Dirichlet空間上對偶Hankel算子與對偶Toeplitz算子的函數(shù)特征

楊靜

（長治學(xué)院師范分院數(shù)學(xué)系，山西長治046000）

Dirichlet空間上對偶Hankel算子與對偶Toeplitz算子的函數(shù)特征

楊靜

（長治學(xué)院師范分院數(shù)學(xué)系，山西長治046000）

文章在Dirichlet空間上研究了對偶Toeplitz算子與對偶Hankel算子之間的關(guān)系，當(dāng)對偶Hankel算子的乘積是對偶Toeplitz算子時，得出函數(shù)符號的具體特征。借助其他空間的相關(guān)知識，最終得出Rf*Rg=Su的充要條件。

Dirichlet空間;對偶Hankel算子;對偶Toeplitz算子;Bergman空間

基礎(chǔ)知識：令C表示復(fù)平面，D是C上的單位圓盤，dA表示D上的正規(guī)化的Lebesgue測度。Sobolev空間（S）:是D上所有光滑函數(shù)f在如下范數(shù)取閉包所得到的空間。Hilbert空間dA。其中＜·，·＞2表示Hilbert空間上的內(nèi)積。Dirichlet空間（D）：={f∈S：f是解析函數(shù)，f（0）=0｝。D中的內(nèi)積為其中L∞（D）是D上的本性有界可測函數(shù)全體。令P表示從S到D上的正交投影，Q表示從S到D⊥的正交投影。

對于坌u∈S我們定義關(guān)于符號u的Toeplitz算子、對偶Toeplitz算子、Hankel算子、對偶Hankel算子如下：

對Toeplitz算子譜的刻畫[1][2]是人們對算子進行的最早的研究，逐漸發(fā)展到對算子的交換性[3]的研究,對Hankel算子的研究較少，主要有緊性[4]、零積性[5]。其實這兩種算子的對偶算子也有著密不可分的關(guān)系，文章在Dirichlet空間上研究了這兩個對偶算子的乘積關(guān)系，其結(jié)論如下。

定理：設(shè)f，g，u∈S1，∞,且f和g都是解析函數(shù)，u為調(diào)和函數(shù)，則Rf*Rg=Su當(dāng)且僅當(dāng)f是常數(shù)且u=0或者g是常數(shù)且u=0。

在證明定理之前，先算一下對偶Toeplitz算子的矩陣系數(shù)。令：

下面對上式進行討論。

對于前半式，當(dāng)i-k=j時，前半式不為零，因為k＜0，故當(dāng)i≥j時，前半式為

對于后半式，當(dāng)k+j=i時，前半式不為零，因為k≥0，故當(dāng)i＜j時，前半式為

所以u=0,由文獻[4]可得f=a0或者g=b0

綜上所述，對于解析函數(shù)f，g與調(diào)和函數(shù)u，若Rf*Rg=Su當(dāng)且僅當(dāng)f=a0且u=0或者g=b0且u=0。

［1］P.Hartman,A.Wintner,On the spectra of Toeplitz matrices,Amer.［J］.Math,72(1950),359-366.

［2］P.Hartman,A.Wintner,ThespectraofToeplitz matrices,Amer.［J］.Math,76(1954),867-882.

［3］S.Axler,Z姚.C姚uc姚kovic姚,Commuting Toeplitz Operztors with Harmonicsymbols,Int.Equ.Ope.Theory,14 (1991),1-12.

［4］l郎麗麗.Dirichlet空間上對偶Hankel算子的乘積.［J］2013,4:8-10

［5］I.Louhichi,E.Strouse and L.Zakariasy,Products of Toeplitz operaors on the Bergman space,nt.Equ. Ope.Theory,54(2006),512-539.

（責(zé)任編輯趙巨濤）

Dirichlet Space Dual Hankel Operators and Function Characteristics of the Dual Toeplitz Opertors

Yang Jing
（Normal School of Changzhi University,Changzhi Shanxi 046000）

This paper studies the relationship between dual Toeplitz operators and the dual Hankel operators.When the dual Hankel operators is the product the Toeplitz operators,the specific characteristics of the function of symbols are derived.With the help of other relevant knowledge of the space,the necessary and sufficient conditions are finally concluded.

Dirichlet space;dual Hankel operators;dual Toeplitz operators;Bergman space

O13

A

1673-2014（2016）05-0029-02

2016—07—27

楊靜（1981—），女，河南安陽人，講師，碩士，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)與教學(xué)研究。