二分法快速求解Duffing混沌閾值的微弱信號檢測

張 菁， 王 斌， 葉家敏

(1. 上海工程技術大學 電子電氣工程學院，上海 201620；2. 上海西南工程學校，上海 201100)

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·計算機技術應用·

二分法快速求解Duffing混沌閾值的微弱信號檢測

張 菁1， 王 斌2， 葉家敏2

(1. 上海工程技術大學 電子電氣工程學院，上海 201620；2. 上海西南工程學校，上海 201100)

針對改進型Duffing混沌系統(tǒng)檢測微弱信號，求解Lyapunov閾值時間過長問題，提出二分法實現(xiàn)快速求解Duffing系統(tǒng)由混沌到周期態(tài)的閾值。首先, 以0.1步長的Lyapunov指數(shù)確定一個粗略的閾值；然后根據(jù)對分法快速收索Duffing-Holmes振子混沌閾值的精確值，這一算法大大提高了閾值搜索速度，通過識別微弱信號仿真事例證明這種方法的有效性。

二分法； Duffing； 微弱信號； Lyapunov指數(shù)

0 引 言

微弱信號檢測技術是采用電子學、信息論、計算機及物理學的方法，分析噪聲產(chǎn)生的原因和規(guī)律，研究被測信號的特點與相關性，檢測被噪聲淹沒的微弱有用信號。傳統(tǒng)的建立在FFT的信號處理無法在強噪聲中識別或提取微弱的奇異信號[1]，考慮到改進型Duffing混沌系統(tǒng)對外界干擾的極端敏感性，可用于微弱信號的檢測[2]。該方法的目的是找到Duffing(LY)系統(tǒng)從混沌態(tài)到周期態(tài)變化的閾值，同時能夠獲得Duffing(LY)系統(tǒng)狀態(tài)會隨內(nèi)置攝動力r的從小變大出現(xiàn)有規(guī)律的變化，因此搜索閾值微弱信號混沌檢測中的一個重要內(nèi)容。應用前需確定該系統(tǒng)是混沌的，這就涉及到混沌判別[3]。本文給出了基于改進型Duffing混沌系統(tǒng)，利用Lyapunov特性指數(shù)判別法并結合二分法快速求解Duffing系統(tǒng)閾值從而檢測出微弱信號的方法。

1 Duffing混沌系統(tǒng)的改進型—Duffing(LY)

原Duffing系統(tǒng)方程為：

x″(t)+kx′(t)-ax(t)+bx3(t)=r cos ωt

(1)

由于原Duffing系統(tǒng)對不同的信號敏感程度不同，建立對信號敏感的混沌系統(tǒng)是信號檢測的首要條件。為了更好地檢測微弱信號，應對Duffing系統(tǒng)方程進行改進。從微弱信號的檢測能力的下限，混沌系統(tǒng)檢測信噪比，以及系統(tǒng)混沌判定的幾方面綜合考慮[4-5]，得到改進型Duffing系統(tǒng)為：

x″(t)+kx′(t)-bx3(t)+cx5(t)=r cos ωt

(2)

其中：k為阻尼系數(shù)；-bx3(t)+cx5(t)為改進后的非線性恢復力；rcosωt為系統(tǒng)攝動力。式(2)稱為改進型Duffing(LY)并對狀態(tài)的變化非常敏感，可通過判別系統(tǒng)處于混沌態(tài)還是周期態(tài)，檢測信號中是否含有微弱奇異信號[6]。

2 Lyapunov指數(shù)定量判別方法

判別系統(tǒng)混沌態(tài)和周期態(tài)的臨界點就是找到系統(tǒng)的閾值，如果無法找到閾值，表示系統(tǒng)不存在混沌[7]。Lyapunov特性指數(shù)是一個經(jīng)典的混沌判別方法，是對混沌系統(tǒng)敏感性的度量，它表征了系統(tǒng)在相平面中運動軌道的收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率[8]，其定義由文獻[9]給出。

將方程(2)作如下變換:

(3)

當系統(tǒng)呈現(xiàn)大尺度周期狀態(tài)時，2個Lyapunov指數(shù)(LE)均是負值；當系統(tǒng)為混沌狀態(tài)時，至少有1個Lyapunov指數(shù)是正值。

設初始條件為x(0)=1，x′(0)=1, 在r=[0.5, 1]選擇30個點值分別計算LE,r的計算精度是小數(shù)點2位。圖1是LE的曲線圖，在r=0.70, 系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)；r=0.78, 系統(tǒng)呈現(xiàn)周期態(tài)，見圖2和圖3。

圖1 Lyapunov指數(shù)與r的關系

圖2 r=0.70時系統(tǒng)時域響應、相平面和LE

圖3 r=0.78時系統(tǒng)時域響應、相平面和LE

3 二分法與直觀法確定系統(tǒng)精確域值

由于二分法適用于快速求取最優(yōu)解[10]，可將其用于對閾值進行精確定位。首先粗略計算Lyapunov指數(shù)(初始條件為x(0)=1，x′(0)=1，有效位為1)，得到系統(tǒng)的閾值大致范圍為r=[0.7,0.8]。隨后，在該區(qū)間內(nèi)用二分法快速求取精確閾值(精度為6)，步驟如下：

(1) 由于0.7對應系統(tǒng)混沌態(tài)，而0.8對應周期態(tài)，取 0.7～0.8的中間值r=0.75。

(2) 由于r=0.75對應周期態(tài)，所以取r的區(qū)間為[0.7,0.75]。然后r從0.7～0.75以步長為0.01 增加到0.71，該值對應混沌態(tài)，0.72對應周期態(tài)，取0.71 ～ 0.72的中間值r=0.715。

(3) 由于0.715對應的是混沌態(tài)，此時r的取值范圍是[0.715,0.72]。然后r從0.715～0.72以步長為0.001增加到0.718，r=0.717對應周期態(tài)，而0.718對應混沌態(tài)，取0.717～0.718的中間值0.717 5。

(4) 由于0.717 5對應的是混沌態(tài)，所以r的取值范圍是[0.717,0.717 5]。然后r從0.717～0.717 5以步長為0.000 1增加到0.717 3，r=0.717 3對應混沌態(tài)，而0.717 4對應周期態(tài)，取0.717 3～0.717 4的中間值0.717 35。

(5) 由于0.717 35對應的是周期態(tài)，則r的取值范圍是[0.717 3,0.717 35]。然后r從0.717 3～0.717 35以步長為0.000 01增加到0.717 32，r=0.717 32對應混沌態(tài)，而0.717 33對應周期態(tài)，0.7173 2～0.717 33的中間值是0.717 325。

(6) 由于r=0.717 325對應的是周期態(tài)，所以r的取值范圍是[0.717 325,0.717 33]。 然后r從0.717 325到0.717 33以步長為0.000 001增加到0.717 329，r=0.717 329這個值對應混沌態(tài)，而0.717 33對應周期態(tài)。

(7) 最后的閾值確定為0.717 329。當弱周期信號嵌入到系統(tǒng)(3)時，這個系統(tǒng)呈現(xiàn)大尺度周期態(tài)。這個計算過程見表1。

表1 二分法求系統(tǒng)閾值

從計算過程看出，確定一個6位閾值最多搜索運行30次，閾的求解速度得到很大改進。

4 結 語

提出了利用改進型Duffing混沌系統(tǒng)檢測微弱信號的方法。具體過成為：先將要檢測的信號做為擾動輸入到Duffing(YL)系統(tǒng)作為外部攝動力；再通過確定合理的閾值識別檢測信號中是否含有微弱的奇異信號。而閾值的確定需要將二分法與Lyapunov指數(shù)算法相結合運用。首先通過Lyapunov指數(shù)判別法確定閾值的范圍；隨后在該范圍內(nèi)用二分法快速求出閾值。這種算法能夠快速得從混沌到周期的系統(tǒng)臨界閾值，確定Duffing(YL)系統(tǒng)的閾值，降低系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)的計算時間。

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Quickly Solving the Threshold of Duffing Chaos System for Weak Signal Detecting by Bisection Algorithm

ZHANGJing1,WANGBin2,YEJia-min2

(1.School of Electronic & Electrical Engineering, Shanghai University of Science and Engineering,Shanghai 201620, China; 2.Shanghai Southwest Engineering School, Shanghai 201100, China)

In the improved Duffing system, detection signal is quite weak, hence, solving the chaos threshold takes a lot of time when one applies Lyapunov exponent criterion. The paper proposes a bisection algorithm to solve the problem. The algorithm can figure out the threshold value whcih makes Duffing system transfer from chaos state to period state. First, we take 0.1 as the step length to find a threshold roughly based on the Lyapunov exponent. Then the bisection algorithm figures out the exact value for the threshold. The speed of calculating is speeded a lot, Simulation result proves the validity of this method.

bisection algorithm; Duffing; weak signal; Lyapunov exponent

2015-07-09

國家自然科學基金項目(51477099和51477100)

張 菁(1969-)，女，上海人，副教授，主要研究方向為電氣工程及其自動化、機械電子等。E-mail: 1768283350@qq.com

TN 98

A

1006-7167(2016)02-0086-03