探究力：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心價(jià)值追求之一——HPM視角下復(fù)習(xí)課“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”探思

嚴(yán)兵

探究力：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心價(jià)值追求之一——HPM視角下復(fù)習(xí)課“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”探思

嚴(yán)兵

小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課以鞏固整理、查漏補(bǔ)缺和發(fā)展提高為主要目標(biāo)。除了使學(xué)生在復(fù)習(xí)中鞏固、掌握基本知識(shí)與技能外，教師還可以從HPM視角出發(fā)，讓學(xué)生參與到創(chuàng)造性活動(dòng)中去，進(jìn)一步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)探究力，從而使復(fù)習(xí)課教學(xué)達(dá)到“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”的理想狀態(tài)。

復(fù)習(xí)課；探究力；HPM視角；“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”

數(shù)學(xué)探究力，是指學(xué)生在求索、質(zhì)疑、檢驗(yàn)的過(guò)程中形成和發(fā)展起來(lái)，并用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的個(gè)性心理特征。新課標(biāo)提出數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)“應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)……教學(xué)中注重結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要途徑”。作為一種積極的思維方式，數(shù)學(xué)反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密的邏輯推理以及對(duì)完美境界的追求。作為文化的一部分，數(shù)學(xué)最根本的特征是它體現(xiàn)了一種探索精神。在被大多數(shù)教師忽視的復(fù)習(xí)課中，更要著力激活學(xué)生的思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)探究力。

一、從“快遞”到“自取”：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)探究

快捷、高效是物流業(yè)追求的服務(wù)標(biāo)準(zhǔn)，若應(yīng)用于教育則弊端重重。很多教師為追求學(xué)生考高分，復(fù)習(xí)課以應(yīng)試為中心，忽視了學(xué)生的創(chuàng)造與生成。

筆者一直致力于改變“快遞式”復(fù)習(xí)的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)教師不做“分揀員”（代替學(xué)生整理知識(shí)體系），不當(dāng)“送件員”（在學(xué)生面前匆匆丟下知識(shí)包裹）。教師應(yīng)喚醒學(xué)生“自取式”復(fù)習(xí)的意識(shí)：創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生在活動(dòng)中自主探索、整理、發(fā)現(xiàn)；靈活運(yùn)用觀察、對(duì)比、綜合、分析來(lái)溝通知識(shí)之間的聯(lián)系；重視在課堂上的有效指導(dǎo)，幫助學(xué)生主動(dòng)經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展與形成過(guò)程，幫助他們理解和掌握數(shù)學(xué)思想和方法；引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題、深入思考、反復(fù)研究，并在收集、組織、創(chuàng)造、操作、交流的過(guò)程中，提高他們的觀察、想象、思維和應(yīng)用等能力……教師在開(kāi)發(fā)復(fù)習(xí)課程時(shí)可以從HPM視角出發(fā)，在復(fù)習(xí)課中營(yíng)造濃厚的探究氛圍，使學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)體系，從“學(xué)會(huì)知識(shí)”到“學(xué)會(huì)探究”，以期達(dá)到理想的復(fù)習(xí)狀態(tài)。

二、HPM視角：關(guān)注兒童身上的數(shù)學(xué)生長(zhǎng)史

德國(guó)生物學(xué)家?？藸栒J(rèn)為：“兒童精神的發(fā)展不過(guò)是系統(tǒng)發(fā)生進(jìn)化的一個(gè)簡(jiǎn)短復(fù)制?！狈▏?guó)數(shù)學(xué)家龐加萊說(shuō)：“動(dòng)物學(xué)家認(rèn)為，動(dòng)物胚胎的發(fā)育還在短暫的期間內(nèi)，經(jīng)過(guò)其祖先演化過(guò)程的一切地質(zhì)年代而重演其歷史，看來(lái)思維的發(fā)展亦復(fù)如此。教育工作者的任務(wù)，就是要使兒童思想的發(fā)展踏過(guò)前人的足跡，迅速地走過(guò)某些階段?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中，重演法則意味著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)在某種程度上將重演古人數(shù)學(xué)思考和探索的過(guò)程。1972年，在第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系（History and Pedagogy of Mathematics，簡(jiǎn)稱HPM）國(guó)際研究小組。

HPM視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)既不能照搬高校的研究成果，也不是將數(shù)學(xué)家的故事、歷史名題等簡(jiǎn)單地融入課堂?？梢哉f(shuō)，兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程對(duì)應(yīng)著歷史上漫長(zhǎng)的數(shù)學(xué)發(fā)展初期，每個(gè)兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程又是一部豐富的、個(gè)性化的數(shù)學(xué)生長(zhǎng)史。因此，HPM視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要注重兩點(diǎn)：一是關(guān)注“快閃式”重演的過(guò)程。越初始的數(shù)學(xué)歷時(shí)越漫長(zhǎng)，如負(fù)數(shù)的產(chǎn)生就經(jīng)過(guò)了數(shù)千年的時(shí)間，要在簡(jiǎn)短的時(shí)間內(nèi)重演如此漫長(zhǎng)的過(guò)程，就要為兒童創(chuàng)設(shè)HPM視角下全新的問(wèn)題情境，引領(lǐng)兒童在現(xiàn)實(shí)情境下“快閃式”重演古人思考與探索的過(guò)程。二是定位在兒童視角。研究HPM視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，教師必須把目光聚焦在兒童身上，用兒童的眼光發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，從兒童的實(shí)踐與思考中挖掘他們身上的數(shù)學(xué)生長(zhǎng)過(guò)程，讓他們?cè)谟鋹偟奶骄恐邪l(fā)展自己的數(shù)學(xué)生長(zhǎng)史，在反思自己成長(zhǎng)的過(guò)程中加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，從而提升數(shù)學(xué)探究力。

三、HPM視角下復(fù)習(xí)課的實(shí)踐反思

在以往的研究中，筆者提出了小學(xué)數(shù)學(xué)“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”的理念：倡導(dǎo)生活與經(jīng)驗(yàn)、游戲與學(xué)習(xí)、預(yù)設(shè)與生成的無(wú)邊界，倡導(dǎo)師生關(guān)系、課程資源、學(xué)科以及目標(biāo)評(píng)價(jià)的無(wú)邊界。小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是 “無(wú)邊界學(xué)習(xí)”的重要領(lǐng)域，教師要引導(dǎo)學(xué)生追問(wèn)數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，追溯數(shù)學(xué)的內(nèi)涵、邏輯思維方式的衍化和發(fā)展過(guò)程。師生應(yīng)站在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的成果上，從源頭厘清數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、認(rèn)清它的邏輯思維方式，使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)。教師可以從HPM視角對(duì)復(fù)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)，在提升學(xué)生探究力的同時(shí)提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

1.探究中促進(jìn)理解。

復(fù)習(xí)蘇教版五下《分?jǐn)?shù)的意義》，在讓學(xué)生說(shuō)涂色部分用什么分?jǐn)?shù)表示時(shí)，筆者故意給學(xué)生一組沒(méi)有平均分的圖形，促使他們先去平均分，再數(shù)一數(shù)總份數(shù)和涂色部分所占的份數(shù)，使他們深刻地理解“平均分”的必要性、單位“1”的含義以及“分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)，先分后數(shù)”的意義。

教學(xué)中，教師讓學(xué)生拿一根長(zhǎng)80cm的線去測(cè)量課桌面的寬（40cm）與長(zhǎng)（60cm），學(xué)生主動(dòng)探索，用對(duì)折一次后的繩子去量寬，用對(duì)折兩次后的繩子去量長(zhǎng)，得出寬與長(zhǎng)分別是繩長(zhǎng)的學(xué)生在探索中懂得了分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)單位產(chǎn)生于度量的需要，從HPM視角體驗(yàn)到了“量起源于量”的含義。

學(xué)生在理解分?jǐn)?shù)意義時(shí)出現(xiàn)障礙是數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中所經(jīng)歷困難的“再現(xiàn)”。在HPM視角下，教師可以選擇與學(xué)生生活實(shí)踐相關(guān)的內(nèi)容進(jìn)行滲透，以現(xiàn)實(shí)情境展示數(shù)學(xué)發(fā)展史，讓他們主動(dòng)探索結(jié)論，去經(jīng)歷歷史上數(shù)學(xué)家曾經(jīng)歷的測(cè)量、計(jì)量等過(guò)程，這樣能更好地在學(xué)生腦海中建立知識(shí)點(diǎn)之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，使他們更深刻地理解分?jǐn)?shù)的意義。

2.探究中聚焦問(wèn)題。

學(xué)生從一年級(jí)就開(kāi)始學(xué)習(xí)用直線上的點(diǎn)來(lái)表示數(shù)，但一直沒(méi)有形成完整的認(rèn)識(shí)，在“數(shù)與代數(shù)”總復(fù)習(xí)時(shí)，學(xué)生心中仍有許多疑問(wèn)：如何用直線上的點(diǎn)表示出所學(xué)過(guò)的每個(gè)數(shù)？直線上的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，是不是每個(gè)點(diǎn)都與某個(gè)數(shù)相對(duì)應(yīng)？是不是一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)唯一的數(shù)？……教師激起學(xué)生的探究興趣后，引導(dǎo)他們提出數(shù)學(xué)問(wèn)題并交流討論，使學(xué)生在腦中產(chǎn)生并逐步豐富數(shù)軸這一數(shù)學(xué)模型，同時(shí)復(fù)習(xí)了數(shù)的分類與意義。

復(fù)習(xí)課教師結(jié)合學(xué)生逐步豐滿的數(shù)軸學(xué)習(xí)史，提升了學(xué)生的幾何直觀能力，滲透了數(shù)形結(jié)合思想，使其對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)更加豐富完整。課堂上師生關(guān)系無(wú)邊界，教師作為引導(dǎo)者、合作者，激勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題、交流討論，使其獲得了許多新的發(fā)現(xiàn)。

3.探究中引發(fā)猜想。

學(xué)過(guò)蘇教版五上《釘子板上的多邊形》后，一些學(xué)生很快便忘記了結(jié)論。復(fù)習(xí)時(shí)，教師可以先根據(jù)表格，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜測(cè)多邊形的面積與什么有關(guān)。學(xué)生各抒己見(jiàn)：有的說(shuō)與多邊形邊上的釘子數(shù)有關(guān)，有的說(shuō)與多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)，還有學(xué)生猜想和兩者都有關(guān)系……猜想激發(fā)了學(xué)生的探究熱情，他們開(kāi)始主動(dòng)交流見(jiàn)解：有的圖形面積大，經(jīng)過(guò)的釘子數(shù)卻不多；并不是內(nèi)部的釘子數(shù)越多面積就越大；有三個(gè)圖形邊上的釘子數(shù)相同，但面積不同；有兩個(gè)圖形內(nèi)部釘子數(shù)與邊上釘子數(shù)一樣，面積也一樣……教師繼續(xù)引導(dǎo)：如何才能研究出多邊形的面積與釘子數(shù)的關(guān)系？學(xué)生紛紛表示需要分類研究。

對(duì)學(xué)生而言，能否發(fā)現(xiàn)規(guī)律其實(shí)并不重要，得出結(jié)論更不是終極追求，讓他們經(jīng)歷提出猜想、探索發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證反思的完整的探究過(guò)程才是真正有意義、有價(jià)值的。數(shù)學(xué)正是在猜想、出錯(cuò)中發(fā)展的，猜想對(duì)學(xué)生提高探究力、理解數(shù)學(xué)內(nèi)容和思想方法有極大的幫助，可見(jiàn)，教師抓住適當(dāng)?shù)?、有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題是多么重要的事情。美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為：“教師不但要教學(xué)生運(yùn)用演繹思維證明問(wèn)題，而且要教學(xué)生猜測(cè)問(wèn)題，既要教正規(guī)的演繹推理，又要教非正規(guī)的合情推理。”在HPM視角下，復(fù)習(xí)課要培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，可以選取合適的內(nèi)容，采用讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的方法來(lái)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生利用教師提供的材料提出研究題目，像數(shù)學(xué)家那樣，親自去發(fā)現(xiàn)所要學(xué)習(xí)的結(jié)論，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本源與特質(zhì)。此時(shí)，教師向?qū)W生呈現(xiàn)的不僅是明確的數(shù)學(xué)知識(shí)，更多的是知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程，師生之間創(chuàng)造出一種無(wú)邊界的、雙向的探索與研究的氛圍。

4.探究中強(qiáng)調(diào)實(shí)踐。

為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和主動(dòng)探究精神，鼓勵(lì)學(xué)生與同伴合作并交流自己的想法，在總復(fù)習(xí)時(shí)，筆者帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行“黃金比”知識(shí)的探索。課上，學(xué)生通過(guò)發(fā)現(xiàn)、感悟、嘗試、創(chuàng)造等一系列活動(dòng)，對(duì)黃金分割有了豐富的、多元的了解，通過(guò)探索自主設(shè)計(jì)出了黃金矩形，又從花瓣數(shù)中發(fā)現(xiàn)了斐波那契數(shù)列。課快結(jié)束時(shí)，筆者拿出一段枝葉，說(shuō)：“同學(xué)們，你們把自己想象成太陽(yáng)，從莖的頂端向下看，會(huì)發(fā)現(xiàn)第一層和第二層的兩片葉子之間的角度大約是137.5°，第二層和第三層，第三層和第四層……每?jī)蓪尤~子之間都是這個(gè)角度，這是什么原因呢？課后去破譯這個(gè)密碼吧?！闭绾诟駹査f(shuō)：“數(shù)學(xué)是上帝描述自然的符號(hào)。”把數(shù)學(xué)上升到哲學(xué)的高度，不僅給學(xué)生帶來(lái)了探究熱情，還留下了無(wú)盡的遐想。

動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)開(kāi)展觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)。每學(xué)期安排數(shù)次動(dòng)手操作能力復(fù)習(xí)與考核，如測(cè)量學(xué)校操場(chǎng)面積、設(shè)計(jì)旅游計(jì)劃、測(cè)量大樹(shù)高度、畫(huà)出大蒜生長(zhǎng)高度隨時(shí)間變化的統(tǒng)計(jì)圖等，這些動(dòng)手操作作業(yè)需要學(xué)生在數(shù)學(xué)思維的積極參與下，在特定的環(huán)境中進(jìn)行探索、研究活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)與操作過(guò)程中和數(shù)學(xué)家一樣，更深刻地去探究數(shù)學(xué)。

5.探究中重視創(chuàng)造。

復(fù)習(xí)“正比例圖像”時(shí)，筆者以“烏鴉喝水”的故事為例，引導(dǎo)學(xué)生描述函數(shù)圖像、讀懂函數(shù)圖像。在故事中，假設(shè)從烏鴉看到瓶的那一刻起向后的時(shí)間為x，瓶中水位的高度為y，如圖1所示的函數(shù)圖像，哪個(gè)最符合故事情景？

（圖1）

引導(dǎo)學(xué)生探究后，他們發(fā)表見(jiàn)解：烏鴉在沉思的這段時(shí)間內(nèi)水位沒(méi)有變化，排除C；烏鴉銜來(lái)一個(gè)個(gè)小石子放入瓶中，水位將會(huì)上升，排除A；烏鴉喝水后的水位應(yīng)不低于一開(kāi)始的水位，排除B。學(xué)生對(duì)D的解釋是：剛開(kāi)始水位較低，烏鴉沉思一會(huì)后才想出辦法，說(shuō)明在沉思的這段時(shí)間內(nèi)水位沒(méi)有變化。烏鴉銜來(lái)一個(gè)個(gè)小石子放入瓶中，水位上升，烏鴉放石子越來(lái)越熟練，加上瓶口較細(xì)，上升加快。水面快滿的時(shí)候，烏鴉開(kāi)始喝水，一直到喝不到為止，烏鴉喝水后的水位應(yīng)高于一開(kāi)始的水位……學(xué)生甚至能改編故事，畫(huà)出不同的動(dòng)態(tài)圖，如有位學(xué)生畫(huà)出圖2，他的解釋是：烏鴉迫不及待地要喝水，水位每上升一點(diǎn)就喝一點(diǎn)，水不夠喝時(shí)就往瓶中丟小石子，如此循環(huán)直到喝不到為止。

（圖2）

這就是兒童的數(shù)學(xué)探究過(guò)程，也是兒童數(shù)學(xué)生長(zhǎng)史的展現(xiàn)。兒童的數(shù)學(xué)生長(zhǎng)過(guò)程與數(shù)學(xué)家不同，兒童就是兒童，教師要抓住兒童的特點(diǎn)來(lái)促進(jìn)其生長(zhǎng)，既要?jiǎng)?chuàng)設(shè)新奇刺激、親切有趣的情境，又要讓他們感受到圖像中蘊(yùn)含的信息，從熟悉的現(xiàn)實(shí)情境中理解問(wèn)題并完成抽象、創(chuàng)造過(guò)程。

數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得都會(huì)經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、交流、分析、綜合、推理、總結(jié)等過(guò)程，教師應(yīng)注重誘發(fā)學(xué)生探究學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考、積極探索。在開(kāi)發(fā)復(fù)習(xí)課程時(shí)，教師可以從HPM視角出發(fā)，著力創(chuàng)設(shè)有吸引力、真實(shí)、切合兒童實(shí)際需要又符合知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展規(guī)律和順序的探究性學(xué)習(xí)情境。在HPM視角下，學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)時(shí)，教師應(yīng)對(duì)某一概念或體系形成的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷關(guān)鍵的探究活動(dòng)，經(jīng)歷思維原過(guò)程，同時(shí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，不斷豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容，增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，使他們?cè)谔剿鹘涣鞯倪^(guò)程中獲得知識(shí)。這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生不畏困難、勇往直前的探索精神有著不可忽視的作用，可使數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的“無(wú)邊界學(xué)習(xí)”更加生動(dòng)且富有感染力。

［1］杜永寧.基于數(shù)學(xué)文化的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略［J］.科學(xué)咨詢，2010（11）

［2］王萬(wàn)先，譚世康.略談數(shù)學(xué)史與創(chuàng)新精神的培養(yǎng)［J］.科教導(dǎo)刊，2010（27）.

［3］汪曉勤，張小明.HPM研究的內(nèi)容與方法［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006（1）.

注：本文獲2015年江蘇省“教海探航”征文競(jìng)賽一等獎(jiǎng)，有刪改。

G623.5

A

1005-6009（2016）52-0036-03

嚴(yán)兵，江蘇省句容市實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇句容，212400）副校長(zhǎng)，一級(jí)教師。