擬合，那么尋找最小w的問(wèn)題就可以表示成凸優(yōu)化問(wèn)題：

約束條件：

考慮允許存在擬合誤差，引入松弛因子ξi≥0和將優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

約束條件：

式中：i=1，2，…，n；常數(shù)C>0是預(yù)先給定的，用來(lái)平衡回歸函數(shù)f的平坦程度和偏差大于ε的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，函數(shù)的圖形如圖1所示。

圖1 支持向量機(jī)回歸Fig. 1 Support vector regression

將上述優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的對(duì)偶問(wèn)題，同時(shí)引進(jìn)核方法將對(duì)偶問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解以下約束問(wèn)題的最大值，解得Lagrange乘子

式中：K( · ， · )表示核函數(shù)。約束條件為

出于穩(wěn)定性考慮，b的求解采用支持向量的平均值，其中

得到目標(biāo)回歸方程：

3 基于POD和支持向量機(jī)回歸的防冰性能快速預(yù)測(cè)方法

基于上述本征正交分解和支持向量機(jī)回歸模型提出了一種全新的熱氣防冰性能快速預(yù)測(cè)方法。首先在笛形管設(shè)計(jì)變量空間進(jìn)行拉丁超立方抽樣，得到n個(gè)q維的設(shè)計(jì)參數(shù)向量P(i)=[xi1，xi2，…，xiq]，i=1，2，…，n。針 對(duì)P(i)依 次 開展防冰性能數(shù)值仿真，得到n個(gè)防冰性能樣本。將固體蒙皮外表面溫度和溢流水分布結(jié)果整理成快照的形式：

快照集合U的第i列表示輸入結(jié)構(gòu)參數(shù)P(i)對(duì)應(yīng)的l個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的溫度值（T1i~Tli）和溢流水流量值

采用奇異值分解求解快照集合U的基模態(tài)及基模態(tài)對(duì)應(yīng)特征值。對(duì)U進(jìn)行奇異值分解可以得到

式中：W為一個(gè)2l×2l的矩陣；Σ為一個(gè)2l×n的矩陣，其主對(duì)角線上元素稱為奇異值，主對(duì)角線以外的元素全為0；V為一個(gè)n×n的矩陣。W和V都是酉矩陣，滿足WTW=I，VTV=I。W中的每一列都是快照集合U的一個(gè)基模態(tài)，Σ中主對(duì)角線上每一個(gè)元素的平方都是對(duì)應(yīng)基模態(tài)的特征值λ。截取前m個(gè)基模態(tài)就可以捕捉到U的絕大部分特征。通過(guò)線性疊加這m個(gè)基模態(tài)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)U的近似擬合：

其中：U(i)表示快照集合U的第i列，且m

式中：M為m×m的對(duì)稱矩陣為m維向量由于W是酉矩陣，且為W矩陣的列向量，滿 足Mij=代入式（17）得至此，輸入結(jié)構(gòu)參數(shù)向量P(i)所確定的防冰性能樣本就可以用m維系數(shù)向量來(lái)實(shí)現(xiàn)近似擬合。

采用代理模型建立輸入?yún)?shù)P(i)和擬合系數(shù)b(i)之間的關(guān)系就可以預(yù)測(cè)已給出訓(xùn)練樣本之外的輸入?yún)?shù)對(duì)應(yīng)的防冰性能。當(dāng)截取前m個(gè)基模態(tài)時(shí)，需要針對(duì)m維的擬合系數(shù)建立m個(gè)代理模型，即

完成代理模型訓(xùn)練后，依次向m個(gè)代理模型輸入測(cè)試樣本向量1，2，…，ntest，預(yù)測(cè)得到測(cè)試樣本對(duì)應(yīng)的m維擬合系數(shù)b(k)，如圖2所示。將擬合系數(shù)向量b(k)和截取的基模態(tài)輸入式（16），就可以實(shí)現(xiàn)P()k對(duì)應(yīng)防冰性能的預(yù)測(cè)，即防冰表面l個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的溫度分布和溢流水流量分布。

圖2 代理模型的輸入和輸出Fig. 2 Inputs and outputs of surrogate models

4 熱氣防冰表面溫度和溢流水快照構(gòu)建計(jì)算方法

傳統(tǒng)防冰性能數(shù)值仿真方法求解熱氣防冰表面溫度、溢流水分布等性能快照時(shí)，同時(shí)計(jì)算蒙皮外部冷空氣流場(chǎng)和內(nèi)部熱氣射流流場(chǎng)，工作量非常大。為了加快性能快照積累速度，將冷空氣來(lái)流和過(guò)冷水滴撞擊簡(jiǎn)化為蒙皮外表面邊界條件，將由給定笛形管結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的熱氣射流流動(dòng)簡(jiǎn)化為蒙皮內(nèi)表面邊界條件。僅針對(duì)蒙皮固體計(jì)算域，在其外表面建立溢流水質(zhì)量和能量守恒方程，迭代計(jì)算防冰熱載荷至表面溫度和溢流水均收斂。

4.1 蒙皮外表面防冰熱載荷計(jì)算

蒙皮外表面空氣流場(chǎng)計(jì)算模型與選取研究模型保持一致，將模型位于流場(chǎng)計(jì)算域中間。近壁面網(wǎng)格進(jìn)行局部加密處理，以滿足Spalart-Allmaras湍流模型對(duì)邊界層的計(jì)算要求?？諝饬鲌?chǎng)計(jì)算域入口和出口分別為速度入口和壓力出口邊界條件。

求解防冰部件表面局部水滴收集系數(shù)是開展防冰熱載荷計(jì)算的前提。采用歐拉法求解水滴相場(chǎng)［25］，水滴相控制方程為

式中：α表示當(dāng)前控制容積內(nèi)水滴相體積分?jǐn)?shù)；ρa(bǔ)、ρd分別表示空氣、水滴的密度；ua表示空氣運(yùn)動(dòng)速度；ud表示水滴運(yùn)動(dòng)速度；d表示水滴平均直徑；CD為水滴阻力系數(shù)。

當(dāng)水滴相控制方程計(jì)算收斂時(shí)，部件表面的水滴體積分?jǐn)?shù)能夠反映當(dāng)?shù)匾簯B(tài)水含量的實(shí)際情況，從而計(jì)算得到當(dāng)?shù)鼐植克问占禂?shù)β：

式中：u∞表示未受到擾動(dòng)位置的水滴速度；α∞表示未受到擾動(dòng)位置的水滴相體積分?jǐn)?shù)；n表示撞擊位置的單位法向量。

防冰系統(tǒng)工作時(shí)撞擊的過(guò)冷水滴升溫并蒸發(fā)，沒(méi)有蒸發(fā)的隨著氣流方向溢流形成水膜，防冰表面溢流水控制容積中的各質(zhì)量項(xiàng)和能量項(xiàng)如圖3所示。

圖3 防冰表面控制容積質(zhì)量與能量守恒示意圖Fig. 3 Schematic diagram of mass and energy conser?vation of control volume on anti-icing surface

考慮圖3所示防冰表面溢流水控制容積，建立質(zhì)量守恒方程［26-27］：

根據(jù)防冰表面能量平衡，建立圖3所示控制容積能量守恒方程［26-27］：

防冰系統(tǒng)工作時(shí)防冰熱載荷與防冰系統(tǒng)提供的熱量達(dá)到平衡，根據(jù)式（23）可以得到當(dāng)前溫度條件下蒙皮外部防冰熱載荷Q?load：

4.2 熱氣射流沖擊換熱計(jì)算

利用熱氣射流換熱特性關(guān)聯(lián)式來(lái)代替防冰腔內(nèi)部流場(chǎng)數(shù)值仿真，從而獲取給定笛形管結(jié)構(gòu)參數(shù)樣本所對(duì)應(yīng)蒙皮內(nèi)表面邊界條件。根據(jù)熱氣射流的流動(dòng)特性，可以將高溫氣體沖擊蒙皮內(nèi)表面劃分為3個(gè)流動(dòng)區(qū)域［8］，如圖4所示。根據(jù)射流孔所在截面笛形管圓心、射流孔圓心、射流駐點(diǎn)三點(diǎn)共線在蒙皮內(nèi)表面尋找射流駐點(diǎn)，并以駐點(diǎn)為基準(zhǔn)沿徑向求解蒙皮內(nèi)表面的對(duì)流換熱系數(shù)分布。

圖4 熱氣射流流動(dòng)示意圖Fig. 4 Schematic diagram of hot air jet flow

適合的關(guān)聯(lián)式是準(zhǔn)確預(yù)測(cè)熱氣射流換熱特性的關(guān)鍵。綜合考慮笛形管表面射流孔孔徑D、射流孔到蒙皮內(nèi)表面的距離Zn、射流孔排布方式；熱氣射流出口雷諾數(shù)為單個(gè)射流孔熱氣質(zhì)量流量，μa為氣流黏性系數(shù)；不考慮熱氣射流之間相互作用［28］，選擇由Goldstein等［29］利用試驗(yàn)整理得到的單孔射流沖擊平均努塞爾數(shù)的計(jì)算關(guān)聯(lián)式：

式中：R表示蒙皮內(nèi)表面任意位置到射流駐點(diǎn)的距離；Nu表示當(dāng)?shù)嘏麪枖?shù)；試驗(yàn)參數(shù)范圍為61 000

在式（25）兩側(cè)對(duì)R求導(dǎo)，并整理得到

利用當(dāng)?shù)豊u數(shù)計(jì)算得到蒙皮內(nèi)表面對(duì)流換熱系數(shù)為

式中：h表示當(dāng)?shù)貙?duì)流換熱系數(shù)；ka表示氣流熱導(dǎo)率。

5 算例驗(yàn)證及分析

5.1 驗(yàn)證算例

為了驗(yàn)證提出的基于本征正交分解和支持向量機(jī)回歸模型的熱氣防冰性能預(yù)測(cè)方法，選用某三維縫翼笛形管熱氣防冰模型開展驗(yàn)證計(jì)算。如圖5（a）所示，模型由縫翼和翼盒2部分組成，弦長(zhǎng)為1.2 m，展長(zhǎng)為0.25 m，蒙皮厚度為2 mm。笛形管表面射流孔采用鉆石型排布。如圖5（b）所示，驗(yàn)證算例輸入結(jié)構(gòu)變量包括：① 展向2排射流孔間距L；② 笛形管軸線x方向坐標(biāo)xpic；③ 笛形管軸線y方向坐標(biāo)ypic；④ 中間排射流孔出流方向和水平方向夾角θ0；⑤ 兩側(cè)射流孔和中間排射流孔夾角θ1。因此，樣本參數(shù)向量維度q=5，所有結(jié)構(gòu)變量取值區(qū)間如表1所示。笛形管外徑為60 mm，射流孔孔徑為2 mm，均為固定值。由拉丁超立方抽樣共生成均勻分層的1 000個(gè)訓(xùn)練樣本和200個(gè)測(cè)試樣本，部分訓(xùn)練樣本和測(cè)試樣本的結(jié)構(gòu)參數(shù)分別如表2和表3所示。

圖5 預(yù)測(cè)方法驗(yàn)證模型Fig. 5 Validation model for estimation method

表1 熱氣防冰結(jié)構(gòu)參數(shù)取值區(qū)間Table 1 Range of hot air anti-icing geometric parameters

表2 訓(xùn)練樣本Table 2 Training samples

在給定飛行條件和結(jié)冰條件下開展蒙皮外表面壓力、氣流速度、氣流與表面對(duì)流換熱系數(shù)、局部水滴收集系數(shù)計(jì)算，認(rèn)為蒙皮外表面冷空氣流場(chǎng)和水滴場(chǎng)不受內(nèi)部笛形管結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的影響，僅需計(jì)算一次?？諝馑俣葹?0 m/s，攻角為2.5°，環(huán)境溫度為264.15 K，平均水滴直徑為20 μm，液態(tài)水含量為0.5 g/m3。

利用熱氣射流沖擊換熱計(jì)算得到防冰結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)應(yīng)蒙皮內(nèi)表面對(duì)流換熱系數(shù)，計(jì)算中輸入笛形管結(jié)構(gòu)參數(shù)：L、xpic、ypic、θ0、θ1；并給定熱氣射流總溫459.15 K，單個(gè)射流孔流量與孔間距L有關(guān)，為1.33?(L/30) g/s。

表3 測(cè)試樣本Table 3 Testing samples

在給定固體蒙皮內(nèi)外表面邊界條件的基礎(chǔ)上，迭代計(jì)算蒙皮外表面溫度和溢流水分布，直到兩者均收斂，獲得該結(jié)構(gòu)參數(shù)樣本對(duì)應(yīng)防冰性能快照。用于開展防冰性能計(jì)算的蒙皮固體域網(wǎng)格為結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，共230 400個(gè)，如圖6所示。蒙皮外表面共23 040個(gè)網(wǎng)格，即式（14）中l(wèi)=23 040。

圖6 縫翼蒙皮結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格Fig. 6 Structured mesh of slat skin

為了有效評(píng)價(jià)POD擬合結(jié)果、代理模型預(yù)測(cè)結(jié)果的優(yōu)劣，定義溫度、溢流水流量的擬合誤差或預(yù)測(cè)誤差為

式 中：ERT、ERm?out為 所 有 樣 本 的 平 均 擬 合 誤 差 或平 均 預(yù) 測(cè) 誤 差；MAET，i、MAEm?out，i分 別 為 第i個(gè) 樣本溫度結(jié)果和溢流水流量結(jié)果的擬合誤差或預(yù)測(cè)誤差，具體定義為

現(xiàn)有飛機(jī)防冰計(jì)算中針對(duì)溢流現(xiàn)象采用的物理模型主要集中于溢流水控制容積質(zhì)量與能量守恒分析，對(duì)溢流水膜破裂、演化規(guī)律及流動(dòng)形態(tài)預(yù)測(cè)等方面還需要開展深入研究，來(lái)進(jìn)一步提高數(shù)值仿真積累快照樣本的精度。在針對(duì)建立的預(yù)測(cè)方法進(jìn)行效果評(píng)價(jià)時(shí)，為了不引起混淆，將結(jié)構(gòu)參數(shù)P(i)或P(k)通過(guò)數(shù)值仿真求解得到的結(jié)果稱為“實(shí)際結(jié)果”，利用POD擬合得到的結(jié)果稱為“擬合結(jié)果”，利用代理模型預(yù)測(cè)得到的結(jié)果稱為“預(yù)測(cè)結(jié)果”。

5.2 本征正交分解擬合結(jié)果

基于本征正交分解可以得到防冰性能快照集合U的基模態(tài)以及基模態(tài)對(duì)應(yīng)特征值。如圖7所示，基模態(tài)對(duì)應(yīng)特征值衰減迅速。根據(jù)式（4）計(jì)算得到了前m個(gè)基模態(tài)所包含廣義能的比率，發(fā)現(xiàn)第1階POD模態(tài)就包含了99.887%的能量，前10階包含了99.998%以上的能量。

圖7 前m個(gè)POD基模態(tài)對(duì)應(yīng)特征值和廣義能Fig. 7 Eigenvalues and energy captured by the firstmPOD basis

圖8給出了利用不同階數(shù)POD基模態(tài)得到溫度、溢流水?dāng)M合結(jié)果和訓(xùn)練樣本實(shí)際結(jié)果的平均絕對(duì)誤差?？梢钥闯?，隨著截取階數(shù)增多，每一個(gè)訓(xùn)練樣本擬合結(jié)果和實(shí)際結(jié)果間的平均絕對(duì)誤差都大幅下降。但是對(duì)比發(fā)現(xiàn)，當(dāng)截取階數(shù)為20時(shí)，ERT已經(jīng)<0.5 K，截取>80階基模態(tài)時(shí)誤 差 基 本 保 持 不 變，而ERm?out只 有 在 階 數(shù)>120時(shí)才基本不變，<0.005 g/（m·s）。

圖8 擬合誤差隨基模態(tài)數(shù)量變化Fig. 8 Fitted error changing with number of basis truncated

圖9 前m個(gè)POD基模態(tài)包含的廣義能Fig. 9 Energy captured by the firstmPOD basis

圖10 訓(xùn)練樣本#1擬合結(jié)果與實(shí)際結(jié)果對(duì)比Fig. 10 Comparison between fitted results and true results of Training sample #1

依據(jù)POD基模態(tài)截取階數(shù)對(duì)擬合結(jié)果和實(shí)際結(jié)果之間誤差的影響，截取前160階基模態(tài)重構(gòu)防冰性能，部分訓(xùn)練樣本重構(gòu)結(jié)果如圖10、圖11所示。圖中s表示從縫翼前緣測(cè)量的距離，正值表示縫翼上表面，負(fù)值表示縫翼下表面，s=0表示縫翼幾何駐點(diǎn)；z表示縫翼展向方向。實(shí)線對(duì)應(yīng)笛形管鉆石型排布中雙排孔位置，虛線對(duì)應(yīng)單排孔位置，并對(duì)這兩處位置的溫度、溢流水流量的擬合結(jié)果（POD）和數(shù)值結(jié)果（CFD）進(jìn)行了詳細(xì)對(duì)比。對(duì)比防冰表面溢流水流量分布，擬合結(jié)果和實(shí)際結(jié)果吻合得也較好，不僅能夠準(zhǔn)確捕捉溢流水由水滴撞擊區(qū)向縫翼后緣流動(dòng)的趨勢(shì)，而且能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)溢流水流量數(shù)值。

圖11 訓(xùn)練樣本#2擬合結(jié)果與實(shí)際結(jié)果對(duì)比Fig.11 Comparison between fitted results and true results of Training sample #2

5.3 代理模型預(yù)測(cè)結(jié)果

綜合考慮不同階數(shù)基模態(tài)的擬合效果和代理模型訓(xùn)練所需成本，選擇截取前160階POD基模態(tài)用于防冰性能預(yù)測(cè)。因此，需針對(duì)建立160個(gè)代理模型?；谥С窒蛄繖C(jī)回歸方法訓(xùn)練代理模型的過(guò)程中，采用網(wǎng)格搜索（Grid Search）和交叉驗(yàn)證（Cross Validation）來(lái)獲得最佳的核系數(shù)γ和懲罰參數(shù)C的組合。代理模型訓(xùn)練完成后依次預(yù)測(cè)測(cè)試樣本P(k)對(duì)應(yīng)的bk1，bk2，…，bk160，再利用式（16）線性疊加截取的160階基模態(tài)，實(shí)現(xiàn)防冰性能預(yù)測(cè)。

圖12展示了針對(duì)1 000個(gè)訓(xùn)練樣本和200個(gè)測(cè)試樣本采用代理模型預(yù)測(cè)得到的溫度、溢流水預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際結(jié)果的平均絕對(duì)誤差。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，訓(xùn)練樣本和測(cè)試樣本誤差量級(jí)相當(dāng)，保證了所建立預(yù)測(cè)方法有較好的泛化性，可以用于未知笛形管結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)應(yīng)防冰性能的快速預(yù)測(cè)。

圖13~圖15分別展示了代理模型預(yù)測(cè)結(jié)果與測(cè)試樣本實(shí)際結(jié)果的對(duì)比?？梢园l(fā)現(xiàn)，預(yù)測(cè)溫度結(jié)果和實(shí)際結(jié)果符合得較好，防冰表面各個(gè)位置的溫度數(shù)值和變化規(guī)律都預(yù)測(cè)得較為準(zhǔn)確。從溢流水預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際結(jié)果的對(duì)比來(lái)看，建立的預(yù)測(cè)方法在水滴撞擊區(qū)域內(nèi)能夠?qū)崿F(xiàn)較為準(zhǔn)確的溢流水分布預(yù)測(cè)，如測(cè)試樣本#1。但在水滴撞擊區(qū)域之外與實(shí)際結(jié)果存在差異，如測(cè)試樣本#2下表面和測(cè)試樣本#3下表面。造成這一現(xiàn)象的原因可解釋為：由于熱氣射流會(huì)形成局部高溫區(qū)域，高溫區(qū)域內(nèi)液態(tài)水完全蒸發(fā)或大量蒸發(fā)，導(dǎo)致防冰表面出現(xiàn)沿展向的周期性干、濕分區(qū)或沿展向的周期性流量先增大后減小的溪流狀水膜，即溢流水膜在該位置存在間斷特征。雖然能夠利用基模態(tài)捕捉到這類特征，但是在線性疊加過(guò)程中，基模態(tài)之間會(huì)將捕捉到的間斷特征相互抵消，這一現(xiàn)象和翼型跨聲速流場(chǎng)中激波預(yù)測(cè)存在誤差相似［30］，只能通過(guò)選擇合適的基模態(tài)階數(shù)來(lái)平衡全場(chǎng)溢流水預(yù)測(cè)精度和間斷處溢流水預(yù)測(cè)精度。

圖12 訓(xùn)練樣本和測(cè)試樣本預(yù)測(cè)誤差Fig. 12 Estimated error of training samples and testing samples

圖13 測(cè)試樣本#1預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際結(jié)果對(duì)比Fig. 13 Comparison between estimated results and true results of Testing sample #1

在Intel（R） Core（TM） i9主頻3.70 GHz 的CPU上單線程開展200個(gè)防冰結(jié)構(gòu)參數(shù)測(cè)試樣本的性能預(yù)測(cè)共需要9.41 s，即單個(gè)測(cè)試樣本僅需大約0.048 s，較需要數(shù)小時(shí)甚至數(shù)天才能完成的傳統(tǒng)數(shù)值仿真計(jì)算方法有了大幅提升，這對(duì)采用遺傳算法等優(yōu)化方法開展熱氣防冰系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要意義。

圖14 測(cè)試樣本#2預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際結(jié)果對(duì)比Fig.14 Comparison between estimated results and true results of Testing sample #2

圖15 測(cè)試樣本#3預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際結(jié)果對(duì)比Fig.15 Comparison between estimated results and true results of Testing sample #3

6 結(jié) 論

1） 本征正交分解可以利用基模態(tài)線性疊加實(shí)現(xiàn)對(duì)熱氣防冰表面溫度和溢流水分布的擬合重構(gòu)；相較于表面溫度，溢流水分布的特征較難捕捉；截取合適的基模態(tài)階數(shù)可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)溫度和溢流水分布較好的擬合效果。

2） 基于支持向量機(jī)回歸建立的代理模型對(duì)防冰表面溫度和溢流水分布預(yù)測(cè)有較好的泛化性；對(duì)防冰表面溫度有較高的預(yù)測(cè)精度；對(duì)水滴撞擊區(qū)域內(nèi)溢流水分布的預(yù)測(cè)精度較高，撞擊區(qū)域之外，由于溢流水存在間斷特征，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際結(jié)果存在差異。

3） 基于本征正交分解和代理模型建立的預(yù)測(cè)方法能夠?qū)崿F(xiàn)熱氣防冰性能的快速精確預(yù)測(cè)，單個(gè)笛形管結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)應(yīng)防冰性能預(yù)測(cè)所需時(shí)間成本較數(shù)值方法大幅降低，這對(duì)基于遺傳算法等方法開展熱氣防冰系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要意義。