幾類分形曲面的構(gòu)造及其性質(zhì)

栗 興 琴

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,江蘇南京 210023)

?

幾類分形曲面的構(gòu)造及其性質(zhì)

栗 興 琴

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,江蘇南京 210023)

分形曲面是R3中的一個(gè)分形集.通常，它的構(gòu)造與分形函數(shù)密切相關(guān).本文主要研究幾類分形曲面的構(gòu)造方法及其性質(zhì)，并給出一些數(shù)值例子，說(shuō)明分形曲面與原始曲面間的關(guān)系.

迭代函數(shù)系；分形插值函數(shù)；分形曲面；性質(zhì)

分形曲面在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、材料學(xué)、地震學(xué)等許多實(shí)際領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.很多學(xué)者已經(jīng)研究了通過(guò)迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS)或遞歸迭代函數(shù)系統(tǒng)(RIFS)來(lái)構(gòu)造分形曲面，這些分形曲面都是某個(gè)IFS或RIFS的吸引子.謝和平等人[1-2]提出了一種在矩形域構(gòu)造分形插值曲面的數(shù)學(xué)模型.Massopust[3]給出了三角區(qū)域上分形插值曲面的構(gòu)造方法，為了保證得到的分形曲面的連續(xù)性，附加了邊界上插值節(jié)點(diǎn)共面的條件.Malysz[4]構(gòu)造了一種IFS，并證明其存在唯一的吸引子，且這個(gè)吸引子是經(jīng)過(guò)某個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)集的連續(xù)二元函數(shù)的圖像.對(duì)矩形域上任意插值節(jié)點(diǎn)的情形，F(xiàn)eng等人[5]在IFS中引入了函數(shù)縱向尺度因子，保證了分形插值曲面的連續(xù)性.文獻(xiàn)[6-7]中，作者討論了隱變量二元分形插值曲面的構(gòu)造問(wèn)題.文獻(xiàn)[8]研究了利用遞歸分形函數(shù)和Lipschitz函數(shù)來(lái)構(gòu)造分形曲面，并計(jì)算了它的盒維數(shù). Wang等人[9]基于實(shí)數(shù)的康托級(jí)數(shù)表示，構(gòu)造了一類粗糙曲面，同時(shí)，給出曲面分形維數(shù)的計(jì)算公式.文獻(xiàn)[10]在矩形域上使用具有變量自由參數(shù)的IFS，構(gòu)造了一類新的分形插值曲面，并研究了這類曲面的若干性質(zhì).文獻(xiàn)[11]給出了在矩形網(wǎng)格上構(gòu)造分形插值曲面的一般方法，并研究了對(duì)插值點(diǎn)和縱向尺度因子沒(méi)有任何要求的雙線性分形插值曲面.

本文研究基于幾類已知的FIF來(lái)構(gòu)造的分形曲面的剖分，討論這幾類分形曲面的若干性質(zhì).給出幾個(gè)數(shù)值例子，展示分形曲面與原始曲面之間的關(guān)系.

1 分形插值函數(shù)

(1.1)

根據(jù)Barnsley定理[12],上述IFS{K;Wi,i=1,2,…,N}有唯一一個(gè)吸引子G，且G是定義在I上的某個(gè)連續(xù)函數(shù)g的圖像，滿足g(xi)=yi,i=0,1，…，N.該函數(shù)g稱為FIF，它是唯一一個(gè)滿足下列不動(dòng)點(diǎn)方程的函數(shù)：

它的圖像G經(jīng)過(guò)給定的數(shù)據(jù)集△.通常，g是處處連續(xù)而處處不可微的,一般具有非整數(shù)的維數(shù).

設(shè)f∈C(I)，在式(1.1)中，考慮

qi(x)=f°Li(x)-αib(x),

(1.2)

其中b:I→R是連續(xù)映射，且滿足了

b(xo)=f(xo),b(xN)=f(xN),b≠f.

這里插值數(shù)據(jù)是

{(xi,f(xi)):i=0,1,…,N}.

由Barnsley定理可知，存在一個(gè)FIFfα滿足:

fα(xi)=f(xi)，i=0,1,…,N,

N·fα稱為與f對(duì)應(yīng)的α-FIF.特別地，當(dāng)

b=Lf，

(1.3)

其中L:C(I)→C(I)是線性有界算子，并滿足

(Lf)(xo)=f(xo)，(Lf)(xN)=f(xN),L≠Id(單位算子)

稱此時(shí)的FIFfα是與L和△有關(guān)的FIF.

命題1.1[13]對(duì)任意的f∈C(I),設(shè)

|α|∞=max{|αn|:n=1,2,…,N}，

fα是由IFS(1.1)-(1.3)確定的FIF，則有

由于具有常數(shù)縱向尺度因子的IFS在迭代過(guò)程中，使得各個(gè)分割子區(qū)間上具有相同的縱向壓縮比，這樣產(chǎn)生的FIF通常具備較明顯的自相似特征，因而在擬合某些自相似性較弱的不規(guī)則數(shù)據(jù)和非光滑曲線的過(guò)程中缺乏一定的靈活性.因此，若將(1.1)中的常數(shù)尺度因子αi均變成函數(shù)尺度因子αi(x)，相應(yīng)得到的FIF更具有靈活性.此時(shí)，命題1.1中的

|α|∞=max{|αn(x)|,x∈I,n=1,2,…,N}.

命題1.2[14]對(duì)任意f∈C(I)，且f(x)≥0，?x∈I.令

mi=min{f(x):x∈Ii}，M*=max{b(x):x∈I}.

若αi∈C(I),i=1,2,…,N,滿足

則相應(yīng)的FIFfα∈C(I)且fα(x)≥0,?x∈I.

命題1.3[14]設(shè)f∈C(I),考慮式(1.1)中的αi∈C(I)，i=1,2,…,N,

qi(x)=f(Li(x))-αi(x)b(x)，b(xo)=f(xo),b(xN)=f(xN),

若αi(x)≥0,b(x)≥f(x),?x∈I成立，則有

fα(x)≤f(x),?x∈I.

命題1.4[15]給定p∈N和數(shù)據(jù)集

{ynk:n=0,1,…,N;k=0,1,…,p},

g(k)(xn)=ynk,n=0,1,…,N;k=0,1,…,p,……

此時(shí)(1.1)式中的qn(x)(n=1,2,…,N)是階數(shù)最高為2p+1的多項(xiàng)式.

命題1.4中給出的FIF被稱為是Hermite分形插值函數(shù)(HFIF).

命題1.5[15]設(shè)(fα)(k),(fβ)(k)分別是fα和fβ的k階導(dǎo)數(shù)(0≤k≤p),則有

其中

Pn為關(guān)聯(lián)矩陣的逆矩陣，

2 分形曲面的構(gòu)造及性質(zhì)

設(shè)gα,hα:I→R是兩個(gè)分形函數(shù)，λ,μ:I×I→R是兩個(gè)二元Lipschitz函數(shù)，定義二元函數(shù)

F：I×I→R，F(xiàn)(x,y)=λ(x,y)gα(x)+μ(x,y)hα(y)

(2.1)

由文獻(xiàn)[8]可知，式(2.1)確定的函數(shù)是一個(gè)二元分形函數(shù)，即F(x,y)的圖像是一個(gè)分形曲面.記

G(x,y)=λ(x,y)g(x)+μ(x,y)h(y),

定理2.1 設(shè)函數(shù)g,h∈C(I),則有

證明 由命題1.1可得，對(duì)任意的(x,y)∈I×I，

|F(x,y)-G(x,y)| =|λ(x,y)gα(x)+μ(x,y)hα(y)-λ(x,y)g(x)-μ(x,y)h(y)|

≤|λ(x,y)gα(x)-λ(x,y)g(x)|+|μ(x,y)hα(y)-μ(x,y)h(y)|

=|λ(x,y)|·|gα(x)-g(x)|+|μ(x,y)|·|hα(y)-h(y)|

注2.1 若式(2.1)中的兩個(gè)分形函數(shù)分別取為gα(x),hβ(y),它們分別是對(duì)應(yīng)于縱向尺度因子α，β的FIF，則有

定理2.2 對(duì)任意g,h∈C(I),且g(x),h(x)≥0,?x∈I.令

若αi∈C(I),i=1,2,…,N,滿足

λ(x,y),μ(x,y)≥0,(x,y)∈I×I,

則由式(2.1)確定的分形曲面F(x,y)≥0.

證明 由命題1.2可得，分別與g(x),h(y)對(duì)應(yīng)的FIFgα(x),hα(y)≥0,x∈,y∈I,又因?yàn)棣?x,y),μ(x,y)≥0，所以有

F(x,y)=λ(x,y)gα(x)+μ(x,y)hα(y)≥0.

圖1

定理2.3 設(shè)gα,hα分別是對(duì)應(yīng)于函數(shù)g,h∈C(I)且由IFS(1.1)-(1.3)生成的帶有函數(shù)尺度因子αi=αi(x)的α-FIF.若

則有

F(x,y)≤G(x,y),(x,y)∈I×I.

證明 由命題1.3可得

gα(x)≤g(x),hα(y)≤h(y),x∈I,y∈I,

所以

F(x,y)=λ(x,y)gα(x)+μ(x,y)hα(y)≤λ(x,y)g(x)+μ(x,y)h(y)=G(x,y),(x,y)∈I×I.

注2.2 若令定理2.3中的

則同理可得

F(x,y)≥G(x,y),(x,y)∈I×I.

圖2

定義2.1 若式(2.1)中的gα,hα分別是由命題1.4確定的HFIF，則稱相應(yīng)的F(x,y),(x,y)∈I×I為Hermite分形曲面.

定理2.4 若λ，μ∈Cp(I×I)，則由定義(2.2)給出的Hermite分形曲面F(x,y)∈Cp(I×I).

證明 由命題1.4可知gα,hα∈Cp(I),因?yàn)?/p>

F(x,y)=λ(x,y)gα(x)+μ(x,y)hα(y),

所以對(duì)?(x,y)∈(I×I),

又因?yàn)棣?，μ∈Cp(I×I)，所以λ，μ的各階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)且有下式成立：

故

且F(x,y)的各階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從而有

F(x,y)∈Cp(I×I)

定理2.5 設(shè)gα,hα和gβ,hβ分別是對(duì)應(yīng)于比例因子α和β的HFIF，令

F1(x,y)=λ(x,y)gα(x)+μ(x,y)hα(y),

F2(x,y)=λ(x,y)gβ(x)+μ(x,y)hβ(y)

則

其中D0=(2p+2)vd.

證明 由命題1.5可得，?(x,y)∈(I×I)，

|F1(x,y)-F2(x,y)| =|λ(x,y)gα(x)+μ(x,y)hα(y)-λ(x,y)gβ(x)-μ(x,y)hβ(y)|

≤|λ(x,y)gα(x)-λ(x,y)gβ(x)|+|μ(x,y)hα(y)-μ(x,y)hβ(y)|

≤|λ(x,y)|·‖gα(x)-gβ(x)‖∞+|μ(x,y)|·‖hα(y)-hβ(y)‖∞

所以，

3 結(jié)論

本文研究了幾類分形曲面的構(gòu)造問(wèn)題.給出了基于α-分形曲線和Hermite分形曲線的分形曲面的構(gòu)造方法，并討論了它們的一些性質(zhì).給出了幾個(gè)例子說(shuō)明了分形曲面與其相應(yīng)的原始函數(shù)之間的關(guān)系. 本文的研究對(duì)粗糙曲面的數(shù)值擬合與逼近等實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域有一定的參考價(jià)值.

[1]Xie H, Sun H. The study on bivariate fractal interpolation functions and creation of fractal interpolated surfaces[J].Fractals,1997,5(4):625-634.

[2]Xie H, Sun H, Ju Y, Feng Z. Study on generation of rock fracture surfaces by using fractal interpolation[J].Internat. J. Solids Structures, 2001,38(32):5765-5787.

[3]Massopust P R. Fractal surfaces[J].J Math Anal Appl,1990(151):275-290.

[4]Malysz R. The Minkowski dimension of the bivariate fractal interpolation surfaces[J].Chaos,Solitons&Fractals,2006,27(5):1147-1156.

[5]Feng Z,Feng Y,Yuan Z.Fractal interpolation surfaces with function vertical scaling factors[J].Appl Math Letters, 2012,25(1):1896-1900.

[6]Chand A K B,Kapoor G P.Hidden variable bivariate fractal interpolation surface[J].Fractals,2003,11(3):277-288.

[7]Kapoor G P, Prasad S A. Smoothness of coalescence hidden-variable fractal interpolation surface[J].Int J Bifurcation Chaos: APP. Sci. Eng,2009,19(7):2321-2333.

[8]Chol-hui Yun, Hyong-chol O, Hui-chol Choi.Construction of fractal surfaces by recurrent fractal interpolation curves[J].Chaos,Solitons&Fractals,2014,66(1):136-143.

[9]Wang H Y,Xu Z B.A class of rough surfaces and their fractal dimensions[J].J Math Anal Appl, 2001,259(2):537-553.

[10]王宏勇，楊守志.具有變量自由參數(shù)的分形插值曲面的構(gòu)造與性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2014,57(2)：223-234.

[11]Ruan H J,Xu Q.Fractal interpolation surfaces on rectangular grids[J].Bull Aust Math Soc, 2015，91(3)：435-446.

[12]Barnsley M F.Fractal functions and interpolation[J].Constr Approx,1986,2(1):303-329.

[13]Viswanathan P,Chand A K B.Fractal rational functions and their approximation properties[J].J ApproxTheory,2014,185(11):31-50.

[14]Viswanathan P, Navascuès M A,Chand A K B. Associate fractal functions inLp-spaces and in one-sided uniform approximation[J]. J Math Anal Appl, 2016(433):862-876.

[15]Navascués M A, Sebastián M V. Generalization of Hermite functions by fractal interpolation[J].J ApproxTheory,2004,131(1):19-29.

Constructions and Properties of Several Kinds of Fractal Surfaces

LI Xing-qin

(School of Applied Mathematics, Nanjing University of Finance & Economics, Nanjing 210023, China)

A fractal surface is a fractal set in R3. Generally, the constructions of fractal surfaces are closely related to the fractal functions. The methods of constructions and properties of several kinds of fractal surfaces are investigated in the present paper. Furthermore, several numerical examples are given, which illustrate the relationships between the fractal surfaces and their original functions.

iterated function system; fractal interpolation function; fractal surfaces; properties

2016-09-15

栗興琴(1990-)，女，山東臨沂人，南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院碩士研究生.

O174.4

A

1672-2590(2016)06-0052-06